连续时间傅里叶变换

连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换

频谱函数与频谱密度函数的区别傅里叶反变换非周期矩形脉冲信号的频谱分析第2页,共86页，2024年2月25日，星期天我们回忆一下：注：第3页,共86页，2024年2月25日，星期天注：为傅里叶级数的系数（频谱系数）第4页,共86页，2024年2月25日，星期天第5页,共86页，2024年2月25日，星期天第6页,共86页，2024年2月25日，星期天当T0趋于无穷时，周期信号则变成了非周期信号第7页,共86页，2024年2月25日，星期天第8页,共86页，2024年2月25日，星期天1．从傅立叶级数到傅立叶变换讨论周期T增加对离散谱的影响：

周期为T宽度为t的周期矩形脉冲的Fourier系数为T趋于无穷大时，傅里叶系数趋于无穷小，为了描述非周期信号的频谱特性引入了频谱密度的概念，也就是傅里叶变换。第9页,共86页，2024年2月25日，星期天物理意义:F(jw)是单位频率所具有的信号频谱，称之为非周期信号的频谱密度函数，为了和傅立叶级数统一，也简称频谱函数。

单位频率因为：称为：傅里叶变换第10页,共86页，2024年2月25日，星期天2.频谱函数与频谱密度函数的区别(1)周期信号的频谱为离散频谱，

非周期信号的频谱为连续频谱。(2)周期信号的频谱为Cn的分布，表示每个谐波分量的复振幅非周期信号的频谱为TCn的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。两者关系：第11页,共86页，2024年2月25日，星期天物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为

，复振幅为[F(

)/2p]d

的复指数信号ejwt的线性组合。T

,记nw0=w,w0=2p/T=dw,3.傅里叶反变换第12页,共86页，2024年2月25日，星期天傅立叶正变换：傅立叶反变换：符号表示：第13页,共86页，2024年2月25日，星期天狄里赫莱条件注意：对于傅立叶变换，狄里赫莱条件是充分不必要条件（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（充分非必要条件）（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最小值（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，且这些点必须是有限值。第14页,共86页，2024年2月25日，星期天[例题]试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数

[解]非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为由傅立叶正变换定义式，可得第15页,共86页，2024年2月25日，星期天分析：2.周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的

连续频谱等间隔取样求得3.信号在时域有限，则在频域将无限延续。4.信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点

之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。5.脉冲宽度

越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。

即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用

的频带越宽。

1.非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状

与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。第16页,共86页，2024年2月25日，星期天常见连续时间信号的频谱常见非周期信号的频谱(频谱密度)

单边指数信号双边指数信号e-|t|

单位冲激信号

(t)

直流信号符号函数信号单位阶跃信号u(t)

常见周期信号的频谱密度虚指数信号正弦型信号单位冲激序列第17页,共86页，2024年2月25日，星期天1.常见非周期信号的频谱(1)单边指数信号幅度频谱为相位频谱为第18页,共86页，2024年2月25日，星期天单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱第19页,共86页，2024年2月25日，星期天(2)双边指数信号e-|t|

幅度频谱为

相位频谱为第20页,共86页，2024年2月25日，星期天(3)单位冲激信号δ(t)

单位冲激信号及其频谱第21页,共86页，2024年2月25日，星期天(4)直流信号

直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限的方法求出其傅里叶变换。第22页,共86页，2024年2月25日，星期天对照冲激、直流时频曲线可看出:时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。直流信号及其频谱第23页,共86页，2024年2月25日，星期天（5）符号函数信号符号函数定义为第24页,共86页，2024年2月25日，星期天符号函数的幅度频谱和相位频谱第25页,共86页，2024年2月25日，星期天(6)单位阶跃信号u(t)

单位阶跃信号及其频谱第26页,共86页，2024年2月25日，星期天2常见周期信号的频谱

(1)虚指数信号同理:第27页,共86页，2024年2月25日，星期天（2）正弦型信号余弦信号及其频谱函数第28页,共86页，2024年2月25日，星期天正弦信号及其频谱函数0w0w-w)(p)(p0)(wF第29页,共86页，2024年2月25日，星期天（3）一般周期信号

两边同取傅立叶变换

第30页,共86页，2024年2月25日，星期天（4）单位冲激序列

因为

T(t)为周期信号，先将其展开为指数形式傅立叶级数：第31页,共86页，2024年2月25日，星期天单位冲激序列及其频谱函数第32页,共86页，2024年2月25日，星期天第33页,共86页，2024年2月25日，星期天1.线性特性

2.共轭对称特性3.对称互易特性

4.展缩特性

5.时移特性6.频移特性7.时域卷积特性

8.频域卷积特性9.时域微分特性10.积分特性

11.频域微分特性12.能量定理傅里叶变换的基本性质第34页,共86页，2024年2月25日，星期天1.线性特性其中a和b均为常数。第35页,共86页，2024年2月25日，星期天2.共轭对称特性当f(t)为是实函数时，有|F(jw)|=|F(-jw)|，

f(w)=-f(-w)F(jw)为复数，可以表示为第36页,共86页，2024年2月25日，星期天3．时移特性

式中t0为任意实数证明：令x=t-t0，则dx=dt，代入上式可得信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。

第37页,共86页，2024年2月25日，星期天[例1]试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(jw)。[解]无延时且宽度为

的矩形脉冲信号f(t)如右图，因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为第38页,共86页，2024年2月25日，星期天4.展缩特性

证明:令x=at，则dx=adt，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。第39页,共86页，2024年2月25日，星期天0wtA2)2(2wFtptp-0wtA)(wFtp2tp2-)2(tftA4t4t-)(21tftt-t0)(tft2t2t-0wtA21)21(21wFtp4tp4-第40页,共86页，2024年2月25日，星期天5.互易对称特性

第41页,共86页，2024年2月25日，星期天6.频移特性（调制定理）

若

f(t)

F(jw)式中

0为任意实数证明：

由傅立叶变换定义有则第42页,共86页，2024年2月25日，星期天信号f(t)与余弦信号cosw0

t相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移w0，幅度减半。同理第43页,共86页，2024年2月25日，星期天

[例2]试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cosw0t相乘后信号的频谱函数。应用频移特性可得[解]已知宽度为

的矩形脉冲信号对应的频谱函数为第44页,共86页，2024年2月25日，星期天时间域相乘频率域卷积第45页,共86页，2024年2月25日，星期天思考：我们如何恢复原始信号f(t)?即解调！幅度调制：在时间域，一个信号和另一个信号相乘，相应的，在频率域，把信号的频谱从低频搬移到高频。幅度解调：在频率域，把信号的频谱从高频搬移到低频。第46页,共86页，2024年2月25日，星期天时间域相乘频率域卷积第47页,共86页，2024年2月25日，星期天时间域相乘频率域卷积第48页,共86页，2024年2月25日，星期天7.时域微分特性则若

f(t)

F(jw)第49页,共86页，2024年2月25日，星期天

[例3]试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。

[解]

由时域微分特性

因此有第50页,共86页，2024年2月25日，星期天8.积分特性

若信号不存在直流分量，即F(0)=0则若

f(t)

F(jw)则第51页,共86页，2024年2月25日，星期天9.频域微分特性则若

f(t)

F(jw)将上式两边同乘以j得证明：第52页,共86页，2024年2月25日，星期天[例4]试求单位斜坡信号tu(t)的傅立叶变换。

[解]已知单位阶跃信号傅立叶变换为:利用频域微分特性可得:第53页,共86页，2024年2月25日，星期天10.时域卷积特性证明：第54页,共86页，2024年2月25日，星期天例5：求三角脉冲的频谱三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积卷乘FTFT第55页,共86页，2024年2月25日，星期天第56页,共86页，2024年2月25日，星期天11.频域卷积特性(调制特性)证明：第57页,共86页，2024年2月25日，星期天例6：求单个余弦脉冲的频谱第58页,共86页，2024年2月25日，星期天乘FTFT卷第59页,共86页，2024年2月25日，星期天12.非周期信号的能量谱密度

由于信号f(t)为实数，故F(-jw)=F*(jw)，因此上式为第60页,共86页，2024年2月25日，星期天信号的能量可以由|F(jw)|2在整个频率范围的积分乘以1/2

来计算。

物理意义：非周期能量信号的归一化能量在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。能量频谱密度函数(能量频)：单位角频率的信号能量帕什瓦尔能量守恒定理第61页,共86页，2024年2月25日，星期天线性特性

对称互易特性展缩特性

时移特性

5.频移特性傅立叶变换性质一览表第62页,共86页，2024年2月25日，星期天时域卷积特性 频域卷积特性时域微分特性积分特性 10.频域微分特性

第63页,共86页，2024年2月25日，星期天非周期信号频域分析小结重要概念:非周期信号的频谱1)非周期信号的频谱与周期信号的频谱的区别2)非周期信号频谱的物理意义3)非周期信号频谱的分析方法:应用常用基本信号的傅里叶变换与傅里叶变换的性质分析问题使用的数学工具:傅里叶变换工程应用:调制、解调，频分复用第64页,共86页，2024年2月25日，星期天

离散时间Fourier变换（DTFT）

DTFT的定义

DTFT的性质

内插和抽取信号的频谱常见DTFT变换对第65页,共86页，2024年2月25日，星期天一、DTFT的定义第66页,共86页，2024年2月25日，星期天所以，我们定义连续函数在的抽样值等于DFS系数Fm回忆：离散周期信号系数DFS第67页,共86页，2024年2月25日，星期天第68页,共86页，2024年2月25日，星期天第69页,共86页，2024年2月25日，星期天一、DTFT的定义

DTFT

1)

F(ejW)是连续的

IDTFT

2)

F(ejW)是周期为2

的周期函数

F(ejW)特点：第70页,共86页，2024年2月25日，星期天解：第71页,共86页，2024年2月25日，星期天例2解：第72页,共86页，2024年2月25日，星期天例3利用泊松求和公式可得：解：第73页,共86页，2024年2月25日，星期天二、DTFT性质1.

线性特性第74页,共86页，2024年2月25日，星期天二、DTFT性质2.

对称特性当

f[k]是实序列时:F(ejW)可表示为若

f[k]实偶对称，则F(e