八年级数学下册《构造中位线》5种常用方法

八年级数学下册《构造中位线》5种常用方法

一：连接两点构造三角形的中位线1．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证：PM＝PN；解：证明：如图，连接CD，AE.由三角形中位线定理可得PM綊1/2CD，PN綊1/2AE.∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC.∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC.∴PM＝PN.(2)求∠MPN的度数．解：如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°.易证四边形PFHG为平行四边形，∴∠MPN＝120°.二：利用角平分线＋垂直构造中位线2．如图在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．解：如图，延长BD，CA交于N.在△AND和△ABD中，∠ADN＝∠ADB＝90°，AD＝AD，∴△AND≌△ABD(ASA)．∴DN＝DB，AN＝AB.∴DM＝1/2NC＝1/2(AN＋AC)＝1/2(AB＋AC)＝15.3．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．解：如图，延长BD交AC于点F，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF(ASA)．∴AF＝AB＝6，BD＝FD.∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线．∴DE＝1/2CF＝1/2×4＝2.三：倍长法构造三角形的中位线4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝1/2CF.解：证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.易得ME＝1/2AN.∵EF＝EN，∠BEF＝90°，∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN.∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABN.在△BCF和△BAN中,BC＝BA∴△BCF≌△BAN.∴CF＝AN.

∴ME＝1/2AN＝1/2CF.四：已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线5．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．解：如图，取BD的中点P，连接PM，PN.解：证明：如图，取AB的中点H，连接MH，NH，则MH＝1/2BF，NH＝1/2AE.解：证明：如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥AD，交BN的延长线于E.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．又∵H为NC的中点，∴DH∥BN.又∵PD∥EH，∴四边形PDHE是平行四边形．∴