专题03 AX型（解析版）-2022-2023学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

专题03AX字型【基本模型】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.【例题精讲】例1.如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，_____．【解析】如图，延长BQ交射线EF于点M、分别是、的中点平分由得即故答案为：12．例2.如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DFCF=DECB，即2CF=例3.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故选：C．【变式训练1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果CEBE=2【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∵AD∥BE，∴△BEF∽△DAF，∴EFAF又∵BC＝BE+CE，CEBE=23，∴BE=35BC=35DA，∴EF=3∵CE∥AD，△CEG∽DAG，∴GEGA=CEDA=2∴GE=25-2AE=23×83【变式训练2】已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）连接，交于点．①若，求的长；②作，垂足为，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．【详解】（1）∵是等边三角形∴，在中，∴∵点是线段的中点∴∴是等边三角形∴，∴∴∴∴四边形为平行四边形；（2）①如图，连接，交于点∵∴∴∵，∴∵∴；②如图，作，垂足为∵，，∴∴，∴，∴∴．【变式训练3】如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长．【答案】（1）见解析（2）2【解析】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，设BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC,∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，∴ME=CE=2．【课后训练】1．已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．【答案】；．【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF，∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH∵AB=CD=2AE，∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，∴AG：CG=2：3，∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5．故答案为：或．2.如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，设BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC,∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，∴ME=CE=2．3．图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．【答案】【详解】解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴，∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴，∴，∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=．4．如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明．【答案】（1）3；（2），证明见解析【详解】解：（1）是的中点，是的中点，，，，，，，，，，，，，．（2）当，时，由（1）可得，，，，，，，又，，，，，，，．5．如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接．交于，交于．求证：．【答案】见解析．【详解】证明：∵AB∥DC，∴△AOB∽△COE∴∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB∴∴，即．6．如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．（1）请你探究：，是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【详解】解：（1）等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，因为B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1，∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，AD＝B1D，综上：这两个等式都成立；（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，线段AD为其内角角平分线∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD∴BE＝AB，又∵BE＝AB．∴，即对任意三角形结论仍然成立；（3）如图（2）所示，因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，∵AD为△ABC的内角角平分线，∴∵DE∥AC，∵DE∥AC，∴△DEF∽△ACF，∴7．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析【详解】（1）BF⊥AD，在和中，∵，∴；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，设DC=k，BD=4k，∴BH=DH=2k，∵GH∥AD，∴，∴GM=2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴，∴△ACN∽△BAF，∴，∵AB=AG，∴，∴2CN•AG=AF•AC，∴AG2=AF•AC．8．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．（1）当CF＝2时，求线段BN的长；（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或【详解】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴,∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴，∴BN＝10；（2）当CF＝BM时，，此时△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，当点M和B点重合时，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，当0＜x＜3时，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由得，，∴，∴y＝＝＝；如图3，当3＜x＜4.5时，由得，