2023年届山西省太原市高三上学期期末测试数学试题

2023~2023学年第一学期高三年级期末考试数学试卷〔8:00—10:00〕说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，总分值150分．一、选择题〔此题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕B〔 〕A．(0,1) B．(0,) C．(1,2) D．(,0) (1,)设复数z满足iz1i〔i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在〔 〕A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限b|1,|ab| 3，则向量a与b的夹角为〔 〕A．30 B．60 C．120 D．150中国古代数学的珍宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下〔扇环是指圆环被扇形截得的局部AA垂1ABCDAA1

3，底面扇环所对的圆心角为2

ADBC2倍，CD1，则该曲池的体积为〔 〕9 3 9 3A．4 B．4 C．2 D．2某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选出4首歌曲安排演出，假设最终一首歌曲必需是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为〔 〕2A．96 B．120 C．240 D．36026．sin

，则sin2〔 〕4 4 3A．4 B．4 C．5 D．539 9 9 9234567…如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛，表中每行每列的数都成等差数列，设f(,n)示该数阵中第m234567…35791112…4710131619…5913172125…6111212631…71319253137……A．…f(3,18)49…B．…f(6,8)49…C．…f(7,7)49…D．f(12,4)49f(xf(x的定义域均为Rg(x)f(xf(2x2),g(x1)均为偶函数，当x[2,0]时，f(x)ax33x2b，且f(1)1，则20|f(n)〔 〕n1A．20 B．30 C．35 D．40二、选择题全科试题免费下载公众号《高中僧课堂〔45分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部20分〕正数x，y满足xy2，则以下结论正确的选项是〔 〕A．xy的最大值是1 B．x2

y24Cxy1)1

114 x yfx)Asin(xA0,0,||的局部图象如以下图，以下结论正 2 2确的是〔 〕Af(xx

7对称 B．f(x)的图象关于点

,0对称 12 6 Cy2sin2x的图象向左平移f(x的图象 262 262Dfx)

在(0,37个不相等的实数根抛物线C:y2

4xFFCA，B两个不同点，则以下结论正确的选项是〔 〕P(2,2)，则|AF||AP|3|AB|22假设|AF||BF|12AB的斜率为22A，BCQQ的横坐标为1ABCDABCD

2AA

3，PABCD上11 1 1 1 1 1 1 1的动点，M为棱AD的中点，以下结论正确的选项是〔 〕PCDM1APABCD所成角为P3ACB1

3 411PD长度的最小值为11PMABCDABCD

外接球所截得线段长度的取值范围是[13, 17]11 1 1三、填空题〔此题共4520分〕fx)2x2 ．

alnxx1处的切线经过坐标原点，则实数a

18

13x2

x 的开放式中常数项 〔用数字作答〕 x在临床上，常常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设AAB“试验者患有此癌症据临床统计显示P(AB)0.99,P( B)0.98．某地人群中A患有此种癌症的概率为0.001，现从该人群中随机抽在了1人，其试验结果是阳性，则此人患有此种癌症的概率为 ．E:

x2y2

1(a0,b0)的左、右焦点分别为FF

F作圆a2 b2

1 2 2O:x2y2a2TFTEPPF

TF，则322 2 232双曲线E离心率的取值范围是 ．四、解答题〔此题共6小题，共70分．解同意写出文字说明，证明过程或演算步骤〕1〔本小题10分〕数列an

n项和为S．n〔1〕从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为，求an

的通项公式；〔2〕设b 1

n项和为T

，假设对任意正整数的n，n log2

a2n1

log2

a n n2n3不等式Tn

恒成立，求的最小值．a2

a2，且2a1

aS1

为等比数列，且满足Sn

2n1k〔注：假设条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分〕1〔本小题12分在△ABCABC所对的边分别为bb2bca2．A2B；6b2c求

bcosB

的取值范围．1〔本小题12分从某企业生产的某种产品中抽取500整理测量结果得到如下频率分布直方图： 500件产品质量指标值的样本平均值xs2〔同一组的数据用该组区间的中点值作代表 由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z听从正态分布N,2 ，其中近似为样本x,2近似为样本方差s2．〔ⅰ〕利用该正态分布，求P(175.6Z224.4)；〔ⅱ〕100X100件产品中质量指标值位于区间(175.6,224.4)的产品件数．利用〔ⅰ〕的结果，求EX)．150附： 12.2；假设ZN,2，则150P(Z)0.6826,P(2Z2)0.9544．2〔本小题12分〕如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABADO为BD的中点．AOBC；假设△OCD是边长为1E在棱ADDE2EAEBCD的大小为60ACBCE所成角的正弦值．2〔本小题12分〕椭圆C

x2

y21(ab0)的左右焦点分别为FF

C经A(0,2)AF2

a2x2y2

b2 1 22相切．C的方程；ykx1(k0)CP，QMx轴上，且满足MPPQMQPQ0M横坐标的取值范围．2〔本小题12分〕函数f(x)(x)eax2

2ax(a0)．f(xx1f(x的单调区间；f(xa的取值范围．2023-2023学年太原市第一学期期末高三数学试题参考答案及评分建议一、选择题：B D CA B C D B二、选择题：9．AC 10．AB 11．ACD 12．ACD三、填空题：13．2 14．98 15．11 16．( 2, 10)233四、解答题：〔〕选择条件①a2

a2，且2a1

aS，1 n由题意可得2a

n1

aS1

n1

2a

n1

2an

S Sn1

an1

n1

2a，n∴a为公比q2的等比数列，n ∵a a2 1

2，∴2a1

a2，∴a1

2，∴an

nN ；n

为等比数列，且满足Sn

2n1k，由题意可得a2a

S S2

(8k)(4k)4,a3 3

SS3

(16k)(8k)8，∴q

32，∴aa 2

aqn22n nN ；2 〔2〕由〔1〕得an

nN ,∴b

1 1

1 1

1 ,n loga

loga (2n1)(2n3) 22n1 2n32 2n1∴

2 2n3Tbb

11

1 n 1 2，bnbn11111235 5 7 2n1 2n311

23 2n36．〔〕由余弦定理得a

b2c22bccosA，∵b2bca2，∴b(12cosA)c，b由正弦定理得 b

c ∴sinB(12cos)sinCsin(AB)∴sinBsin(AB)，sinB sinC∵0A,B，∴0BA，∴BAB，∴A2B；〔2〕由〔1〕A2Bcb(12cosA，6b2c 4∴ 8cosB ，bcosB cosB cosB∵A2B，∴0B ，∴1cosB1，3 228 8cosB 4 126b2c的取值范围为[82,12)．2cosB bcosB1〔〕由题意得x(1700.0021800.0091900.0222000.0332100.0242200.0082300.002)10200，s2(17020020.002(18020020.009(19020020.022(20020020.033150；150〔2〕由题意得x200,2150

s2

150,ZN(200,150)，〔ⅰ〕∵

12.2，∴P(175.6Z224.4)0.9544；〔ⅱ〕由〔ⅰ〕得从该企业购置了1件这种产品，其质量指标值位于区间(175.6,224.4)的概率p0.9544XB(100,0.9544)，∴E(X)1000.954495.44．2〔〕O为BD的中点，AB

AD，∴AOBD，ABDBCDAOBCDAOBC；〔2〕由〔1〕AOBCDO为原点，OB,OAx轴，z轴，建立如以下图的空间直角坐标系，设OAa，由题意可得3 1 1 2a3O(0,0,0),A(0,0,a),B(10.0),C , ,0,E ,0, ， 2 2 3 333x 3

x1,31 2 1 2 1 y31

m1, 3,2 ，令1

，则z

2,，∴

a，4x2az0,

1 a 3 1 3 1由题意可知n(0,0,1)BCD的一个法向量，∴cosm,n mn |m||n|

1a21

cos60

13，∴a ，32

mAC 31,3,231,3,23 1 3 C , , 33 22

，A

cosm,AC ，|m||AC| 83ACBCE所成角的正弦值为8．3x2〔〕∵椭圆C经过点(0,2)，∴b2，xAF

的方程为y

1，即2xcy2c0，AF2

2x2y2

c 24c222相切，∴d4c22

，∴c2，∴a2

b2c2

8C的方程为

x2y21；8 4〔2〕Px,y1 1

,Qx,y2

Nx,y0 0

PQ的中点，ykx1,由x2 y2

12k2

x24kx60，∴xx

4k ，∴x 2k ，8

4

1 2 12k2

0 12k2设m x,y,z1 1 1是平面BCE的一个法向量，则mBC,mBE,∵MPPQ设m x,y,z1 1 1是平面BCE的一个法向量，则mBC,mBE,∴MNPQ，∴kMN

1，k∴直线MN 的方程为yy

1xx，0 k 0 k 1∴点M的横坐标为xky x k21xk0 0 0 12k2

1k

，2k1∵k0，∴k

2k2

2，∴x2

2,0．24 M的横坐标的取值范围为

24,0．2 2〔〕由题意得f(x)(x1)ex2a,xR，f(x0x1xln2a，①当ln2a1时，即0a

e2时，f(x0，则ln2ax1f(x0xln2ax1，f(x在(ln2a,l)上递减，在(1,上递增，f(xx1处取得微小值，此时不符合题意；②当ln2a1时，即a

ef(x(x1)2

ex2a

0f(xR上递增，f(xx1处不取极值，比时不符合题意③当ln2a1时，即a

e2时，f(x0，则1xln2af(x0x1xln2a，f(x在(,1)和(ln2a上递增，在(1,ln2a上递减，f(xx1处取得极大值，此时符合题意；f(x的