高一数学排列组合与概率统计问题市公开课一等奖省赛课获奖

05五月2024排列组合与概率统计问题知识点导读训练(1)考前专题讲座～高中数学/yhjt/第1页排列组合是概率及统计基础，所以，排列组合内容在高中数学教材中位置也显得相对主要。概率是初等概率论中最基本内容，在历年高考中，排列组合知识多是选择题或填空题，概率普通是一个解答题，这些题题型繁多，解法独特，所以得分率普遍较低。本讲主要介绍几类常见排列组合及概率统计问题分析和处理方法./amyhjt//amyhjt/第2页④要明确堆次序时，必须先分堆后再把堆数看成元素个数作全排列.即先分组后到位.②若干个不一样元素局部“等分”有ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆组合数乘积除以m!①若干个不一样元素“等分”为ｍ个堆,要将选取出每一个堆组合数乘积除以m!③非均分堆问题，只要按百分比取出分完再用乘法原理作积.分组（堆）问题六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分.处理问题标准：1.分组（堆）问题/amyhjd/第3页

例1.有五项不一样工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队最少要得到一项工程.共有多少种不一样发包方式？

解：要完成发包这件事，能够分为1-1-3、1-2-2两类发包方式.①先将四项工程分为三“堆”，有种分法；②再将分好三“堆”依次给三个工程队，有3!＝6种给法.∴1-1-3发包方式共有10×6＝60种.1.分组（堆）问题（或种分法）⑴完成1-1-3发包方式有两个步骤：/yhgw/第4页

例1.有五项不一样工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队最少要得到一项工程.共有多少种不一样发包方式？

解：要完成发包这件事，能够分为1-1-3、1-2-2两类发包方式.①先将四项工程分为三“堆”，有种分法；②再将分好三“堆”依次给三个工程队，有3!＝6种给法.∴1-2-2发包方式共有15×6＝90种.1.分组（堆）问题⑵完成1-2-2发包方式也有两个步骤：综上，共有60+90=150不一样发包方式./amyhgw/第5页例2.7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不一样排法？♀♀♀

♀♀解：分两步进行：♀♀几个元素不能相邻时,先排普通元素，再让特殊元素插孔.第1步，把除甲乙外普通人排列：第2步，将甲乙分别插入到不一样间隙或两端中(插孔)：↑

↑

↑

↑

↑↑处理一些不相邻问题时，能够先排“普通”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以处理.2.插空法：/amyhyl/第6页相邻元素排列，能够采取“局部到整体”排法，即将相邻元素局部排列(捆绑)当成“一个”元素，然后再进行整体排列.3.捆绑法例3.6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不排法?♀♀♀

♀♀

♀解：分两步进行：甲乙第一步，把甲乙排列(捆绑)：第二步，甲乙两个人梱看作一个元素与其它排队：♀♀几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它进行排列./amyhdc/第7页例4.

5个人站成一排，甲总站在乙右侧有多少种站法？几个元素次序一定排列问题，普通是先排列，再消去这几个元素次序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来空位置自然就是次序一定了.4.消序法(留空法)方法1：将5个人依次站成一排，有方法2：先让甲乙之外三人从5个位置选出3个站好，有种站法，然后再消去甲乙之间次序数∴甲总站在乙右侧有站法总数为种站法，留下两个位置自然给甲乙有1种站法∴甲总站在乙右侧有站法总数为/yhdc/第8页变式：以下列图所表示,有5横8竖组成方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不一样路线?解:如图所表示→1↑①→2↑②↑③→3→4→5↑④→6→7将一条路经抽象为以下一个排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四个↑和七个→组成!所以,四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,所以从A到B共有条不一样路径.4.消序法(留空法)也能够看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④次序一定排列，有种排法./amyhyl/第9页n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里最少有一个小球放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.例5.某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级1-4个教学班,每班最少一个名额,则不一样分配方案共有___种.5.剪截法（隔板法）：分析：问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子最少有一个小球放法种数问题.将16个小球串成一串，截为4段有种截断法，对应放到4个盒子里.所以，不一样分配方案共有455种./yhylpt/第10页n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里最少有一个小球放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.变式：

某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级1-4个教学班,每班名额不少于该班序号数,则不一样分配方案共有___种.5.剪截法：分析：问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子最少有一个小球放法种数问题.将10个小球串成一串，截为4段有种截断法，对应放到4个盒子里.所以，不一样分配方案共有84种./yhxsyl/第11页编号为1至nn个小球放入编号为1到nn个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子编号都不一样,这种排列称为错位排列.6.错位法：尤其当n=2,3,4,5时错位数各为1,2,9,44.例6.编号为1至66个小球放入编号为1至66个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子编号相同放法有____种.解：选取编号相同两组球和盒子方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.故所求方法有15×9＝135种.变式：求其中恰有2个小球与盒子编号相同概率./amyhxsyl/第12页7.剔除法从总体中排除不符合条件方法数，这是一个间接解题方法.例7.四面体顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面点,不一样取法共有__种.解：本题直接计数很困难,可用间接法，∴故不一样取法共有210-60-6-3＝141种.从10个点中取4个有种方法,剔除四点共面情况有:(1)四点在同一表面三角形上种数为(2)一条棱上三点与其对棱中点共面种数为6(3)平行一组对棱过余下四中点共面种数有3种.变式：求每两个点连线中异面直线对数./yhylgs/第13页8.科学分类法

对于较复杂排列组合问题，因为情况繁多，所以要对各种不一样情况，进行科学分类，方便有条不紊地进行解答，防止重复或遗漏现象发生.例8任意相邻两个数码之和能被3整除五位数个数是_____分析：由题意，每相邻两个数码各自被3除余数之和必为0或3.第1位第2位第3位第4位第5位所以，需要将十个数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分为三组：第一组为：0,3,6,9;第二组为：1,4,7;第三组为：2,5,8./yhyljt/第14页例8任意相邻两个数码之和能被3整除五位数个数是_____分析：由题意，每相邻两个数码各自被3除余数之和必为0或3.第1位第2位第3位第4位第5位所以，需要将十个数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分为三组：第1组为：0,3,6,9;第2组为：1,4,7;第3组为：2,5,8.第一类：五个位置全部由第1组数字填充，有个；第二类：三个奇位由第2组数填充，二个偶位由第3组数填充，有个；第三类：三个奇位由第3组数填充，二个偶位由第2组数填充，有个.所以共有符合题意五位数个./yhylgs/第15页9.配正确问题如“10位学生父母参加了家长联谊会，一次集会中因某种原因仅来了8人，试求恰好有两位学生父母来齐概率”问题.分析：首先，20人来了8人全部可能为：其次，20人来了8人中恰好两对夫妻可能为：①先取出两对夫妻有种取法；②再确定不是夫妻4人有种方法；∴恰好有两位学生父母来齐概率为：/wnsrgw/第16页排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、