河北省邯郸市广府镇石官营中学高三数学文期末试题含解析

河北省邯郸市广府镇石官营中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里参考答案：C【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天和第5天共走的路程【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：C．2.福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为

(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：C3.函数的定义域为

（）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.已知向量，，则=（）A．1 B． C．2 D．4参考答案：C【考点】向量的模．【分析】根据向量的加法算出再求模．【解答】解：∵，，∴=（﹣1，）∴||==2故选C．【点评】本题主要考查向量的加法和模的运算．5.已知命题p：?x0∈（﹣∞，0），2＜3，命题q：?x∈[﹣1，1]，cosx＞，则下列命题为真命题的是(

) A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）参考答案：C考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由指数函数y=2x与y=3x的图象易知x∈（﹣∞，0）时，2x＞3x，则p是假命题；由余弦函数y=cosx的值域易知x∈[﹣1，1]时，cosx＞，则q是真命题，然后根据复合命题的真假关系即可作出判断解答： 解：命题p：?x0∈（﹣∞，0），2＜3，为假命题，则￢p为真命题，命题q：?x∈[﹣1，1]，cosx＞，为真命题，则￢q为假命题，所以p∧q为假命题，p∨（￢q）为假命题，￢p∧q为真命题，p∧（￢q）为假命题．故选：C．点评：本题主要考查复合命题的真假关系，同时考查指数函数的图象与余弦函数的值域．6.已知函数有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A7.在复平面内，复数，则对应的点的坐标位于第（）象限．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义、几何意义即可得出．【解答】解：复数==i+1，则=1﹣i对应的点的坐标（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．8.已知函数的部分图像如图所示，向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计的值约为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D【知识点】几何概型积分【试题解析】表示阴影部分的面积s。因为所以s=。

故答案为：D9.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（）A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m⊥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n参考答案：D【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】根据空间中线面、面面平行和垂直的性质与判断定理，对选项中的问题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于A，m∥α，m∥β时，α∥β或α与β相交，故A错误；对于B，m⊥α，m∥β时，α⊥β，故B错误；对于C，m⊥α，n∥α时，m⊥n，故C错误；对于D，m⊥α，n⊥α时，m∥n，D正确．故选：D．10.函数在[-2,3]上的最大值为2，则实数a的取值范围是A.

B.

C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)＝x|x2－12|的定义域为[0，m]，值域为[0，am2]，则实数a的取值范围是____．参考答案：a≥1仅考虑函数f(x)在x>0时的情况，可知函数f(x)在x＝2时，取得极大值16.令x3－12x＝16，解得，x＝4.作出函数的图象(如右图所示)．函数f(x)的定义域为[0，m]，值域为[0，am2]，分为以下情况考虑：①当0<m<2时，函数的值域为[0，m(12－m2)]，有m(12－m2)＝am2，所以a＝－m，因为0<m<2，所以a>4；②当2≤m≤4时，函数的值域为[0,16]，有am2＝16，所以a＝，因为2≤m≤4，所以1≤a≤4；③当m>4时，函数的值域为[0，m(m2－12)]，有m(m2－12)＝am2，所以a＝m－，因为m>4，所以a>1.综上所述，实数a的取值范围是a≥1.12.设抛物线y2=4x的焦点为F，过F且倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|=

．参考答案：8【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线解析式确定出焦点F坐标，根据直线AB倾斜角表示出直线AB方程，与抛物线解析式联立消去y得到关于x的一元二次方程，设方程的两根为x1，x2，即A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数关系及两点间的距离公式求出AB长即可．【解答】解：由题意得：抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），∵直线AB倾斜角为45°，∴直线AB的斜率为1，即方程为y=x﹣1，联立抛物线方程，消去y得：（x﹣1）2=4x，即x2﹣6x+1=0，设方程的两根为x1，x2，即A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=6，x1x2=1，则|AB|==8，故答案为：8．【点评】此题考查了抛物线的简单性质，根与系数关系，两点间的距离公式，以及直线的点斜式方程，熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键．13.已知函数其中,。

（1）若在的定义域内恒成立，则实数的取值范围

；

（2）在（1）的条件下，当取最小值时，在上有零点，则的最大值为

。参考答案：（1）；（2）-2.由（1）得

，

所以

故在上递增，在上递减。

所以在上的最小值为，而，故在上没有零点。所以的零点一定在递增区间上，从而有且。又，，当时均有，所以的最大值为-2.

14.对于，将表示为，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则（1）

（2）参考答案：2，1093本题考查了学生的观察、归纳推理能力以及对进位制的理解能力。（1）因，故；（2）在2进制的位数中，没有0的有1个，有1个0的有个，有2个0的有个，……有个0的有个，……有个0的有个。故对所有2进制为位数的数，在所求式中的的和为：。又恰为2进制的最大7位数，所以。15.设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；基本不等式．【分析】先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围．【解答】解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣+7因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=9x+﹣7；因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故答案为：．16.已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∪B=

．参考答案：{1，2，4，6}【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可【解答】解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}，∴A∪B={1，2，4，6}故答案为{1，2，4，6}【点评】本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义17.已知函数则

____

____．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．（1）求直线l的参数方程化为普通方程，将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆C上的点到直线l距离的取值范围．参考答案：考点：参数方程化成普通方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）直接消掉参数t得直线l的普通方程，把ρ=4cos（θ﹣）右边展开两角差的余弦，再同时乘以ρ后结合x=ρcosθ，y=ρsinθ得到圆C的直角坐标方程；（2）由圆的直角坐标方程得到圆心坐标和半径，再由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，则答案可求．解答： 解：（1）由（t为参数）得直线l的普通方程为又∵，∴，∴，即；（2）由得圆心C（1，），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离d=．直线l与圆C相离．∴圆C上的点到直线l的距离的取值范围是．点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了直线与圆的位置关系，是基础题．19.（12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：（1）求表中a，b的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，

①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；

②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．参考答案：【考点】：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：（1）利用频率等于频数除以样本容量，求出样本容量，再求出表中的a，b．（2）①利用二项分布的概率公式求出5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率．②写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率．列出分布列，求得期望．解：（1）∵=50∴a==0.5，b==0.3（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～B（5，0.5）P（X=2）=C52×0.52×（1﹣0.5）3=0.3125②X的可能取值为4，5，6，7，8，则p（X=4）=0.22=0.04p（X=5）═2×0.2×0.5=0.2p（X=6）═0.52+2×0.2×0.3=0.37p（X=7）═2×0.3×0.5=0.3p（X=8）=0.32=0.09所有X的分布列为：EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2．【点评】：本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力．20.（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过点，离心率为，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是、.（1）求椭圆的方程；（2）若在椭圆上的任一点处的切线方程是.求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；（3）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）；（2）直线恒过定点；（3）存在实数，使得恒成立.【知识点】直线与圆锥曲线的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程；椭圆的标准方程．B11H5H8解析：（1）由椭圆过点，可得………1分又，

…………………2分解得：.

……………………3分所以椭圆方程为.…………4分（2）设切点坐标为,,直线上一点的坐标，则切线方程分别为，

……5分又因为两切线均过点，则

………………6分即点的坐标都适合方程，而两点确定唯一的一条直线，故直线的方程是

……………7分显然对任意实数，点（1，0）都适合这个方程，故直线恒过定点

………8分

（3）将直线的方程，代入椭圆方程，得，即，…………9分所以

…………………10分不妨设，因为，同理……11分所以…12分即

…………13分故存在实数，使得恒成立.

…………14分【思路点拨】（1）设椭圆方程为，根据它的一个焦点和抛物线y2=﹣4x的焦点重合，从而求出c值，再求出a和b的值，从而求解；（2）切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），直线l上一点M的坐标（4，t），求出切线方程，再把点M代入切线方程，说明点A，B的坐标都适合方程，而两点之间确定唯一的一条直线，从而求出定点；（3）联立直线方程和椭圆的方程进行联立，求出两根的积和两根的和，求出|AC|，|BC|的长，求出λ的值看在不在，再进行判断。21.（本小题满分16分）某种出口产品的关税税率t、市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p=2(1kt)(xb)，其中k、b均为常数.当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件;若市场价格为7千元，则市场供应量约