上海市松江区第四中学高一数学理模拟试题含解析

上海市松江区第四中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.三个数的大小关系为（

）A．

B．C．

D．参考答案：D2.已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的()A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C3.已知函数，若，则=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2参考答案：C【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求tanα=3，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．【解答】解：由已知可得：=log2=log2，可得：﹣sinα﹣cosα=2（﹣sinα+cosα），解得：tanα=3，则=log2=log2=log2=log2=log2=﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.下列函数表示的是相同函数的是(

)A．

B．C．

D．参考答案：B略5.已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3参考答案：A【考点】分段函数的应用．【分析】由分段函数f（x）=，我们易求出f（1）的值，进而将式子f（a）+f（1）=0转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．【解答】解：∵f（x）=∴f（1）=2若f（a）+f（1）=0∴f（a）=﹣2∵2x＞0∴x+1=﹣2解得x=﹣3故选A6.幂函数的图象如图所示，以下结论正确的是()A．m＞n＞p

B．m＞p＞n

C．n＞p＞m

D．p＞n＞m参考答案：C略7.在△ABC中角A、B、C的对边分别是，已知,那么△ABC一定是(

)A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.正三角形参考答案：A8.函数的值域是A.

B.

C.

D.参考答案：C略9.函数f(x)=的定义域为

.参考答案：略10.已知为等差数列，若，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.《莱因德纸草书》(RhindPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目：把100个面包分给五人，使每人成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份的大小是

参考答案：1012.函数

的值域是

参考答案：y∈{-1,0,1,2}13.设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=

．参考答案：3【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，f（2）=1，求出a，然后求解f（1）即可．【解答】解：常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，∴1=|2﹣1|+|22﹣a|，∴a=4，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣4|，∴f（1）=|1﹣1|+|12﹣4|=3，故答案为：3．【点评】本题考查函数值的求法，基本知识的考查．14.已知定义在实数集R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=，则f[f（log32）]的值为．参考答案：【考点】对数的运算性质；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质，结合函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=，∴f（log32）===﹣1，∵f（x）是奇函数，∴f[f（log32）]=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣=﹣（﹣）=，故答案为：【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的奇偶性的性质进行转化求解即可．15.已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第______项。参考答案：10

16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

．参考答案：

17.函数的定义域是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向，与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足.（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）参考答案：（Ⅰ）能（Ⅱ）米且米【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为y=x+b，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大.【详解】解：如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB＝18米，AD＝6米，所以半圆的圆心为H(9,6)，半径r＝9.设太阳光线所在直线方程为y＝－x＋b，即3x＋4y－4b＝0，则由＝9，解得b＝24或b＝(舍)．故太阳光线所在直线方程为y＝－x＋24,令x＝30，得EG＝1.5＜2.5.所以此时能保证上述采光要求．（2）设AD＝h米，AB＝2r米，则半圆的圆心为H(r，h)，半径为r.方法一设太阳光线所在直线方程为y＝－x＋b，即3x＋4y－4b＝0，由＝r，解得b＝h＋2r或b＝h－(舍)．故太阳光线所在直线方程为y＝－x＋h＋2r，令x＝30，得EG＝2r＋h－，由EG≤，得h≤25－2r.所以S＝2rh＋πr2＝2rh＋×r2≤2r(25－2r)＋×r2＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．方法二欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)，设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y－＝－(x－30)，即3x＋4y－100＝0.由直线l1与半圆H相切，得r＝.而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0，即r＝－，从而h＝25－2r.又S＝2rh＋πr2＝2r(25－2r)＋×r2＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．【点睛】本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题．19.(本题满分8分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.参考答案：（1）.

…………3分（2）=.

……………5分

……………8分20.已知S=12－22＋32－42＋……＋（-1）n-1n2，（n请设计程序框图，算法要求从键盘输入n，输出S。并写出计算机程序。参考答案：21.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足，且.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：.参考答案：解：（Ⅰ），两式相减得，

是正项数列，，即从第二项起为等差数列，且公差为1，

又当时，，解得（舍去），从而，

（Ⅱ），

.依次代入，各式相加得

22.（13分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案：【考点】根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义．【专题】应用题；压轴题．【分析】（Ⅰ）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；（Ⅱ）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论．【解答】解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出