山西省临汾市临钢中学高三数学理月考试题含解析

山西省临汾市临钢中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集，集合，那么

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D2.已知曲线和曲线为锐角），则C1与C2的位置关系为

（

）

A．相交

B．相切

C．相

D．以上情况均有可能

参考答案：A略3.已知函数则函数的最大值是

A.4

B.3

C.5

D.参考答案：【答案解析】B

解析：，当时函数取得最大值3，所以选B.【思路点拨】利用二倍角公式把已知函数化为关于的二次函数，再配方求得最值.4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是__________.A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为(

) A．10 B．15 C．21 D．30参考答案：B考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，原问题可以转化为将7个名额排成一排，在排除两端的6个空位中，插入挡板，将其分为3组，对应3个学校的组合问题，由组合数公式计算可得答案．解答： 解：根据题意，要求将7个名额分给3给学校，且每个学校至少分到一个名额，可以转化为将7个名额排成一排，在排除两端的6个空位中，插入挡板，将其分为3组，对应3个学校的组合问题；则不同的分法有C62=15种；故选B．点评：本题考查组合数公式的应用，关键是将原问题转化为组合问题，用插空法解题．6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且c=4，B=45°，面积S=2，则b等于（）A．5B．C．D．25参考答案：A略7.已知向量，，则与夹角的余弦值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积是(

) A．12+4 B．17 C．12+2 D．12参考答案：C考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，如图所示，截面为菱形，两条对角线长为，2，面积为2，即可求出该几何体的表面积．解答： 解：棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，如图所示，截面为菱形，两条对角线长为，2，面积为2，所以该几何体的表面积是3×2×2+2=12+2，故选：C．点评：由三视图作出直观图，发现图象的特征，从而得到几何体的表面积．9.若存在x∈（﹣1，1]，使得不等式e2x﹣ax＜a成立，则实数a的取值范围是（）A． B．（，+∞） C． D．（，+∞）参考答案：B【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】分类参数得a＞，求出f（x）=在（﹣1，1]上的最小值即可得出a的范围．【解答】解：∵e2x﹣ax＜a在（﹣1，1]上有解，∴a＞在（﹣1，1]上有解，令f（x）=，x∈（﹣1，1]，则a＞fmin（x）．则f′（x）=，∴当x∈（﹣1，﹣）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣，1]时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，﹣]上单调递减，在（﹣，1]上单调递增，∴当x=﹣时，f（x）取得最小值f（﹣）=．∴a＞．故选B．10.命题p：x>0，，则是A.， B.，C.， D.，参考答案：A试题分析：是考点：本题考查命题的否定点评：全称命题的否定将任意改为存在，否定结论二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，在圆的直径AB的延长线上任取一点C，过点C作圆的切线CD，切点为D，∠ACD的平分线交AD于点E，则∠CED．参考答案：45°【考点】：弦切角．【专题】：立体几何．【分析】：首先根据圆的切线，连接半径后得到直角三角形，进一步利用三角形的外角等于不相邻的内角的和，及角平分线知识求出结果．【解答】：解：连接OD，由于CD是⊙O的切线，所以：∠DOC+∠DCO=90°，∠DOC是△AOD的外角，所以：∠DOC=2∠A；又CE是∠DCA的角平分线，所以：∠DCE=∠ACE=∠DCA，∠CED=∠A+∠ECA=（∠DOC+∠DCO）=45°，故答案为：45°．【点评】：本题考查的知识要点：三角形的外角的应用，切线的应用，属于基础题型．12.已知圆C过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为

.参考答案：.试题分析：设圆C的圆心C的坐标为，则圆C的标准方程为.圆心C到直线的距离为：，又因为该圆过点，所以其半径为.由直线被该圆所截得的弦长为以及弦心距三角形知，，即，解之得：或（舍）.所以，所以圆C的标准方程为.考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系.13.已知复数满足，则

．参考答案：-414.设函数f（x）=，若{an}是公比大于0的等比数列，且a3a4a5=1，若f（a1）+f（a2）+…+f（a6）=2a1，则a1=．参考答案：e2【考点】分段函数的应用；等比数列的性质．【分析】由题意可得f（x）+f（）=0；故f（a2）+…+f（a6）=f（a2）+f（a6）+f（a3）+f（a5）+f（a4）=0，从而化f（a1）+f（a2）+…+f（a6）=f（a1）=2a1，从而解得．【解答】解：若x＞1，则0＜＜1；则f（x）=xlnx，f（）==﹣xlnx；故f（x）+f（）=0；又∵{an}是公比大于0的等比数列，且a3a4a5=1，∴a4=1；故a6a2=a3a5=a4=1；故f（a2）+…+f（a6）=f（a2）+f（a6）+f（a3）+f（a5）+f（a4）=0+0+0=0；故f（a1）+f（a2）+…+f（a6）=f（a1）=2a1，若a1＞1，则a1lna1=2a1，则a1=e2；若0＜a1＜1，则＜0，故无解；故答案为：e2．【点评】本题考查了等比数列的定义及分段函数的应用，属于中档题．15.已知关于不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为

▲．参考答案：或16.已知点的坐标满足，过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为__________________．参考答案：4

17.已知数列{an}满足a1=20，an+1=an﹣2（n∈N*），则当数列{an}的前n项和Sn取得最大值时，n的值为

．参考答案：10或11【考点】等差数列的前n项和．【专题】函数思想；等差数列与等比数列．【分析】可判数列为等差数列，易得前10项为正数，第11项为0，从第12项开始为负数，可得结论．【解答】解：∵数列{an}满足a1=20，an+1=an﹣2，∴数列{an}为首项为20，公差为﹣2的等差数列，∴数列{an}的通项公式为an=20﹣2（n﹣1）=22﹣2n，令22﹣2n≤0可得n≥11，∴等差数列{an}的前10项为正数，第11项为0，从第12项开始为负数，∴当数列{an}的前n项和Sn取得最大值时，n的值为10或11故答案为：10或11【点评】本题考查等差数列的求和公式，从数列项的符号入手是解决问题的关键，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=，AD=BD，EC丄底面ABCD，FD丄底面ABCD且有EC=FD=2．（I）求证：AD丄BF；（II）若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N，试求二面角B﹣MF﹣C的余弦值．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用等腰直角三角形的性质可得∠BDC=45°，根据平行线的性质可得∠ABD=45°，又AD=DB，从而得到∠ADB=90°，可得AD⊥DB；由线面垂直的性质可得FD⊥DB，利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面FDB，即可得到线线垂直；（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：（Ⅰ）证明：∵∠BCD=90°，BC=CD=，∴，∠BDC=45°又由AB∥DC，可知∠ABD=∠BDC=45°，∵AD=DB，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴∠ADB=90°，∴AD⊥DB．∵FD丄底面ABCD，∴FD⊥DB．又FD∩DB=D，∴AD⊥平面FBD，∴AD⊥BF．（Ⅱ）解：如图，以点C为原点，直线CD、CB、CE方向为x、y、z轴建系．可得D，，，，．又∵N恰好为BF的中点，∴，，．设M（0，0，z0），∴．又∵，，可得z0=1．∴M（0，0，1），故M为线段CE的中点．设平面BMF的一个法向量，且，，由，可得，令y=1，则x=3，z=．得．又∵平面MFC的一个法向量为，∴==．故所求二面角B﹣MF﹣C的余弦值为．点评：熟练掌握等腰直角三角形的性质、平行线的性质、线面垂直的性质、线面垂直的判定定理、线线垂直、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角得出二面角是解题的关键．19.已知函数f（x）=x3+ax2﹣x+b，其中a，b为常数．（1）当a=﹣1时，若函数f（x）在[0，1]上的最小值为，求b的值；（2）讨论函数f（x）在区间（a，+∞）上的单调性；（3）若曲线y=f（x）上存在一点P，使得曲线在点P处的切线与经过点P的另一条切线互相垂直，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=﹣1时，求出函数的导数，利用函数f（x）在[0，1]上单调递减，推出b的关系式，求解b即可．（2）利用导函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣a，求出极值点两个不等实根x1，2=，①当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上无实根时，②当方程f′（x）=0在区间（﹣∞，a]与（a，+∞）上各有一个实根时，③当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上有两个实根时，分别求解a的范围即可．（3）设P（x1，f（x1）），则P点处的切线斜率m1=x12+2ax1﹣1，推出Q点处的切线方程，化简，得x1+2x2=﹣3a，通过两条切线相互垂直，得到（4x22+8ax2+3a2﹣1）（x22+2ax2﹣1）=﹣1．求解x22+2ax2﹣1≥﹣（a2+1），然后推出a的范围即可．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f′（x）=x2﹣2x﹣1，所以函数f（x）在[0，1]上单调递减，…由f（1）=，即﹣1﹣1+b=，解得b=2．…（2）f′（x）=x2+2ax﹣1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x=﹣a，因为△=4a2+4＞0，f′（x）=0有两个不等实根x1，2=，…①当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上无实根时，有解得．…②当方程f′（x）=0在区间（﹣∞，a]与（a，+∞）上各有一个实根时，有：f′（a）＜0，或，解得．…③当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上有两个实根时，有，解得．综上：当时，f（x）在区间（a，+∞）上是单调增函数；当时，f（x）在区间（a，）上是单调减函数，在区间（，+∞）上是单调增函数当时，f（x）在区间（a，），（，+∞）上是单调增函数，在区间（，）上是单调减函数．…（10）（3）设P（x1，f（x1）），则P点处的切线斜率m1=x12+2ax1﹣1，又设过P点的切线与曲线y=f（x）相切于点Q（x2，f（x2）），x1≠x2，则Q点处的切线方程为y﹣f（x2）=（x22+2ax2﹣1）（x﹣x2），所以f（x1）﹣f（x2）=（x22+2ax2﹣1）（x1﹣x2），化简，得x1+2x2=﹣3a．…因为两条切线相互垂直，所以（x12+2ax1﹣1）（x22+2ax2﹣1）=﹣1，即（4x22+8ax2+3a2﹣1）（x22+2ax2﹣1）=﹣1．令t=x22+2ax2﹣1≥﹣（a2+1），则关于t的方程t（4t+3a2+3）=﹣1在t∈[﹣（a2+1），0）上有解，…所以3a2+3=﹣4t﹣≥4（当且仅当t=﹣时取等号），解得a2≥，故a的取值范围是．…【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的零点的应用，考查转化思想以及计算能力．20.在直角坐标系中，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，：（）.（1）求的极坐标方程和的平面直角坐标系方程；（2）若直线的极坐标方程为（），设与的交点为、，与的交点为，求的面积.参考答案：（1）因为圆的普通方程为，把，代入方程得.所以的极坐标方程为，的平面直角坐标系方程为.（2）分别将，代入，得，.则的面积为.21.已知等差数列;等比数列，．（1）求数列和数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.参考答案：（1）依题意，得，，；故椭圆的方程为．

………………3分（2）点与点关于轴对称，设，，不妨设．由于点在椭圆上，所以．

（*）

由已知，则，，．

………………7分由于，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点