【经典】全等三角形全判定和性质

全等三角形学习目标1、了解全等形和全等三角形的概念2、了解常见的全等三角形的根本图形3、理解全等三角形的性质观察以下图形有什么特点？全等形定义：能够完全重合的图形叫做全等形。全等图形的形状相同，大小相等。全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个全等三角形互相重合后，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

记作：∆ABC≌∆DEF读作：∆ABC全等于∆DEF思考：你能否直接从∆ABC≌∆DEF中判断出所有的对应顶点、对应边、对应角？一一对应哦！∆ABC≌∆DEF其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。想一想：∆ABC≌∆DEF，对应边有什么关系？对应角有什么关系？全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。全等三角形的对应角相等。几种常见的全等三角形根本图形1、平移几种常见的全等三角形根本图形2、旋转几种常见的全等三角形根本图形3、对折从以上例子可以看出：一个三角形经过平移、旋转、翻折后得到的三角形与原来的三角形全等。并且这两个三角形的对应边相等，对应角相等。随堂练习1、判断题〔1〕全等三角形的对应边相等，对应角相等〔对〕〔2〕全等三角形的周长相等，面积也相等〔对〕〔3〕面积相等的三角形是全等三角形。〔错〕〔4〕周长相等的三角形是全等三角形。〔错〕2、如图,△ABC≌△AED,且∠BAC=25°，∠B=35°,BD=3cm,CD=2cm,求出∠ADE的度数和线段DE的长度。BCEDA课堂小结全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等找对应边、对应角的方法：1、由全等三角形的记法确定对应边和对应角2、特殊位置法：在两个全等三角形中，公共角、对顶角必为对应角，公共边必为对应边。3、数量对应法：在两个全等三角形中〔不等边〕，在两个全等三角形中，最长边对最长边；最小边对最小边；最大角对最大角；最小角对最小角。三角形全等的判定2024/5/5知识回忆ABCDEF1、什么叫做全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形有什么性质？全等三角形的对应边相等，对应角相等。

AB=DE

BC=EF

AC=DF∠A=∠D∠B=∠E∠C=∠F2024/5/5小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物,其中一块被打碎了,妈妈让小明到玻璃店配一块回来,请你说说小明该怎么办?情境问题2024/5/5探究三角形全等的条件：只给一个条件：一组对应边相等或者一组对应角相等。1、只给一条边2、只给一个角60°60°60°2024/5/5给两个条件：1、一边一内角2、两角3、两边30°30°30°30°30°50°50°2cm2cm4cm4cm2024/5/5给三个条件：1、三条边2、三个角3、两边一角4、两角一边2024/5/5三角形全等判定定理定理一：有三边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“边边边”或“sss".用数学语言表述：在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EFAC=DF∴△ABC≌△DEF(SSS)ABCDEF2024/5/5如以下图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架.求证：△ABC≌△DEF2024/5/5如图，△ＡＢＣ是一个钢架，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是连接Ａ与ＢＣ中点D的支架。求证△ＡＢＤ≌△ＡＣＤＡＤＣＢ证明：∵D是BC的中点∴BD=DC在△ABD和△ACD中，AB=ACBD=CDAD=AD

∴△ABD≌△ACD(SSS)2024/5/5证明的书写步骤1、准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；2、三角形全等书写步骤：

写出在哪两个三角形中；摆出三个条件用大括号括起来；写出全等结论。归纳2024/5/5你会用刻度尺和圆规画全等三角形吗？ABC3cm5cm6cm画法：1、画线段BC=6cm2、分别以点B、C为圆心，以3cm、5cm长为半径画弧，交于点A;3、连结AB,AC△ABC就是所求三角形。2024/5/5课堂小结1、三角形全等的判定定理：

2、用刻度尺和圆规画三角形

有三边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“边边边”或“sss".三角形全等的判定三角形全等判定定理定理二：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS".用数学语言表示为：在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠EBC=EF∴△ABC≌△DEF(SAS)ABCDEF例1：如图，AC=BD，∠CAB=∠DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。ABCD证明:在△ABC与△BAD中AC=BD∠CAB=∠DBAAB=BA∴△ABC≌△BAD（SAS）∴BC=AD（全等三角形的对应边相等）例2：如图，在△AEC和△ADB中，AE=AD，AC=AB请说明△AEC≌△ADB的理由。证明：在△AEC和△ADB中，

AE=AD∠A=∠AAC=AB

∴△AEC≌△ADB(SAS)AEBDC例3：如图，AE=AF,∠AEF=∠AFE,BE=CF,求证：AB=ACABCEF证明：∵∠AEF=∠AFE∴180°-∠AEF=180°-∠AFE∴∠AEB=∠AFC在△ABE和△ACF中，AE=AF∠AEB=∠AFCBE=CF∴△ABE≌△ACF（SAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）作一个角等于角：∠AOB求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOBBAO作法：1.以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA，OB于点C，D；2.画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′3.以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与前弧交于点D′4.过点D′画射线O′B′。∴∠A′O′B′就是所求的角。课堂小结1、三角形全等的判定定理：

2、用刻度尺和圆规画三角形3、作一个角等于角有三边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“边边边”或“sss".两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS".三角形全等的判定1、已经学过的两个三角形全等判定定理是什么？有三边对应相等的两个三角形全等。可以简写成“边边边”或“sss".两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS".2、怎样作一个角等于角？3、怎样作一个三角形？知识回顾三角形全等判定定理定理三：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”。用数学语言表示为：在△ABC和△DEF中，∠B=∠EBC=EF∠C=∠F∴△ABC≌△DEF(ASA)ABCDEF例1、如图，O是AB的中点，∠A=∠B，求证：△AOC≌△BODABCDO例1、如图，O是AB的中点，∠A=∠B，求证：△AOC≌△BOD证明：∵O是AB的中点∴OA=OB在△AOC和△BOD中∠A=∠BOA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD〔ASA〕ABCDO例2、：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C，求证：AD=AE.BAECDO例2、：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C，求证：AD=AE.证明：在△ADC和△AEB中∠A=∠AAC=AB∠C=∠B∴△ADC≌△AEB〔ASA〕∴AD=AEBAECDO三角形全等判定定理定理四：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或“AAS”。用数学语言表示为：在△ABC和△DEF中，∠B=∠E∠C=∠FAC=DF∴△ABC≌△DEF(AAS)ABCDEF例1、如图，AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B、D，∠1=∠2，求证：AB=ADBAD1C2例1、如图，AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B、D，∠1=∠2，求证：AB=AD证明：∵AB⊥BC,AD⊥DC∴∠B=∠D=90°在△ABC和△ADC中，∠B=∠D∠1=∠2AC=AC∴△ABC≌△ADC〔AAS〕∴AB=ADBAD1C2例2、如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF且AC=DF，求证：BE=FC.ABCDEF例2、如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF且AC=DF，求证：BE=FC.证明：∵AB∥DE∴∠B=∠DEF∵AC∥DF∴∠ACB=∠DFE在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF∠ACB=∠DFEAC=DF∴△ABC≌△DEF〔AAS〕∴BC=EF∴BC-EC=EF-EC即BE=FCABCDEF定理五：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边，直角边”或“HL”。用数学语言表示为：在Rt△ACB和Rt△DFE中，AC=DFAB=DE∴Rt△ACB≌Rt△DFE〔HL〕ACBDEF课堂小结1、三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL2、题目中假设条件不够，那么应该看看是否有隐含条件可以用，如对顶角、公共边、公共角等，假设条件还是不够，那么应该确定还要找出哪些条件。〔1〕根据找条件两边，那么可以找夹角〔SAS〕，找直角〔HL〕，找另一边〔SSS〕一边一角，那么可以找任一角〔AAS或ASA〕，找其中一角的对边〔SAS〕两角，那么可以找两角的夹边〔ASA〕，找一角的对边〔AAS〕〔2〕添加辅助线通常辅助线的做法有做平行，垂直，延长中线，截长补短等方法，需根据题目实际情况加以应用角平分线的性质1、角平分线的概念

一条射线把一个角成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。2、点到直线的距离

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。复习回顾1、如右图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?DCBEA探究1大胆说出你的想法！证明：在△ACD和△ACB中AD=AB〔〕DC=BC〔〕AC=AC〔公共边〕∴△ACD≌△ACB〔SSS〕∴∠CAD=∠CAB〔全等三角形的对应角相等〕∴AC是∠A的角平分线经过上面的探索，你能得到作角的平分线的方法吗？2、尺规作角的平分线画法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于点N．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．动手操作：画一个角的角平分线。AＢＯＭＮＣAOBED探究2将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?操作测量题:OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜测线段PD与PE的大小关系？pDEOACB

PDPE第一次第二次第三次

角平分线的性质定理定理1角的平分线上的点到角的两边的距离相等。用数学语言表示为：∵OP是∠AOB的角平分线PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE定理作用：证明线段相等BADOPEC你能用三角形全等证明这个性质么定理2到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。用数学语言表示为：∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE∴点P在∠AOB的角平分线上定理作用：证明角相等。BADOPE这个你还会证明么？例1、判断以下各说法是否正确。1、∵如图，AD平分∠BAC〔〕∴BD=CD(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。)2、∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB〔〕∴BD=CD(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。)3、∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB〔〕∴BD=CD(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。)例2、：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.AMCBNP例2、：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上∴PD=PE〔在角平分线上的点到角的两边的距离相等〕同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等AMCBNPDEF课堂小结1、角平分线的性质定理定理1角的平分线上的点到角的两边的距离相等。定理2到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。2、角平分线的应用证明线段相等，角相等。3、怎样做角的平分线。轴对称2024/5/5情境问题这些图形有什么特点？做一做〔活动〕将同学们准备好的一张纸对折后，用笔沿着折线画一条直线，然后从折叠处剪出一个你喜欢的图形，想一想,展开后会是一个什么样的图形？2024/5/5轴对称图形的定义如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的局部能够互相重合，这个图形叫轴对称图形。这条直线叫对称轴。在我们的现实生活中有很多物体的平面图形是轴对称图形，你能举例说说吗？2024/5/5

国旗是国家的一个象征，观察下面的国旗，哪些是轴对称图形？试找出它们的对称轴。试一试2024/5/52024/5/52024/5/5车标设计2024/5/5交通标志2024/5/5脸谱艺术2024/5/5想一想：0-9十个数字中，哪些是轴对称图形？〔抢答〕01234567892024/5/5想一想：以下英文字母中，哪些是轴对称图形？ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ2024/5/5观察以下图中的每组图案，你发现了什么？2024/5/5轴对称的定义对于两个图形，如果沿一条直线折叠后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。互相重合的两个点，其中一点叫做另一点关于这条直线的对称点。成轴对称的两个图形一定全等，全等的两个图形不一定轴对称。轴对称图形两个图形成轴对称区别一个图形两个图形联系：1、都是沿一条直线折叠后能够互相重合。2、都有对称轴。2024/5/5以下给出的每幅图形中的两个图案是轴对称吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点。喜喜FFFF(A)(B)(C)(D)2024/5/5猜字游戏：2024/5/5如图，△ABC和△A‘B’C‘

关于直线MN对称,点A’、

B‘、

C’分别是A、B、C的对称点，线段AA‘、BB’、CC'与直线MN有何关系?C'A'ACBBMNB'2024/5/5A与A′重合,AP=A′P，∠APM=∠A′PM=90°对称轴是过对称点所连线段的中点的垂线。AA′B′BCC′PQSMN2024/5/5线段垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线〔也称中垂线〕。ＮＭＡＢ2024/5/5画一画线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；

量一量：PA、PB的长，你能发现什么？PA=PBP1A=P1B……PABMN●P1由此你能得到什么规律？命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。2024/5/5证一证命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。：如图，直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=CB.点P在MN上.求证：PA=PB证明：∵MN⊥AB∴∠PCA=∠PCB在ΔPAC和ΔPBC中，AC=BC∠PCA=∠PCBPC=PC∴ΔPAC≌ΔPBC∴PA=PBABPMNC2024/5/5线段垂直平分线性质性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。点P在线段AB的垂直平分线上线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等PA=PBABPMN性质定理有何作用？可证明线段相等2024/5/5换一换反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上?ABPPA=PB点P在线段AB的垂直平分线上2024/5/5线段垂直平分线的判定定理判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。判定定理有何作用？判定一条直线是线段的中垂线。2024/5/5线段垂直平分线性质判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上ABPC线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等性质定理和判定定理存在什么关系？题设和结论正好相反，是互逆关系2024/5/5小结

线段的垂直平分线一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条