人教版高中数学选修2-2教案全集

选修2-2教案

第一章导数及其应用

§1.1.1变化率问题

教学目标：

1.理解平均变化率的概念；

2.了解平均变化率的几何意义；

3.会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念.

教学过程：

一.创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产

生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等；

二、求曲线的切线；

三、求已知函数的最大值与最小值；

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有

效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

二.新课讲授

(一)问题提出

问题1气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径

增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？

■气球的体积/(单位:£)与半径r(单位:(加)之间的函数关系是V(r)=&"3

3

■如果将半径r表示为体积V的函数，那么r")=3强

丫41

分析…忐,

(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(l)-r(0)«0.62(Jm)

气球的平均膨胀率为「⑴一八°)x0.62(力〃/L)

1—0

⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)-r(l)«0.16(加)

气球的平均膨胀率为「；一；⑴x0.16(加/L)

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考：当空气容量从/增加到片时.，气球的平均膨胀率是多少？A

「(匕)|

匕一匕

问题2高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度力(单位：血与起跳后

的时间t(单位：s)存在函数关系A(f)=-4.9科6.5计10.如何用运动—L

员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态？

思考计算：04/40.5和14f42的平均速度S

在0WfV0.5这段时间里，v=〃(05)-〃(0)=4。5(〃?Is)；

0.5-0

在1W2这段时间里，v="一丁)=一8.2(m/s)

探究：计算运动员在OKfV奂这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数如t)=-4.9/+6.5t+10的图像,结合图形可知，//(—)=/i(0),

所以V=———------=0（5/〃2），

65人

虽然运动员在0＜，＜上这段时间里的平均速度为0(s/加)，但实际情况是运动员仍然运动，并

非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

(-)平均变化率概念：

1.上述问题中的变化率可用式子/⑵-/⑻表示，称为函数f(x)从为到及的平均变化率

x2-Xj

2.若设以二12一毛，/if=f(x2)-f(xi)(这里Ax看作是对于用的一个“增量”可用

XI+AA•代替上2,同样4f=△)'=/(12)一/区))

C士4H/(巧)一/(七)/(X]+Ar)-/(Xj)

3.贝I」平均变化率为—=-^―-J~J]=J1---------J]

AxAxx2-xxAv

思考：观察函数f(x)的图象

平均变化率

三.典例分析

例1.已知函数/U)=—+X的图象上的一点4—1,—2)及临近一点B(-l+Ax,-2+Ay),

则包=

Ar

解：-2+Ay=—(-1+Ax)**+(-1+Av),

・△)'-(-l+Ax)2+(-l+Ax)-2

•・—=------------------------------------=3一/\x

AxAx

例2.求y=/在工=与附近的平均变化率。

22

22

解：Ay=(X0+A%)-X0,所以"•二('°+加)———

AxAr

=x02+2g+“--=2…1

Ax

所以y=/在x=x()附近的平均变化率为2xo+Ax

四.课堂练习

1.质点运动规律为s=产+3,则在时间(3,3+Z)中相应的平均速度为.

2.物体按照s(r)=3r+1+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化转5+3Ar

3.过曲线尸/上两点/(1,1)和Q(l+Ax,1+A。作曲线的割线，求出当AA=0.1时割线

的斜率.

五.回顾总结

1.平均变化率的概念

2.函数在某点处附近的平均变化率

六.教后反思：

§1.1.2导数的概念

教学目标：

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3.会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念.

教学过程：

一.创设情景

(-)平均变化率

(二)探究：计算运动员在竺这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数如加-4.9内'6.5计10的图像,结合图形可知，〃(竺)=/?(0),

49

_M)-/i(o)

所以V=———------=0(5/〃?),

65八

虽然运动员在0wtV扇这段时间里的平均速度为0。/6），但实际

情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描

述运动员的运动状态.

二.新课讲授

1.瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻

的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，f=2时的瞬时速度是多少？考察

f=2附近的情况：

&<0时，在［2+4,2］这段时间内垓>0时，在［2,2+&］这段时间内

：(2)-，(2+4)_4.9Ad+i3.14-力(2+4)-双2)-4.9A?-13.1Az

V=-------------=---------------

2—(2+4)—垃(2+4)-2Lt

=Y94-13.1=-4.9Az-13.1

当4=-0.01时,4=-13.051一当&=0.01时，4=73.051；，

当4=-0.001时,AZ=-13.0951；.当&=0.001时，4=-13.0951一

当4=-0.001时,4=-13.09951一当4=0.001时，4=-13.09951一

当4=-0.0001时,4=-13.099951；,当4=0.0001时，AZ=-13.099951；.

当4=-0.00001时,4=73.099951,+当4=0.00001时,A/=-13.099951；.

.......

思考：当加趋近于o时，平均速度：有什么样的变化趋势?

结论：当△，趋近于0时，即无论，从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均

速度；都趋近于一个确定的值-13.1.

从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度：就无限趋近于史的瞬时速度，因此,

运动员在f=2时的瞬时速度是-13.1〃?/s

为了表述方便，我们用lim蛆土纹二蛆1=一13.1

A/T。Z

表示“当『=2’加趋近于0时，平均速度J趋近于定值-13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近

似值过渡到瞬时速度的精确值。

2导数的概念

从函数尸f(x)在尸照处的瞬时变化率是：

iim/a+-a)=iimV

Ar->°AV-A%

我们称它为函数y=/(x)在x=x。出的导数，记作f(xo)或y10°,即

/(Xo+Ax)-/(x())

/'(x。)=lim

wA-SAx

说明：(1)导数即为函数产/Xx)在广刘处的瞬时变化率

(2)Ax=x-x(),当Ax—O时，x—>x,所以/'(/)：lim[(')~'"。)

a

ox-x0

三.典例分析

例1.(1)求函数尸3)在尸1处的导数.

分析：先求△户Ay=f{1+△x)-F(1)=6Ax+(△x)2

再求—=6+Ar再求lim-=6

Ax&T0Ax

解：法i定义法(略)

3X2-3-123(Y2-I2)

法二：y'\,=lim—~~--=lim———=lim3(x+1)=6

1X-lZX-l1

(2)求函数F(x)=—x2+x在x=-l附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

螃Ay-(-l+Ax)2+(-l+Ar)-2々、

解：一=--------------------------=3-Ax

AvAx

A)'—(—1+Ax)~+(—1+Ax)—2...

j(-1)=lrim——=---------------------=lim(3-AAx)=3Q

加TOAXAX0

例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和

加热，如果第x/z时，原油的温度(单位：°C)为/(x)=/-7x+15(04x48),计算第2/i时

和第6人时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

解：在第2h时和第6/z时，原油温度的瞬时变化率就是/'(2)和/(6)

根据导数定义，VJ(2+AY)T(X°)

AxAx

(2+Zkx)2-7(2+Ax)+15-(22-7x2+15).

=---------------------------------------------------=AAx-3

■

所以尸(2)=lim包=lim(Ax-3)=—3

A.r->0A-Ar-»O

同理可得：/'(6)=5

在第26时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和5,说明在2/i附近，原油温度大

约以3"C//z的速率下降，在第6/z附近，原油温度大约以51//?的速率上升.

注：一般地，『(见)反映了原油温度在时刻/附近的变化情况.

四.课堂练习

1.质点运动规律为5=产+3,求质点在f=3的瞬时速度为.

2.求曲线片/'(*)=系在》=1时的导数.

3.例2中，计算第3/z时和第5人时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

五.回顾总结

1.瞬时速度、瞬时变化率的概念

2.导数的概念

六.教后反思：

§1.1.3导数的几何意义

教学目标：

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2.理解曲线的切线的概念；

3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题;

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

教学难点：导数的几何意义.

教学过程：

创设情景

(-)平均变化率、割线的斜率

(二)瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数片f(x)在尸痴处的瞬时变化率，反映了函数片六才)在下刘附近的

变化情况，导数广(Xo)的几何意义是什么呢?

二.新课讲授

(-)曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2,当二(x“,/(%))(〃=1,2,3,4)沿着曲线“X)趋

近于点尸(x°,/(玉)))时，割线PP.的变化趋势是什么？

我们发现,当点月，沿着曲线无限接近点―即Ax-O时，割线趋近于确定的位置，这个确

定位置的直线-7称为曲线在点P处的切线.

问题：⑴割线P匕的斜率心与切线的斜率人有什么关系？

⑵切线-7的斜率A为多少？

容易知道，割线PP„的斜率是kn=:5一/g,当点片沿着曲线无限接近点〃时，k“无

x“一x()

限趋近于切线-7的斜率k，即k=lim+'。一'=/'A)

Ar—OAX

说明：(1)设切线的倾斜角为。，那么当△X-0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的

斜率.

这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；

②切线斜率的本质一函数在x=x0处的导数.

(2)曲线在某点处的切线：1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求

解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并

不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.

(-)导数的几何意义：

函数尸在尸司处的导数等于在该点(x0,/(x0))处的切线的斜率，

即O=lim/(/+Ax)-。。):女

0©TOAx

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：

①求出夕点的坐标；

②求出函数在点/处的变化率/心)=lim"x°+')一=k,得到曲线在点

-Ax

(X。J(X。))的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程.

(二)导函数：

由函数/Xx)在户刘处求导数的过程可以看到，当时，/'(/)是一个确定的数，那么，当X变

化时,便是X的•个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f\x)或y',

即：/a）=ylim/…）一）⑶

-Ax

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.

(三)函数/(X)在点X。处的导数/'(%)、导函数;(X)、导数之间的区别与联系。

(1)函数在一点处的导数/'(X。)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，

它是一个常数，不是变数。

(2)函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数

(3)函数/(x)在点/处的导数1(%)就是导函数r(x)在x=x0处的函数值，这也是求函数

在点的处的导数的方法之一%

三.典例分析

例1:(1)求曲线尸/U)=)+1在点P(1,2)处的切线方程.

(2)求函数片3?在点(1,3)处的导数.

22

布小..[(1+W+1]-(1+1)r2Ar+Ax0

解：⑴ylv_,=hm---------------------=lim----------=2,

—Ax&f。Ax

所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为y-2=2(x-l)即2x-y=0

3r2-3-123(x2-I2)

(2)因为~--=lim------=lim3(x+l)=6

Ix-13x-\f

所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y—3=6(x—1)即6x—y—3=0

(2)求函数F(x)=—]2+尤在％=—1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

Ay一(一1+Ax)2+(-1+Ax)-2

解：一=--------------------------=3-Ax

ArAx

2

[、rAv—(—1+Ax)+(—1+Ar)—2rA,Q

f(-1)=lim—=-------------------------=lim(3-Ax)=3

ioAyAr-*->0

例2.（课本例2）如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

即函数力（尤）=—4.9/+6.5x+10在r=乙附近单调递减.

（3）当，时.，曲线力（。在灰处的切线4的斜率“。2）＜0,所以，在1=弓附近曲线下降，

即函数力（x）=—4.9/+6.5x+10在1=J附近单调递减.

从图3.1-3可以看出，直线人的倾斜程度小于直线。的倾斜程度，这说明曲线在4附近比在弓

附近下降的缓慢.

例3.（课本例3）如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度c=/（f）（单位：〃吆/，〃L）随

时间f（单位：min）变化的图象.根据图像，估计f=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度

的瞬时变化率（精确到0.1）.

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度/（，）在此时刻的导数，从图像上

看，它表示曲线/⑺在此点处的切线的斜率.

如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药

物浓度瞬时变化率的近似值.

作，=0.8处的切线，并在切线上去两点，如（0.7,0.91）,（1.0,0.48）,则它的斜率为：

,0.48-0.91

«-1.4

所以/'。8卜—1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:

t0.20.40.60.8

药物浓度瞬时变化率0.40-0.7-1.4

四.课堂练习

1.求曲线片/U）=f在点（1,1）处的切线;

2.求曲线y=4在点（4,2）处的切线.

五.回顾总结

1.曲线的切线及切线的斜率;

2.导数的几何意义

六.教后反思：

§1.2.1几个常用函数的导数

教学目标：

1.使学生应用山定义求导数的三个步骤推导四种常见函数＞=。、y=x、y=f、y=L的导

x

数公式；

2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.

教学重点：四种常见函数y=c、y=x、＞=/、y的导数公式及应用

X

1

教学难点：四种常见函数y=c、y=x、y=、29、＞=一的导数公式

x

教学过程：

创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻

的瞬时速度.那么，对于函数y=/(x),如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导

数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数,

这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数.

二.新课讲授

1.函数y=/(x)=c的导数

根据导数定义，因为包=,Q*AA)二/。)===0

AxArAJC

所以y'=lim包=limO=O

AA->OA,Ax->o

函数导数

y=cy'=O

y'=0表示函数y=c图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为0.若y=c表示路程关于

时间的函数，则y'=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.

2.函数y=/(x)=x的导数

因、为竺.=/(x+Ax)-/(x)=x+=i

AxAxAx

所以y'=1101包=liml=l

—ArAi。

函数导数

y=xy=1

y'=l表示函数y=x图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为1.若y=x表示路程关于

时间的函数，则y'=l可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.

3.函数y=/(x)=x2的导数

△y/(x+Ax)-/(x)(x+^x)2-x2

因为—=-------------------=----------------

AYAVAX

222

x+2xAx+(Ax)-xA

=----------------=2x+Ax

Ax

所以y'=lim—=lim(2x+Ax)=2x

Ax->o-丫内TO

函数导数

y=x2y'=2x

了=23表示函数)>=X2图像(图3.2-3)上点(x,y)处的切线的斜率都为2x,说明随着x的变

化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0

时，随着x的增加，函数y=V减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加，函数y=V增加

得越来越快.若y=f表示路程关于时间的函数，则y'=2x可以解释为某物体做变速运动，它

在时刻x的瞬时速度为2x.

4.函数y=/(x)=L的导数

X

1____£

因为包=/(x+Ax)-((x)=x+Ax

AxAxAx

_N-(X+AX)_1

x(x+Ax)Axx2+x-Ax

所以y'=lim—=lim(----------)=--

-Axa。x4-X-ZLXX~

函数导数

1_1

y=y2

XX

5.函数y=/(x)=JI的导数

Ay_/(%+©)-/(%)_X/X-FAX-Vx

ArArAx

(Jx+Ax-&)(Jx+Ax+>/x)

Ax(Jx+Ax+Vx)

(x+Ax)-x

Ax(Vx+Ax+y/x)

lim包1

所以ylim

-AxAA->0Vx+Ar+y/x

函数导数

1

y=4xy=H

(2)推广：若y=/(x)=x"(/jeQa),贝|J/'(X)="X"T

三.课堂练习

1.课本P13探究1

2.课本%探究2

四.回顾总结

函数导数

y=cy=0

y=xy=1

y=x2y=2x

11

y=-

Xy=r

八

y=五A

y-nxn~l

五.教后反思:

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学目标：

1.熟练掌握基本初等函数的导数公式；

2.掌握导数的四则运算法则；

3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学过程：

一.创设情景

五种常见函数y=c、y=x>y=x2>y=—,y=4的导数公式及应用

x

函数导数

y=cy=0

y=xy=1

y=x2y'=2x

11

y=一=_2

Xyx

喙

y=«y

y=/(x)=x"(〃e。*)y=nxn~x

二.新课讲授

(-)基本初等函数的导数公式表

函数导数

y=cy=0

y=/(x)=x"(〃e。)y'=nx"~]

y=sinxy=cosx

y-cosxy=-sinx

y=/(x)=a'y=axAna(a>0)

y=/(x)=e'y=ex

,1

/(x)=logX/(X)=log]xf(x)=(a>0且〃w1)

flxlna

f(x)=\nx/(X)J

X

(-)导数的运算法则

_____________________导数运算法则

1.[/(x)±g(x)]=/'(x)±g'(x)

2.[/(x>g(x)]=/'(x)g(x)±/(x)g'(x)

3.|~四]J(x)g(x)-T)g'(x)(g(x).

l_g(x)」[g(x)]

(2)推论：[c/(x)]=e/'(x)

(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)

三.典例分析

例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位：元)与时间，(单

位：年)有如下函数关系p«)=Po(l+5%)',其中P。为y0时的物价.假定某种商品的p0=l,

那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?

解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(f)=1.05/1.05

所以p(10)=1.05'°In1.05x0.08(元/年)

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.

例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.

(1)y=x3-2x+3

(2)、=——仁鼠

(3)y=x-sinx-lnx；

(4)y=--

4X

/「、1-lnx

(5)y=-----,

1+lnx

(6)y=(2x2-5x4-1)-ex；

/八sinx-xcosx

(7)y=-----------

cosx+xsinx

解：(1)y=(x3-2x+3)=(x3)—(2x)+(3)=3x2-2,

2

y'-3x-2o

力■,1/1、,_(l+4)'(1-亚

⑵y=(肪-旨=而百-1^

1__1

__2>/x________2G

(1+y[xY(1—Vx)2

111

=____Ir_________।________I

2y[x(1+Vx)2(1-77)2

1(1+«>+(1-«)2

-277(1-x)2

_(l+x)>/x

=X(l-x)2

.(1+x)4x

y~x(l-x)2

(3)y=(x-sinx-lnx)=[(x-lnx)-sinx]

=(x-lnx)•sinx+(x•In%)•(sinx)

=(1-Inx+x•—)-sinx+(x•Inx)•cosx

x

=sinx+Inx-sinx+x-Inx-cosx

y=sinx+Inx-sinx+x-Inx-cosx

/、，/X、.x.4X-X-(4V)'1.4A-x-4vln4l-xln4

(4)v=(——)=------------------=---------------------=-----------

74X(4A)2(4A)24V

.l-xln4

y=-4-°

1

1+lnx1+lnx1+lnx(1+lnx)2x(l+Inx)2

2

y=----------

-x(l+lnx)2

(6)y=(2X2-5X+1)1-e*+(2x2-5x+1)•(/)’

=(4x-5)•/+(2x2-5x+l)-ex=(2x2-x-4)-e\

y=(2x2-x-4)-e\

…，sinx-xcosx.

⑺y=(z---------：­)

cosx+xsinx

(sinx-xcosx)-(cosx+xsinx)-(sinx-xcosx)•(cosx+xsinx)

(cosx+xsinx)

(cosx-cosx+xsinx)•(cosx+xsinx)-(sinx-xcos%)•(-sinx+sinx+xcosx)

~z•?2

(cosx+xsinx)

xsinx-(cosx+xsinx)-(sinx-xcosx)•xcosx

(cosx+xsinx)2

(cosx+xsinx)2

J,・

(cosx+xsinx)\^2

【点评】

①求导数是在定义域内实行的.

②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.

例3日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已

知将1吨水净化到纯净度为X%时所需费用(单位：元)为

5284

c(x)=-------(80<x<100)

100-x

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%(2)98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

、/5284、，5284'x(100-x)-5284x(100-x),

c(x)=(-------)=--------------------；------------

100-x(100-x)2

0x(100-x)—5284x(—1)5284

(100-x)2-(100-x)2

52X4

(1)因为c(90)=---------=52.84,所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率

(100-90)2

是52.84元/吨.

52X4

(2)因为c(98)=--------7=1321,所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率

(100-90)2

是1321元/吨.

函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，

c(98)=25c(90).它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%

左右时净化费用的瞬时变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而

且净化费用增加的速度也越快.

四.课堂练习

1.课本P92练习

2.已知曲线C：y=3x'一27-9/+4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；

(y=-12x+8)

五.回顾总结

(1)基本初等函数的导数公式表

(2)导数的运算法则

六.教后反思：

§1.2.3复合函数的求导法则

教学目标理解并掌握复合函数的求导法则.

教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数

乘以中间变量对自变量的导数之积.

教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确.

一.创设情景

(-)基本初等函数的导数公式表

函数导数

y=cy=0

y=/(x)=x"(〃eQ")y'=nx"~l2

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=f(x)=axy=a"・lna(。>0)

y=/(x)=e"y=ex

/(x)=logxf(x)=logxf(x)=(a>0且a*1)

aax\na

1

f(x)=InxfW=

X

（二）导数的运算法则

导数运算法则

1.[/(x)±g(x)]=/'(x)±g(x)

2.[/(x)-g(x)]=/'(x)g(x)±/(x)g'(x)

/(X)/'(x)g(x)-/(x)g'(x)

3.(g(x)HO)

g(x)[g(切2

（2）推论：^cf（x）

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

二.新课讲授

复合函数的概念一般地，对于两个函数y=/Q）和“=g（x）,如果通过变量I，，y可

以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=/（z，）和“=g（x）的复合函数，记作

y=/（g（x））。

复合函数的导数复合函数y=〃g(x))的导数和函数)，=/(〃)和〃=g(x)的导数间的

关系为K'=>“'.〃；，即y对X的导数等于y对M的导数与〃对X的导数的乘积.

若y=/(g(x))，则)/=[/(g(x))]=/'(g(x))W(x)

三.典例分析

例1(课本例4)求下列函数的导数：

(1)y=(2x+3>；(2)y=e^05x+l；

(3)y=sin(zrx+cp)(其中凡/均为常数).

解：(1)函数y=(2x+3K可以看作函数y=i/和〃=2x+3的复合函数。根据复合函数求

导法则有

2

y；=yt'-u'=(M)(2x+3)'=4〃=8x+12。

(2)函数y=e405x”可以看作函数y=e"和〃=-0.05x+l的复合函数。根据复合函数求

导法则有

u

y；=y(；.M；=(e)'(-0.05x+l)'=—0.005e"=—0.005废血+】。

(3)函数y=sin(乃x+夕)可以看作函数y=sin〃和〃=万犬+9的复合函数。根据复合函

数求导法则有

=)『•u'=(sin〃)(jtx+°)=TCCOsu=兀cos("x+°)。

例2求丁=sin(tan/)的导数.

解：y=[sin(tanx2)]=cos(tanx2)•sec2(x2)-2x

=2xcos(tanx2)•sec2(x2)

y'=2xcos(tanx2)•sec2(x2)

【点评】

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求

导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.

r-n

例3求)，=.「°，的导数.

yjx2-2ax

1-y1x2-2ax-(x-a)—y―2"

a2\Jx2-2ax

x2-2ax\lx2-2ax(犬-2ax)~

1_a2yjx2-2ax

y~~(x2-2ax)2

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.

例4求y=sin'x+cos'x的导数.

【解法—]y=sin,x+cos(sin2%+cos2x)2—2sin2cos2^=l——sin22x

2

131

=1——(1—cos4x)=—+—cos4x.y'=-sin4x.

444

【解法二】y'=(sin7x)'+(cos4x)'=4sin'x(sinx)'+4cosx(cosx)'

—4sin'xcosx+4cos3x(—sinx)=4sinxcosx(sin2x—cos2x)

=—2sin2xcos2x=—sin4x

【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数,

应注意不漏步.

例5曲线y=x(x+1)(2-x)有两条平行于直线y=x的切线，求此二切线之间的距离.

【解】y=—犬3+*2+2xy'=—3/+2x+2

114

于是切点为夕(1,2),<?(--)――),

327

过点一的切线方程为，y-2=x-1即x-y+1=0.

显然两切线间的距离等于点。到此切线的距离，故所求距离为

,114,,

I----1----F1I<X

3±7=更及.

V227

四.课堂练习

1.求下列函数的导数(1)y=sinf+sin：'3x；(2)y=包立在；(3)log.(/—2)

2x-l

2.求InQ—+3x+l)的导数

五.回顾总结

六.教后反思：

§1.3.1函数的单调性与导数(2课时)

教学目标：

1.了解可导函数的单调性与其导数的关系；

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；

教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

教学过程：

创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢

以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的

变化规律有一个基本的了解.卜面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中

的作用.

二.新课讲授

1.问题：图3.3-1(1),它表示跳水运动中高度力

随时间/变化的函数h(t)=-4.9/+6.5t+10的图

像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度u随

时间f变化的函数丫«)="。)=一9.8/+6.5的图像.

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段

时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：

(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度

人随时间f的增加而增加，即力«