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文档简介

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)理科数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.为虚数单位,则复数()A. B. C. D.【答案】A【解析】,故选A.2.已知集合,集合,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】,,所以,选C.3.如图,四边形是边长为2的正方形,曲线段所在的曲线方程为,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为()A. B. C. D.【答案】A【解析】根据条件可知,,阴影部分的面积为,所以,豆子落在阴影部分的概率为.故选A.4.在中,角,,所对应的边分别为,,.若角,,依次成等差数列,且,.则()A. B. C. D.【答案】C【解析】∵,,依次成等差数列,∴,∴由余弦定理得:,得:,∴由正弦定理得:,故选C.5.如图,网格纸上小正方形的边长均为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【解析】几何体如图,则体积为,选B.6.已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满足,则的最大值是()A.1 B. C. D.【答案】D【解析】根据题意,函数是定义在上的偶函数,则=,又由在区间上单调递增,则在上递减,则,则有,解可得,即的最大值是,故选D.7.在平面直角坐标系中,若不等式组(为常数)表示的区域面积等于1,则抛物线的准线方程为()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得,,,即准线方程为,选D.8.在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32,则的系数为()A.50 B.70 C.90 D.120【答案】C【解析】在中,令得,即展开式中各项系数和为;又展开式中的二项式系数和为.由题意得,解得.故二项式为,其展开式的通项为,.令得.所以的系数为.选C.9.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题:“今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何?”其意思为:“今有好田1亩价值300钱;坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷,价值10000钱.问好、坏田各有多少亩?”已知1顷为100亩,现有下列四个程序框图,其中的单位为钱,则输出的,分别为此题中好、坏田的亩数的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】设好田为,坏田为,则,,A中;B中正确;C中,;D中,所以选B.10.已知函数,若集合含有4个元素,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题得,,,解得:或,所以或,设直线与在上从左到右的第四个交点为A,第五个交点为B,则,.由于方程在上有且只有四个实数根,则,即,解得,故选D.11.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,平面,是边长为2的等边三角形,若球的体积为,则直线与平面所成角的正切值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】由球体积知球半径为,设的外心为,由正弦定理得,由得,设的中点为,则平面,连接,则为直线与平面所成的角,,,,故选A.12.设为双曲线上一点,,分别为双曲线的左、右焦点,,若的外接圆半径是其内切圆半径的倍,则双曲线的离心率为()A. B. C.2或3 D.或【答案】D【解析】∵,分别为双曲线的左、右焦点,∴,,∵,∴点在双曲线的右支,的内切圆半径为.设,则.∵,即,∴,即的外接圆半径为.∵的外接圆半径是其内切圆半径的倍,∴,即.∴∴或,故选D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知,,,若与平行,则__________.【答案】3【解析】已知,,若与平行则,故答案为:3.14.已知点,若点是圆上的动点,则面积的最小值为__________.【答案】【解析】将圆化简成标准方程,圆心,半径,因为,,所以,要求面积最小值,即要使圆上的动点到直线的距离最小,而圆心到直线的距离为,所以的最小值为,故答案为.15._____________.【答案】【解析】,,故答案为.16.记表示实数,,的平均数,表示实数,,的最大值,设,,若,则的取值范围是__________.【答案】.【解析】作出的图象如图所示由题意,故,,当时,,得,当时,,得,舍去,当时,,得,舍去,当时,,恒成立,综上所述,的取值范围是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:60分,每个试题12分.17.已知数列的前项和为,且满足,.(1)求数列的通项公式;(2)令,记数列的前项和为,证明:.【答案】(1);(2)见解析.【解析】(I)当时,有,解得.……1分当时,有,则,……3分整理得:,……4分数列是以为公比,以为首项的等比数列.……5分,即数列的通项公式为:.……6分(2)由(1)有,……7分则,……8分……10分,故得证.……12分18.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标和,制成下图,其中“”表示甲村贫困户,“”表示乙村贫困户.若,则认定该户为“绝对贫困户”,若,则认定该户为“相对贫困户”,若,则认定该户为“低收入户”;若,则认定该户为“今年能脱贫户”,否则为“今年不能脱贫户”.(1)从甲村50户中随机选出一户,求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率;(2)若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户,用表示所选3户中乙村的户数,求的分布列和数学期望;(3)试比较这100户中,甲、乙两村指标的方差的大小(只需写出结论).【答案】(1)0.1;(2)见解析;(3)见解析.【解析】(1)由图知,在甲村50户中,“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户,……1分所以从甲村50户中随机选出一户,该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为.……3分(2)由图知,“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户,其中甲村6户,乙村4户,依题意,……4分的可能值为0,1,2,3.从而……5分,……6分,……7分,……8分.……9分所以的分布列为:故的数学期望.……10分(3)这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.……12分19.如图,在直三棱柱中,底面是边长为的等边三角形,为的中点,侧棱,点在上,点在上,且,.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】(1)∵是等边三角形,为的中点,∴,∴平面,得.①……2分在侧面中,,,∴,,∴,∴.②……4分结合①②,又∵,∴平面,……5分又∵平面,∴平面平面,……6分(2)如图建立空间直角坐标系.则,,.得,,,……7分设平面的法向量,则,即得取.……9分同理可得,平面的法向量,……10分∴,……11分则二面角的余弦值为.……12分20.已知定点、,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点的直线与曲线交于、两点,是否存在定点,使得直线与斜率之积为定值,若存在求出坐标;若不存在请说明理由.【答案】(1);(2)见解析.【解析】(1)设动点,则,,,即.……3分化简得:,……4分由已知,故曲线的方程为.……5分(2)由已知直线过点,设的方程为,则联立方程组,消去得,设,,则,……7分直线与斜率分别为,,.……10分当时,;当时,.所以存在定点,使得直线与斜率之积为定值.……12分21.设,已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)试判断函数在上是否有两个零点,并说明理由.【答案】(1)见解析;(2)函数没有两个零点.【解析】(1),……1分,,设,则,①当时,,,即,∴在上单调递增;……3分②当时,,由得,,可知,由的图象得:在和上单调递增;在上单调递减.……5分(2)假设函数有两个零点,由(1)知,,因为,则,即,由知,所以,设,则(*),……8分由,得,设,得,所以在递增,得,即,……11分这与(*)式矛盾,所以上假设不成立,即函数没有两个零点.…12分(二)选考题(共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一题计分)22.在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为(为参数,),以为极点,轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)求已知曲线和曲线交于,两点,且,求实数的值.【答案】(1),;(2)或.【解析】(1)的参数方程,消参得普通方程为,……2分的极坐标方程为两边同乘得即;……5分(2)将曲线的参数方程(为参数,)代入曲线,得,……6分由,得,……7分设,对应的参数为,,由题意得

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