解析函数及其判定

解析函数及其判定在定义中应注意:第2页,共71页，2024年2月25日，星期天例2解第3页,共71页，2024年2月25日，星期天第4页,共71页，2024年2月25日，星期天例3解第5页,共71页，2024年2月25日，星期天第6页,共71页，2024年2月25日，星期天（2）.可导与连续的关系(i)函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续.（a)可导连续(ii)函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.(b)(i)实函数中构造一个处处连续但处处不可导的例子非常困难；(ii)复变函数中处处连续处处不可导的函数随处可见第7页,共71页，2024年2月25日，星期天（3）.求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:第8页,共71页，2024年2月25日，星期天第9页,共71页，2024年2月25日，星期天2.微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.（1）微分的定义第10页,共71页，2024年2月25日，星期天特别地,（2）可导与可微的关系第11页,共71页，2024年2月25日，星期天二、解析函数的概念1.解析函数的定义2.奇点的定义第12页,共71页，2024年2月25日，星期天根据定义可知:(1)函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,(2)函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.3.复变函数连续、可导、解析之间的关系第13页,共71页，2024年2月25日，星期天的某邻域内处处可导在解析在可导在在连续（1）（2）在区域D内可导在区域D内解析第14页,共71页，2024年2月25日，星期天例4解由本节例1和例3知:第15页,共71页，2024年2月25日，星期天第16页,共71页，2024年2月25日，星期天第17页,共71页，2024年2月25日，星期天例6解第18页,共71页，2024年2月25日，星期天第19页,共71页，2024年2月25日，星期天课堂练习答案处处不可导,处处不解析.第20页,共71页，2024年2月25日，星期天定理以上定理的证明,可利用求导法则.4.解析函数的运算性质有理运算性质：复合运算性质：第21页,共71页，2024年2月25日，星期天根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.第22页,共71页，2024年2月25日，星期天三、判定函数解析性的方法定理一第23页,共71页，2024年2月25日，星期天成立存在在可微在C—R方程定理一第24页,共71页，2024年2月25日，星期天并且给出了求复变函数导数的一种方法1、函数导数的表示形式（2)已知求注:(1)已知求第25页,共71页，2024年2月25日，星期天2、函数在区域D内解析的充要条件第26页,共71页，2024年2月25日，星期天内成立在区域D内解析在内可微在C—R方程定理二第27页,共71页，2024年2月25日，星期天解析函数的判定方法:第28页,共71页，2024年2月25日，星期天3、充分条件成立存在在连续在C—R方程第29页,共71页，2024年2月25日，星期天成立在D内解析在内连续在C—R方程第30页,共71页，2024年2月25日，星期天4、典型例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解析:解不满足柯西－黎曼方程,第31页,共71页，2024年2月25日，星期天四个偏导数均连续指数函数第32页,共71页，2024年2月25日，星期天四个偏导数均连续第33页,共71页，2024年2月25日，星期天例2证第34页,共71页，2024年2月25日，星期天例3解第35页,共71页，2024年2月25日，星期天2.复变指数函数（1）定义:称为复变数的指数函数，记作：第36页,共71页，2024年2月25日，星期天（2）复变指数函数的性质<1><2>第37页,共71页，2024年2月25日，星期天<3>.加法定理例1解<4>第38页,共71页，2024年2月25日，星期天第39页,共71页，2024年2月25日，星期天例2解求出下列复数的辐角主值:第40页,共71页，2024年2月25日，星期天第41页,共71页，2024年2月25日，星期天第42页,共71页，2024年2月25日，星期天例3解第43页,共71页，2024年2月25日，星期天二、对数函数1.定义第44页,共71页，2024年2月25日，星期天其余各值为特殊地,第45页,共71页，2024年2月25日，星期天例4解注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.第46页,共71页，2024年2月25日，星期天例5解第47页,共71页，2024年2月25日，星期天例6解第48页,共71页，2024年2月25日，星期天第49页,共71页，2024年2月25日，星期天2.性质第50页,共71页，2024年2月25日，星期天三、乘幂与幂函数1.乘幂的定义注意:第51页,共71页，2024年2月25日，星期天第52页,共71页，2024年2月25日，星期天特殊情况:第53页,共71页，2024年2月25日，星期天第54页,共71页，2024年2月25日，星期天例7解答案课堂练习第55页,共71页，2024年2月25日，星期天例8解第56页,共71页，2024年2月25日，星期天2.幂函数的解析性它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,第57页,共71页，2024年2月25日，星期天它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,第58页,共71页，2024年2月25日，星期天四、三角函数和双曲函数1.三角函数的定义将两式相加与相减,得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.第59页,共71页，2024年2月25日，星期天第60页,共71页，2024年2月25日，星期天例9解第61页,共71页，2024年2月25日，星期天有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.第62页,共71页，2024年2月25日，星期天(注意：这是与实变函数完全不同的)第63页,共71页，2024年2月25日，星期天其他复变数三角函数的定义第64页,共71页，2024年2月25日，星期天例11解第65页,共71页，2024年2月25日，星期天例12解第66页,共71页，2024年2月25日，星期天第67页,共71页，2024年2月25日，星期天2.双曲函数的定义第68页,共71页，2024年2月25日，星期天它们的导数分别为并有如下公式:它们都是以