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文档简介
江苏省南通市海门市重点名校2024年中考冲刺卷数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.2018年1月份,菏泽市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是41,45,41,44,40,42,41,这组数据的中位数、众数分别是()A.42,41 B.41,42 C.41,41 D.42,452.如图,已知函数y=﹣与函数y=ax2+bx的交点P的纵坐标为1,则不等式ax2+bx+>0的解集是()A.x<﹣3 B.﹣3<x<0 C.x<﹣3或x>0 D.x>03.在同一直角坐标系中,函数y=kx-k与(k≠0)的图象大致是()A. B.C. D.4.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为宽为)的盒子底部(如图②),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分周长和是()A. B. C. D.5.小亮家1月至10月的用电量统计如图所示,这组数据的众数和中位数分别是()A.30和20B.30和25C.30和22.5D.30和17.56.如图,⊙O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交⊙O于B、C点,则BC=()A.6 B.6 C.3 D.37.平面上直线a、c与b相交(数据如图),当直线c绕点O旋转某一角度时与a平行,则旋转的最小度数是()A.60° B.50° C.40° D.30°8.下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体,其左视图是()A. B. C. D.9.正比例函数y=(k+1)x,若y随x增大而减小,则k的取值范围是()A.k>1 B.k<1 C.k>﹣1 D.k<﹣110.如图,在中,边上的高是()A. B. C. D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图,在长方形ABCD中,AF⊥BD,垂足为E,AF交BC于点F,连接DF.图中有全等三角形_____对,有面积相等但不全等的三角形_____对.12.如图,在梯形ACDB中,AB∥CD,∠C+∠D=90°,AB=2,CD=8,E,F分别是AB,CD的中点,则EF=_____.13.因式分解:a2b+2ab+b=.14.如图,A、D是⊙O上的两个点,BC是直径,若∠D=40°,则∠OAC=____度.15.如图,在平面直角坐标系中,△的顶点、在坐标轴上,点的坐标是(2,2).将△ABC沿轴向左平移得到△A1B1C1,点落在函数y=-.如果此时四边形的面积等于,那么点的坐标是________.16.如图,六边形ABCDEF的六个内角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于_________.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,直线与轴交于点,与轴交于点,且与双曲线的一个交点为,将直线在轴下方的部分沿轴翻折,得到一个“”形折线的新函数.若点是线段上一动点(不包括端点),过点作轴的平行线,与新函数交于另一点,与双曲线交于点.(1)若点的横坐标为,求的面积;(用含的式子表示)(2)探索:在点的运动过程中,四边形能否为平行四边形?若能,求出此时点的坐标;若不能,请说明理由.18.(8分)分式化简:(a-)÷19.(8分)如图,在菱形ABCD中,作于E,BF⊥CD于F,求证:.20.(8分)如图,直线y=kx+2与x轴,y轴分别交于点A(﹣1,0)和点B,与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点C(1,n).求一次函数y=kx+2与反比例函数y=的表达式;过x轴上的点D(a,0)作平行于y轴的直线l(a>1),分别与直线y=kx+2和双曲线y=交于P、Q两点,且PQ=2QD,求点D的坐标.21.(8分)学了统计知识后,小红就本班同学上学“喜欢的出行方式”进行了一次调查,图(1)和图(2)是她根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息解答以下问题:(1)补全条形统计图,并计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数.(2)若由3名“喜欢乘车”的学生,1名“喜欢骑车”的学生组队参加一项活动,现欲从中选出2人担任组长(不分正副),求出2人都是“喜欢乘车”的学生的概率,(要求列表或画树状图)22.(10分)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.操作发现如图1,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转.当点D恰好落在BC边上时,填空:线段DE与AC的位置关系是;②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S1.则S1与S1的数量关系是.猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S1的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC,CE边上的高,请你证明小明的猜想.拓展探究已知∠ABC=60°,点D是其角平分线上一点,BD=CD=4,OE∥AB交BC于点E(如图4),若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDC,请直接写出相应的BF的长23.(12分)已知:如图所示,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(1,0),B(3,0)(1)求抛物线的表达式;(2)设点P在该抛物线上滑动,且满足条件S△PAB=1的点P有几个?并求出所有点P的坐标.24.如图,在平面直角坐标系中,OA⊥OB,AB⊥x轴于点C,点A(,1)在反比例函数y=的图象上.(1)求反比例函数y=的表达式;(2)在x轴上是否存在一点P,使得S△AOP=S△AOB,若存在,求所有符合条件点P的坐标;若不存在,简述你的理由.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、C【解析】
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不只一个.【详解】从小到大排列此数据为:40,1,1,1,42,44,45,数据1出现了三次最多为众数,1处在第4位为中位数.所以本题这组数据的中位数是1,众数是1.故选C.【点睛】考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.一些学生往往对这个概念掌握不清楚,计算方法不明确而误选其它选项.注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求.如果是偶数个则找中间两位数的平均数.2、C【解析】
首先求出P点坐标,进而利用函数图象得出不等式ax2+bx+>1的解集.【详解】∵函数y=﹣与函数y=ax2+bx的交点P的纵坐标为1,∴1=﹣,解得:x=﹣3,∴P(﹣3,1),故不等式ax2+bx+>1的解集是:x<﹣3或x>1.故选C.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,解题的关键是正确得出P点坐标.3、D【解析】
根据k值的正负性分别判断一次函数y=kx-k与反比例函数(k≠0)所经过象限,即可得出答案.【详解】解:有两种情况,当k>0是时,一次函数y=kx-k的图象经过一、三、四象限,反比例函数(k≠0)的图象经过一、三象限;当k<0时,一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限,反比例函数(k≠0)的图象经过二、四象限;根据选项可知,D选项满足条件.故选D.【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的图象.正确这两种图象所经过的象限是解题的关键.4、D【解析】
根据题意列出关系式,去括号合并即可得到结果.【详解】解:设小长方形卡片的长为x,宽为y,根据题意得:x+2y=a,则图②中两块阴影部分周长和是:2a+2(b-2y)+2(b-x)=2a+4b-4y-2x=2a+4b-2(x+2y)=2a+4b-2a=4b.故选择:D.【点睛】此题考查了整式的加减,熟练掌握运算法则是解本题的关键.5、C【解析】
将折线统计图中的数据从小到大重新排列后,根据中位数和众数的定义求解可得.【详解】将这10个数据从小到大重新排列为:10、15、15、20、20、25、25、30、30、30,所以该组数据的众数为30、中位数为20+252故选:C.【点睛】此题考查了众数与中位数,众数是一组数据中出现次数最多的数;中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错.6、A【解析】试题分析:根据垂径定理先求BC一半的长,再求BC的长.解:如图所示,设OA与BC相交于D点.∵AB=OA=OB=6,∴△OAB是等边三角形.又根据垂径定理可得,OA平分BC,利用勾股定理可得BD=所以BC=2BD=.故选A.点睛:本题主要考查垂径定理和勾股定理.解题的关键在于要利用好题中的条件圆O与圆A的半径相等,从而得出△OAB是等边三角形,为后继求解打好基础.7、C【解析】
先根据平角的定义求出∠1的度数,再由平行线的性质即可得出结论.【详解】解:∵∠1=180°﹣100°=80°,a∥c,∴∠α=180°﹣80°﹣60°=40°.故选:C.【点睛】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,同旁内角互补.8、B【解析】
解:找到从左面看所得到的图形,从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为:2,3,1.故选B.9、D【解析】
根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k+1<0,然后解不等式即可.【详解】解:∵正比例函数y=(k+1)x中,y的值随自变量x的值增大而减小,∴k+1<0,解得,k<-1;故选D.【点睛】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系.解答本题注意理解:直线y=kx所在的位置与k的符号有直接的关系.k>0时,直线必经过一、三象限,y随x的增大而增大;k<0时,直线必经过二、四象限,y随x的增大而减小.10、D【解析】
根据三角形的高线的定义解答.【详解】根据高的定义,AF为△ABC中BC边上的高.故选D.【点睛】本题考查了三角形的高的定义,熟记概念是解题的关键.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、11【解析】
根据长方形的对边相等,每一个角都是直角可得AB=CD,AD=BC,∠BAD=∠C=90°,然后利用“边角边”证明Rt△ABD和Rt△CDB全等;根据等底等高的三角形面积相等解答.【详解】有,Rt△ABD≌Rt△CDB,理由:在长方形ABCD中,AB=CD,AD=BC,∠BAD=∠C=90°,在Rt△ABD和Rt△CDB中,,∴Rt△ABD≌Rt△CDB(SAS);有,△BFD与△BFA,△ABD与△AFD,△ABE与△DFE,△AFD与△BCD面积相等,但不全等.故答案为:1;1.【点睛】本题考查了全等三角形的判定,长方形的性质,以及等底等高的三角形的面积相等.12、3【解析】
延长AC和BD,交于M点,M、E、F三点共线,EF=MF-ME.【详解】延长AC和BD,交于M点,M、E、F三点共线,∵∠C+∠D=90°,∴△MCD是直角三角形,∴MF=,同理ME=,∴EF=MF-ME=4-1=3.【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质.13、b2【解析】该题考查因式分解的定义首先可以提取一个公共项b,所以a2b+2ab+b=b(a2+2a+1)再由完全平方公式(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2所以a2b+2ab+b=b(a2+2a+1)=b214、50【解析】
根据BC是直径得出∠B=∠D=40°,∠BAC=90°,再根据半径相等所对应的角相等求出∠BAO,在直角三角形BAC中即可求出∠OAC【详解】∵BC是直径,∠D=40°,∴∠B=∠D=40°,∠BAC=90°.∵OA=OB,∴∠BAO=∠B=40°,∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣40°=50°.故答案为:50【点睛】本题考查了圆的基本概念、角的概念及其计算等腰三角形以及三角形的基本概念,熟悉掌握概念是解题的关键15、(-5,)【解析】分析:依据点B的坐标是(2,2),BB2∥AA2,可得点B2的纵坐标为2,再根据点B2落在函数y=﹣的图象上,即可得到BB2=AA2=5=CC2,依据四边形AA2C2C的面积等于,可得OC=,进而得到点C2的坐标是(﹣5,).详解:如图,∵点B的坐标是(2,2),BB2∥AA2,∴点B2的纵坐标为2.又∵点B2落在函数y=﹣的图象上,∴当y=2时,x=﹣3,∴BB2=AA2=5=CC2.又∵四边形AA2C2C的面积等于,∴AA2×OC=,∴OC=,∴点C2的坐标是(﹣5,).故答案为(﹣5,).点睛:本题主要考查了反比例函数的综合题的知识,解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的性质.在平面直角坐标系内,把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度.16、2【解析】
凸六边形ABCDEF,并不是一规则的六边形,但六个角都是110°,所以通过适当的向外作延长线,可得到等边三角形,进而求解.【详解】解:如图,分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P.∵六边形ABCDEF的六个角都是110°,∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形.∴GC=BC=3,DP=DE=1.∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+1=8,FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4,EF=PH-HF-EP=8-4-1=1.∴六边形的周长为1+3+3+1+4+1=2.故答案为2.【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定定理;解题中巧妙地构造了等边三角形,从而求得周长.是非常完美的解题方法,注意学习并掌握.三、解答题(共8题,共72分)17、(1);(2)不能成为平行四边形,理由见解析【解析】
(1)将点B坐标代入一次函数上可得出点B的坐标,由点B的坐标,利用待定系数法可求出反比例函数解析式,根据点的坐标为,可以判断出,再由点P的横坐标可得出点P的坐标是,结合PD∥x轴可得出点D的坐标,再利用三角形的面积公式即可用含的式子表示出△MPD的面积;
(2)当P为BM的中点时,利用中点坐标公式可得出点P的坐标,结合PD∥x轴可得出点D的坐标,由折叠的性质可得出直线MN的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标,由点P,C,D的坐标可得出PD≠PC,由此即可得出四边形BDMC不能成为平行四边形.【详解】解:(1)∵点在直线上,∴.∵点在的图像上,∴,∴.设,则.∵∴.记的面积为,∴.(2)当点为中点时,其坐标为,∴.∵直线在轴下方的部分沿轴翻折得表示的函数表达式是:,∴,∴,∴与不能互相平分,∴四边形不能成为平行四边形.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、折叠的性质以及平行四边形的判定,解题的关键是:(1)利用一次(反比例)函数图象上点的坐标特征,找出点P,M,D的坐标;(2)利用平行四边形的对角线互相平分,找出四边形BDMC不能成为平行四边形.18、a-b【解析】
利用分式的基本性质化简即可.【详解】===.【点睛】此题考查了分式的化简,用到的知识点是分式的基本性质、完全平方公式.19、见解析【解析】
由菱形的性质可得,,然后根据角角边判定,进而得到.【详解】证明:∵菱形ABCD,∴,,∵,,∴,在与中,,∴,∴.【点睛】本题考查菱形的性质和全等三角形的判定与性质,根据菱形的性质得到全等条件是解题的关键.20、一次函数解析式为;反比例函数解析式为;.【解析】
(1)根据A(-1,0)代入y=kx+2,即可得到k的值;(2)把C(1,n)代入y=2x+2,可得C(1,4),代入反比例函数得到m的值;(3)先根据D(a,0),PD∥y轴,即可得出P(a,2a+2),Q(a,),再根据PQ=2QD,即可得,进而求得D点的坐标.【详解】(1)把A(﹣1,0)代入y=kx+2得﹣k+2=0,解得k=2,∴一次函数解析式为y=2x+2;把C(1,n)代入y=2x+2得n=4,∴C(1,4),把C(1,4)代入y=得m=1×4=4,∴反比例函数解析式为y=;(2)∵PD∥y轴,而D(a,0),∴P(a,2a+2),Q(a,),∵PQ=2QD,∴2a+2﹣=2×,整理得a2+a﹣6=0,解得a1=2,a2=﹣3(舍去),∴D(2,0).【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点.也考查了待定系数法求函数的解析式.21、(1)补全条形统计图见解析;“骑车”部分所对应的圆心角的度数为108°;(2)2人都是“喜欢乘车”的学生的概率为.【解析】
(1)从两图中可以看出乘车的有25人,占了50%,即可得共有学生50人;总人数减乘车的和骑车的人数就是步行的人数,根据数据补全直方图即可;要求扇形的度数就要先求出骑车的占的百分比,然后再求度数;(2)列出从这4人中选两人的所有等可能结果数,2人都是“喜欢乘车”的学生的情况有3种,然后根据概率公式即可求得.【详解】(1)被调查的总人数为25÷50%=50人;则步行的人数为50﹣25﹣15=10人;如图所示条形图,“骑车”部分所对应的圆心角的度数=×360°=108°;(2)设3名“喜欢乘车”的学生表示为A、B、C,1名“喜欢骑车”的学生表示为D,则有AB、AC、AD、BC、BD、CD这6种等可能的情况,其中2人都是“喜欢乘车”的学生有3种结果,所以2人都是“喜欢乘车”的学生的概率为.【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.22、解:(1)①DE∥AC.②.(1)仍然成立,证明见解析;(3)3或2.【解析】
(1)①由旋转可知:AC=DC,∵∠C=90°,∠B=∠DCE=30°,∴∠DAC=∠CDE=20°.∴△ADC是等边三角形.∴∠DCA=20°.∴∠DCA=∠CDE=20°.∴DE∥AC.②过D作DN⊥AC交AC于点N,过E作EM⊥AC交AC延长线于M,过C作CF⊥AB交AB于点F.由①可知:△ADC是等边三角形,DE∥AC,∴DN=CF,DN=EM.∴CF=EM.∵∠C=90°,∠B=30°∴AB=1AC.又∵AD=AC∴BD=AC.∵∴.(1)如图,过点D作DM⊥BC于M,过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N,
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,
∴BC=CE,AC=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°,
∴∠ACN=∠DCM,
∵在△ACN和△DCM中,,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),
即S1=S1;(3)如图,过点D作DF1∥BE,易求四边形BEDF1是菱形,
所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,
此时S△DCF1=S△BDE;
过点D作DF1⊥BD,
∵∠ABC=20°,F1D∥BE,
∴∠F1F1D=∠ABC=20°,
∵BF1=DF1,∠F1BD=∠ABC=30°,∠F1DB=90°,
∴∠F1DF1=∠ABC=20°,
∴△DF1F1是等边三角形,
∴DF1=DF1,过点D作DG⊥BC于G,
∵BD=CD,∠ABC=20°,点D是角平分线上一点,
∴∠DBC=∠DCB=×20°=30°,BG=BC=,
∴BD=3∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°,
∠CDF1=320°-150°-20°=150°,
∴∠CDF1=∠CDF1,
∵在△CDF1和△CDF1中,,
∴△CDF1≌△CDF1(SAS),
∴点F1也是所求的点,
∵∠ABC=20°,点D是角平分线上一点,DE∥AB,
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×20°=30°,
又∵BD=3,
∴BE=×3÷cos30°=3,
∴BF1=3,BF1=BF1+F1F1=3+3=2,
故BF的长为3或2.23、(1)y=﹣x
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