12 微专题：三角形四心的应用与向量的交汇 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：三角形四心的应用与向量的交汇【三角形四心的概念介绍】(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。【三角形四心的向量式】三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则（1）O为△ABC的重心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝；（2）O为△ABC的外心⇔|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA)⇔sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；（3）O为△ABC的内心⇔aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0⇔sinA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；（4）O为△ABC的垂心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))⇔tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；【典例】例1、著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理；设点O，H分别是的外心、垂心，且为中点，则（）A．B． C．D．【提示】；【答案】；【解析】【说明】结合选择题的特点：利用特殊位置、特殊图形往往也是奏效的方法；例2、已知是锐角三角形的外接圆的圆心，且，若，则m＝()A．B．C．D．不能确定【提示】；【答案】；【解析】【说明】利用向量的数量积运算进行转化，是解答本题的关键；例3、在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝eq\f(1,5)，O是△ABC的内心，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）A．eq\f(10\r(6),3)B．eq\f(14\r(6),3)C．4eq\r(3)D．6eq\r(2)例4、已知O是△ABC的外心，∠C＝45°，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是（）A．[－eq\r(2)，eq\r(2)]B．[－eq\r(2)，1)C．[－eq\r(2)，－1]D．(1，eq\r(2)]例5、在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，A＝eq\f(π,3)，且eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λμ的最大值为________．【归纳】关于四心的概念及性质：（1）重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数；即G为△ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))．④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．（2）垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点．性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外．（3）内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．②，特别地，在Rt△ABC中，∠C=90°，．（4）外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)．性质：外心到三角形各顶点的距离相等．【即时练习】1、在中，，，分别为的重心和外心，且，则的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能2、设O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))，则()A．eq\f(λ1,λ2)＝eq\f(b,c)B．eq\f(λ\o\al(2,1),λ\o\al(2,2))＝eq\f(b,c)C．eq\f(λ1,λ2)＝eq\f(c2,b2)D．eq\f(λ\o\al(2,1),λ\o\al(2,2))＝eq\f(c,b)3、过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(QC,\s\up6(→))＝neq\o(BC,\s\up6(→))，则n的值为____．4、设G为△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，则B的大小为________．5、已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))＋\o(PB,\s\up6(→))＋2\o(PC,\s\up6(→))))的最大值为6、已知在△ABC中，AB＝1，BC＝eq\r(6)，AC＝2，点O为△ABC的外心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，求：有序实数对(x，y)；【教师版】微专题：三角形四心的应用与向量的交汇【三角形四心的概念介绍】(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。【三角形四心的向量式】三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则（1）O为△ABC的重心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝；（2）O为△ABC的外心⇔|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA)⇔sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；（3）O为△ABC的内心⇔aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0⇔sinA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；（4）O为△ABC的垂心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))⇔tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；【典例】例1、著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理；设点O，H分别是的外心、垂心，且为中点，则（）A．B． C．D．【提示】注意：三角形四心与其向量表示的联系；【答案】D；【解析】如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合，因为，为的外心，所以，，即为斜边的中点，又因为，为中点，所以，，又因为，为中点，所以，．故选D．【说明】结合选择题的特点：利用特殊位置、特殊图形往往也是奏效的方法；例2、已知是锐角三角形的外接圆的圆心，且，若，则m＝()A．B．C．D．不能确定【提示】注意：关键词“锐角”、“外接圆的圆心”；【答案】A；【解析】设外接圆半径为，则：，可化为：；易知与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为0，．则对式左右分别与作数量积，可得：；即；所以，，即，即．因为且，所以，，故选A；【说明】利用向量的数量积运算进行转化，是解答本题的关键；例3、在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝eq\f(1,5)，O是△ABC的内心，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）A．eq\f(10\r(6),3)B．eq\f(14\r(6),3)C．4eq\r(3)D．6eq\r(2)【提示】注意：利用向量的线性运算的几何意义，转化“动点P的轨迹所覆盖图形”；【答案】B【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍；在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7；设△ABC的内切圆的半径为r，则eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，解得r＝eq\f(2\r(6),3)，所以S△BOC＝eq\f(1,2)×a×r＝eq\f(1,2)×7×eq\f(2\r(6),3)＝eq\f(7\r(6),3)．故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝eq\f(14\r(6),3)；【说明】解答本题依据向量的线性关系；结合向量线性运算的几何意义；等价转化“动点P的轨迹所覆盖图形”，是解答本题的关键了；例4、已知O是△ABC的外心，∠C＝45°，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是（）A．[－eq\r(2)，eq\r(2)]B．[－eq\r(2)，1)C．[－eq\r(2)，－1]D．(1，eq\r(2)]【提示】注意：“外心”与“∠C＝45°”交汇的隐含条件；【答案】B；【解析】由题意∠C＝45°，所以∠AOB＝90°，以OA，OB为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，不妨设A(1,0)，B(0,1)，则C在圆O的优弧AB上，设C(cosα，sinα)，则α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2π))，显然eq\o(OC,\s\up6(→))＝cosαeq\o(OA,\s\up6(→))＋sinαeq\o(OB,\s\up6(→))，即m＝cosα，n＝sinα，m＋n＝cosα＋sinα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))，由于α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2π))，所以α＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(9π,4)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))，所以m＋n∈[－eq\r(2)，1)，故选B；【说明】本题结合题设的隐含条件，创设建立平面直角坐标系；利用向量的坐标表示，借助三角函数的有界性解答取值范围问题；例5、在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，A＝eq\f(π,3)，且eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λμ的最大值为________．【提示】注意：结合题设将“向量”转化为“数量”，然后，再求最值；【答案】eq\f(1,9)；【解析】因为，△ABC是锐角三角形，所以，O在△ABC的内部，所以，0<λ<1,0<μ<1；由eq\o(AO,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋μ(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，得(1－λ－μ)eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))，两边平方后得，(1－λ－μ)2eq\o(AO,\s\up6(→))2＝(λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→)))2＝λ2eq\o(OB,\s\up6(→))2＋μ2eq\o(OC,\s\up6(→))2＋2λμeq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，因为，A＝eq\f(π,3)，所以，∠BOC＝eq\f(2π,3)，又|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝|eq\o(CO,\s\up6(→))|；所以，(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，所以，1＋3λμ＝2(λ＋μ)，因为，0<λ<1,0<μ<1，所以，1＋3λμ≥4eq\r(λμ)，设eq\r(λμ)＝t，所以，3t2－4t＋1≥0，解得t≥1(舍)或t≤eq\f(1,3)，即eq\r(λμ)≤eq\f(1,3)⇒λμ≤eq\f(1,9)，所以，λμ的最大值是eq\f(1,9)；【说明】本题主要利用向量的数量积运算实现“向量”与“数量”的转化；然后，利用“换元”或基本不等式解答最值问题；【归纳】关于四心的概念及性质：（1）重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数；即G为△ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))．④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．（2）垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点．性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外．（3）内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．②，特别地，在Rt△ABC中，∠C=90°，．（4）外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)．性质：外心到三角形各顶点的距离相等．【即时练习】1、在中，，，分别为的重心和外心，且，则的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【答案】B；【解析】在中，，分别为的重心和外心，取的中点为，连接、、，则，，，，由，则，即，则，又，则有，由余弦定理可得，即有为钝角．则三角形为钝角三角形．故选B．2、设O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))，则()A．eq\f(λ1,λ2)＝eq\f(b,c)B．eq\f(λ\o\al(2,1),λ\o\al(2,2))＝eq\f(b,c)C．eq\f(λ1,λ2)＝eq\f(c2,b2)D．eq\f(λ\o\al(2,1),λ\o\al(2,2))＝eq\f(c,b)【答案】A；【解析】设eq\o(AM,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝λ2eq\o(AC,\s\up6(→))．因为O是△ABC的内心，所以AO平分∠BAC，所以平行四边形AMON为菱形，且λ1>0，λ2>0，由|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝|eq\o(AN,\s\up6(→))|，得|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|λ2eq\o(AC,\s\up6(→))|，即λ1c＝λ2b，亦即eq\f(λ1,λ2)＝eq\f(b,c)，故选A．3、过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(QC,\s\up6(→))＝neq\o(BC,\s\up6(→))，则n的值为____．【答案】eq\f(3,5)【解析】因为O是重心，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))⇒eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))⇒eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(QC,\s\up6(→))＝neq\o(BC,\s\up6(→))⇒eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→))＝n(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))⇒eq\o(OQ,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(OC,\s\up6(→))，因为P，O，Q三点共线，所以eq\o(OP,\s\up6(→))∥eq\o(OQ,\s\up6(→))，所以－eq\f(3,4)(1－n)＝－eq\f(1,2)n，解得n＝eq\f(3,5)．4、设G为△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，则B的大小为________．【答案】60°；【解析】∵G是△ABC的重心，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，eq\o(GA,\s\up6(→))＝－(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，将其代入sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，得(sinB－sinA)eq\o(GB,\s\up6(→))＋(sinC－sinA)eq\o(GC,\s\up6(→))＝0．又eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))不共线，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，则sinB＝sinA＝sinC．根据正弦定理知b＝a＝c，∴三角形ABC是等边三角形，则角B＝60°；【秒杀】∵G为△ABC的重心，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，又∵sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，∴sinA＝sinB＝sinC，∴三角形ABC是等边三角形，则角B＝60°．5、已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))＋\o(PB,\s\up6(→))＋2\o(PC,\s\up6(→))))的最大值为【答案】5eq\r(3)；【解析】设△ABC的外接圆的圆心为O，则圆的半径为eq\f(3,\f(\r(3),2))×eq\f(1,2)＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，故eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PC,\s\up6(→))＝4eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))．又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4\o(PO,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))))2＝51＋8eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))≤51＋24＝75，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))＋\o(PB,\s\up6(→))＋2\o(PC,\s\up6(→))))≤5eq\r(3)，当eq\o(PO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))同向共线时取最大值；6、已知在△ABC中，AB＝1，BC＝eq\r(6)，AC＝2，点O为△ABC的外心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，求：有序实数对(x，y)；【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))；【解析】取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则eq\o(OM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))