专题训练8 利用导数研究函数的极值问题- 2022届高考数学一轮复习 (新高考)

专题训练8利用导数研究函数的极值问题一、单选题1．函数f(x)＝1－x＋x2的极小值为（）A．1 B．C． D．2．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个3．函数的图象大致是（）A． B．C． D．4．已知的导函数图象如图所示，那么的图象最有可能是图中的()A． B．C． D．5．若函数的极大值点与极大值分别为a，b，则（）A． B．C． D．6．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（）A．是的极值点 B．导函数在处取得极小值C．函数在区间上单调递减 D．导函数在处的切线斜率大于零7．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定义域R上无极值点，则m的取值范围是（）A．m＜2或m＞4 B．或C． D．2＜m＜48．关于函数，下列说法错误的是（）A．是的极小值点B．函数有且只有个零点C．存在正实数，使得恒成立D．对任意两个正实数，，且，若，则二、多选题9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（）A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点10．已知函数，则下列选项中正确的是（）A．在上单调递减B．时，恒成立C．是函数的一个单调递减区间D．是函数的一个极小值点11．关于函数，下列说法正确的是（）A．是的极小值点；B．函数有且只有1个零点；C．存在正整数，使得恒成立；D．对任意两个正实数，，且，若，则.12．已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数存在两个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．当时，方程有且只有两个实根D．若时，，则的最小值为三、填空题13．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．14．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝的图象如图所示，则下列说法中不正确的有________．①当x＝时，函数取得极小值；②函数有两个极值点；③当x＝2时，函数取得极小值；④当x＝1时，函数取得极大值．15．若函数存在两个极值点，，（），则的取值范围是_____.16．函数在处取得极值10，则___________.四、解答题17．（1）若函数f(x)=ax3+bx-4在x=1处取得极值，且极值为0，求实数a，b的值；（2）已知函数f(x)=ax3-6ax2+b(a≠0)，是否存在实数a，b使f(x)在区间[-1，2]上取得最大值3，最小值-29?若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.18．已知函数为奇函数，且的极小值为.（1）求和的值；（2）若过点可作三条不同的直线与曲线相切，求实数的取值范围.19．已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性．20．已知函数f(x)=x3-(m+3)x2+(m+6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，+∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围.参考答案1．B【解析】f′(x)＝－1＋2x＝2，令f′(x)＝0，得x＝．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)－0＋f(x)单调递减极小值单调递增当x＝时，f(x)有极小值．故选：B．2．A【解析】时，函数单调递增，时，函数单调递减，根据极小值点的定义并结合导函数在内的图象知：函数在开区间内有极小值点1个.故选：A3．B【解析】令，解得，，即函数与x轴有两个交点、，排除A、C；由，解得，，且均为变号零点，即有两个极值点，故排除D.故选：B.4．A【解析】由给定的导函数图象知，x<-2或x>0时，；-2<x<0时，，从而得有两个极值点，极小值点为-2，极大值点为0，且在(-∞，-2)、(0，+∞)都单调递减，在(-2，0)上单调递增，只有选项A符合要求.故选：A5．C【解析】，或，，或，在单调递增，在单调递减，为极大值点，且，，，，故选：C.6．A【解析】对于A，由图象可知：当时，恒成立，在上单调递减，不是的极值点，A错误；对于B，由图象可知：在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，B正确；对于C，由图象可知：当时，恒成立，在上单调递减，在上单调递减，C正确；对于D，在上单调递增，在上恒成立；又由图象可知：在处的切线斜率不等于零，即，在处的切线斜率大于零，D正确.故选：A.7．C【解析】，由题意得导函数无变号零点，所以恒成立，，解得，故选：C.8．C【解析】对于A选项：定义域为，，时,时，是的极小值点，A正确；对于B选项：令，在上递减，，有唯一零点，B正确；对于C选项：令，令，时,时,，在上递减，在上递增，则，，在上递减，图象恒在x轴上方，与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误；对于D选项：由A选项知，在上递减，在上递增，因正实数，，且，，则，时，令，，即在上递减，于是有，从而有，又，所以，即成立，D正确.故选：C.9．AC【解析】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的极小值点，D选项错误.故选：AC10．AB对于，当时，，，所以，故正确；对于，当时，，，，所以，故正确；对于，，又，所以，，，所以，因，但此时有，故错误；对于，，所以不是函数的极值点，故错误．故选：．11．ABD【解析】对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数，∴时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，∴是的极小值点，故A正确；对于B选项，，∴，∴函数在上单调递减，又∵，，∴函数有且只有1个零点，故B正确；对于C选项，若，可得，令，则，令，则，∴在上，，函数单调递增，上，，函数单调递减，∴，∴，∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得成立，故C错误；对于D选项，由，结合A选项可知，要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有，由于，所以，即证明，令，则，所以在是单调递减函数，所以，即成立，故成立，所以D正确.故选：ABD.【点睛】函数中涉及极值、零点，不等式恒成立，一般都需要通过导数研究函数的单调性极值最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法.12．ABC【解析】对于A．，解得，所以A正确；对于B．，当时，，当时，或，所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选：ABC.13．－19【解析】函数的极大值为13，，函数在上单调递增，在上单调递减，故答案为：．14．①【解析】由，可得．由导函数的图象可知，当，时，当时．所以函数的增区间为，减区间为．则函数有两个极值点，在时取得极大值，在时取得极小值．由此可知①不正确，②③④，正确，．故答案为：①．15．【解析】由，依题意可知有两个不同解，，函数的对称轴为，则当时，当时，所以为极大值点，又因为，所以故答案为：16．【解析】由题意，函数，可得，因为在处取得极值10，可得，解得或，检验知，当时，可得，此时函数单调递增，函数为极值点，不符合题意，（舍去）；当时，可得，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，函数取得极小值，符合题意.所以.故答案为：.17．（1）；（2）存在，a=2，b=3或a=-2，b=-29.【解析】(1)由于，所以.依题意，可得且.即解得(2)存在,，令，解得x1=0，x2=4(舍去).①当a>0，x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表x(-1，0)0(0，2)+0-f(x)↗极大值↘所以当x=0时，f(x)取得最大值.所以b=3.又f(2)=-16a+3，f(-1)=-7a+3，f(-1)>f(2)，所以当x=2时，f(x)取得最小值，所以-16a+3=-29，即a=2.②当a<0，x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:x(-1，0)0(0，2)-0+f(x)↘极小值↗所以当x=0时，f(x)取得最小值.所以b=-29.又f(2)=-16a-29，f(-1)=-7a-29，f(2)>f(-1)，所以当x=2时，f(x)取得最大值，所以-16a-29=3，即a=-2.综上所述，a=2，b=3或a=-2，b=-29.18．（1），；（2）.【解析】（1）因为是奇函数，所以恒成立，则.所以，所以，则令，解得或.当时，，当时，.在单调递减，在单调递增，所以的极小值为，由，解得，所以，.（2）由（1）可知，设点是曲线的切点，则在点处的切线的方程为即因为其过点，所以，，当时，，当时，，当时，所以为极大值点，为极小值点，由于，所以实数的取值范围为.19．（1）极大值为；极小值为；（2）答案见解析．【解析】解：（1）当时，，定义域为，．令，解得，或．当变化时，，的变化情况如下表：＋－＋单调递增单调递减单调递增当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为．（2）函数定义域为，．令得或．①若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增．②若，即，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.③若，即，则当时，，单调递增，④若，即，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．综