高三数学二轮复习 课余自主加餐训练（四）概率、统计专练 理-人教版高三数学试题

(四)概率、统计专练1．已知从A地到B地共有两条路径L1和L2，据统计，经过两条路径所用的时间互不影响，且经过L1与L2所用时间落在各时间段内的频率分布直方图分别如图1和图2.现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于从A地到B地．(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．2．调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意．再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级．为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：人员编号12345(x，y，z)(1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(0，1，1)(1，2，1)人员编号678910(x，y，z)(1，2，2)(1，1，1)(1，2，2)(1，0，0)(1，1，1)(1)在这10名被调查者中任取2人，求这2人的居住满意度指标z相同的概率；(2)从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量ξ＝m－n，求随机变量ξ的分布列及其均值．3．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪名同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．4．某中学根据2004～2016年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2017年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m、eq\f(1,3)、n，已知三个社团他都能进入的概率为eq\f(1,24)，至少进入一个社团的概率为eq\f(3,4)，且m>n.(1)求m与n的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修学分分数的分布列及均值．答案1．解：(1)用Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到B地”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到B地”，i＝1，2.由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得P(A1)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(A2)＝(0.01＋0.04)×10＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，故甲应选择路径L1.P(B1)＝(0.01＋0.02＋0.03＋0.02)×10＝0.8，P(B2)＝(0.01＋0.04＋0.04)×10＝0.9，∵P(B2)>P(B1)，故乙应选择路径L2.(2)用M，N分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B地，由(1)知P(M)＝0.6，P(N)＝0.9，又由题意知，M，N相互独立，X的可能取值为0，1，2，∴P(X＝0)＝P(M·N)＝P(M)P(N)＝0.4×0.1＝0.04；P(X＝1)＝P(MN＋MN)＝P(M)P(N)＋P(M)P(N)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42；P(X＝2)＝P(MN)＝P(M)P(N)＝0.6×0.9＝0.54.∴X的分布列为X012P0.040.420.54∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.2．解：(1)记事件A为“从10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同”，则居住满意度指标z为0的只有编号为9的1名；居住满意度指标z为1的编号有2、4、5、7、10共5名；居住满意度指标z为2的编号有1、3、6、8共4名．从10名被调查者中任取2人，所有可能的结果为Ceq\o\al(2,10)＝45(种)，这2人的居住满意度指标z相同的结果为Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,4)＝10＋6＝16(种)，所以在这10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同的概率为P(A)＝eq\f(16,45).(2)计算10名被调查者的综合指标，可列下表：人员编号12345678910综合指标4462453513其中居住满意度为一级的编号有1、2、3、5、6、8共6名，则m的值可能为4、5、6；居住满意度不是一级的编号有4、7、9、10共4名，则n的值可能为1、2、3，所以随机变量ξ所有可能的取值为1、2、3、4、5.P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,4))＝eq\f(1,4)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,4))＝eq\f(7,24)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,4))＝eq\f(7,24)，P(ξ＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,4))＝eq\f(1,8)，P(ξ＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,4))＝eq\f(1,24)，所以随机变量ξ的分布列为：ξ12345Peq\f(1,4)eq\f(7,24)eq\f(7,24)eq\f(1,8)eq\f(1,24)E(ξ)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(7,24)＋3×eq\f(7,24)＋4×eq\f(1,8)＋5×eq\f(1,24)＝eq\f(29,12).3．解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P1＝eq\f(3,8)，P2＝eq\f(1,2)，两人失分均超过15分的概率为P1P2＝eq\f(3,16)，X的所有可能取值为0，1，2.依题意，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,16)))，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,16)))eq\s\up12(k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,16)))eq\s\up12(2－k)，k＝0，1，2，则X的分布列为X012Peq\f(169,256)eq\f(39,128)eq\f(9,256)X的均值E(X)＝2×eq\f(3,16)＝eq\f(3,8).4．解：(1)依题意可知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)mn＝\f(1,24)，,1－（1－m）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))（1－n）＝\f(3,4)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)，,n＝\f(1,4).))(2)令该新同学在社团方面获得校本选修学分的分数为随机变量X，则X的值可以为0，1，2，3，4，5，6.而P(X＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)；P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)；P(X＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,8)；P(X＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,24)；P(X＝4)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12)；P(X＝5)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,24)；P(X＝6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝