2025届高考数学精准突破复习三角函数

2025届高考数学精准突破复习

三角函数一．任意角与弧度制【知识梳理】1、我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．这样我们就把角的概念推广到了任意角．2、一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．3、我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．根据这个规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为rad，那么．4、一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．5、扇形的公式：（1）；（2）；（3）．其中R是圆的半径，（）为圆心角，是扇形的弧长，S是扇形的面积．【针对性训练】1．下列各角中，是第二象限角的有A． B． C． D．2．已知集合，，，则等于A．， B．， C．，，， D．，3．是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角4．下列说法中错误的是A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的，的角是周角的 C．的角比的角要大 D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关5．下列说法正确的是A．终边在轴上角的集合是， B．终边在第二象限角的集合为， C．终边在坐标轴上角的集合是， D．终边在直线上角的集合是，6．将化为弧度为A． B． C． D．7．弧度化为角度是A． B． C． D．8．半径为，圆心角为所对的弧长为A． B． C． D．9．将分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为．10．把下列各角化成的形式，并指出它们所在的象限．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．二．三角函数的概念与诱导公式【知识梳理】1、一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的．所以，点P的横坐标、纵坐标都是角的函数．2、设是一个任意角，，它的终边OP与单位圆相交于点P（，），我们把点P的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点P的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即；可以看出，当时，的终边在轴上，这时点P的横坐标等于0，所以无意义．除此之外，对于确定的角，的值也是唯一确定的．所以也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数．3、由三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数的值相等．4、同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．即，．5、诱导公式一~六公式一公式二公式三公式四公式五公式六【针对性训练】11．角的终边过点，则的值为A． B． C． D．12．已知点落在角的终边上，则的值为A． B． C． D．13．已知角的终边经过，，求的值．14．若，是第四象限角，则的值是A． B． C． D．15．若，则．16．已知，则的值为A． B． C． D．17．若，则的值为A． B． C． D．18．下列等式中正确的是A． B． C． D．19．的值是A． B． C． D．20．等于A． B． C． D．三．三角恒等变换【知识梳理】1、和（差）角公式2、倍角公式3、简单的三角恒等变换用cosα表示半角公式积化和差和差化积4、辅助角公式，其中，．【针对性训练】21．下列四个选项，化简正确的是A． B． C． D．22．下列满足的是A． B．， C．， D．，23．已知，均为锐角，且，则的值为A．0 B． C． D．124．已知，则的值可能为A． B． C． D．25．若，则A． B． C． D．26．的值是A． B． C． D．27．的值为．28．下列各式与相等的是A． B． C． D．29．化简：；30．若，是的内角，，则等于A． B． C．或 D．或者四．三角函数的图象与图象的变换【知识梳理】1、三角函数的图象与性质函数图象定义域RR值域R单调性增区间减区间无奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称轴无对称中心最小正周期2、一般地，把正弦曲线上的所有点向左（当＞0时）或向右（当＜0时）平移个单位长度，就得到函数的图象．3、一般地，函数的周期是，把图象上所有点的横坐标缩短（当＞1时）或伸长（当0＜＜1时）到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图象．4、一般地，函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到．从而，函数的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A．5、在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数，表示，其中A＞0，＞0．A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物理离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；称为相位；＝0时的相位称为初相．【针对性训练】31．为了得到函数的图象，只需把函数的图象A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度32．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数33．有四种变换，其中能使的图象变为的图象的是A．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 C．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 D．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度34．已知函数，，的部分图象如图所示，则的值为A． B． C． D．35．关于函数，下列叙述正确的是A．函数的图象关于直线对称 B．函数在区间，内是增函数 C．将函数的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象 D．函数的图象关于点，对称36．图所示为一半径为3米的水轮，水轮圆心距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点到水面距离（米与时间（秒满足关系式，则有A． B． C． D．37．要得到函数的图象，只需要将的图象上每个点A．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍 B．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍 C．横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍 D．横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍38．把函数的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位所得图象对应的函数解析式为A． B． C． D．39．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象的一个对称中心为 D．在，上单调递增40．如图，函数的图象如图所示，则有A． B． C． D．

2024年高考数学三轮冲刺之三角函数参考答案与试题解析一．任意角与弧度制1．下列各角中，是第二象限角的有A． B． C． D．【答案】【考点】象限角、轴线角【专题】计算题；数学运算；三角函数的求值；转化思想；转化法【分析】根据象限角定义及终边相同的角可解决此题．【解答】解：，，是第二象限角；，，是第二象限角；，，不属于任何一个象限；，，是第二象限角．故选：．【点评】本题考查象限角定义、终边相同角，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．2．已知集合，，，则等于A．， B．， C．，，， D．，【答案】【考点】交集及其运算【专题】转化思想；综合法；集合；数学运算【分析】在集合中，分别令，0，1，2，求出的值，然后根据交集的定义即可求解．【解答】解：集合中：当时，，当时，，当时，，当时，，又，所以，，，，故选：．【点评】本题考查了集合的交集的定义，属于基础题．3．是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】【考点】象限角、轴线角【专题】对应思想；综合法；三角函数的求值；数学运算【分析】由，得解．【解答】解：因为，所以是第四象限角．故选：．【点评】本题考查象限角，弧度制的概念，属于基础题．4．下列说法中错误的是A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的，的角是周角的 C．的角比的角要大 D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关【答案】【考点】弧度制；任意角的概念；象限角、轴线角；命题的真假判断与应用【专题】综合法；三角函数的求值；数学运算；转化思想；综合题【分析】利用角度制与弧度制的定义以及它们之间的关系对四个选项逐一分析判断即可．【解答】解：对于，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，故选项正确；对于，周角为，所以的角就是周角的，周角为弧度，所以的角是周角的，故选项正确；对于，根据弧度制与角度制的互化，可得，故选项正确；对于，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径是无关的，故选项错误．故选：．【点评】本题考查了角的概念的理解，主要考查了角度制与弧度制的理解，属基础题．5．下列说法正确的是A．终边在轴上角的集合是， B．终边在第二象限角的集合为， C．终边在坐标轴上角的集合是， D．终边在直线上角的集合是，【答案】【考点】终边相同的角；象限角、轴线角；任意角的概念【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数据分析【分析】由题意，根据终边相同的角、象限角、象限界角的定义，得出结论．【解答】解：由于终边在轴上角的集合是，，故正确；由于终边在第二象限角的集合为，，故正确；由于终边在坐标轴上角的集合是，，故正确由于终边在直线上角的集合是或，，故错误，故选：．【点评】本题主要考查终边相同的角、象限角、象限界角的定义，属于基础题．6．将化为弧度为A． B． C． D．【答案】【考点】弧度制【专题】计算题；数学运算【分析】根据角度与弧度的互化公式：，代入计算即可．【解答】解：故选：．【点评】本题主要考查了角度与弧度的互化公式：①，②，③，④，属于对基础知识的考查．7．弧度化为角度是A． B． C． D．【答案】【考点】弧度制【专题】三角函数的求值【分析】利用弧度，1弧度即可求得答案．【解答】解：，．故选：．【点评】本题考查弧度与角度的互化，关键在于掌握二者的互化公式，属于基础题．8．半径为，圆心角为所对的弧长为A． B． C． D．【答案】【考点】：弧长公式【分析】因为扇形的圆心角为且半径为，所以所求弧长等于半径为的圆周长的．由此结合圆的周长公式即可算出半径为且圆心角为圆心角所对的弧长．【解答】解：圆的半径为，圆的周长为：又扇形的圆心角，扇形的弧长为故选：．【点评】本题给出扇形的半径和圆心角，求扇形的弧长．着重考查了圆周长公式和扇形弧长公式等知识，属于基础题．9．将分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为．【考点】弧度制【专题】计算题【分析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度为，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案．【解答】解：分针转一周为60分钟，转过的角度为，将分针拨快是顺时针旋转，分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为．故答案为：．【点评】本题考查弧度的定义：一周对的角是弧度．考查顺时针旋转得到的角是负角．10．把下列各角化成的形式，并指出它们所在的象限．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【答案】（Ⅰ），在第一象限；（Ⅱ），在第二象限；（Ⅲ），在第二象限．【考点】终边相同的角；象限角、轴线角【专题】转化思想；综合法；计算题；数学运算【分析】根据终边相同角的定义以及象限角的定义对各个问题逐个化简即可求解．【解答】解：（Ⅰ），在第一象限；（Ⅱ），在第二象限；（Ⅲ），在第二象限．【点评】本题考查了终边相同角以及象限角的定义，考查了学生的理解运算能力，属于基础题．二．三角函数的概念与诱导公式11．角的终边过点，则的值为A． B． C． D．【答案】【考点】任意角的三角函数的定义【专题】计算题【分析】先求出，，，利用的定义，求出的值．【解答】解：角的终边过点，，，，，故选：．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用．12．已知点落在角的终边上，则的值为A． B． C． D．【答案】【考点】任意角的三角函数的定义【专题】定义法；转化思想；数学运算；三角函数的求值【分析】根据题意，求出的坐标，由任意角三角函数的定义分析可得答案．【解答】解：因为点落在角的终边上，即点落在角的终边上，所以，则，故选：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题．13．已知角的终边经过，，求的值．【考点】：任意角的三角函数的定义【专题】11：计算题【分析】先求点到原点的距离，再利用定义，应注意分类讨论，否则会漏解．【解答】解：由题意，，若，，则，，；若，，则，，；所以【点评】本题的考点是任意角的三角函数的定义，主要考查任意角的三角函数的定义的运用，关键是计算，再用定义，特别注意的是要分类讨论．14．若，是第四象限角，则的值是A． B． C． D．【考点】：同角三角函数间的基本关系【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得的值．【解答】解：，是第四象限角，则，故选：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．15．若，则．【答案】．【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值【专题】三角函数的求值；函数思想；转化法；数学运算【分析】由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．16．已知，则的值为A． B． C． D．【答案】【考点】：运用诱导公式化简求值；：同角三角函数间的基本关系【专题】56：三角函数的求值【分析】由条件利用诱导公式求得，从而利用同角三角函数的基本关系求得的值．【解答】解：已知，，，故选：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于中档题．17．若，则的值为A． B． C． D．【答案】【考点】运用诱导公式化简求值；两角和与差的三角函数【专题】转化法；三角函数的求值；转化思想；数学运算；计算题【分析】由已知利用诱导公式即可求解．【解答】解：因为，所以．故选：．【点评】本题考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18．下列等式中正确的是A． B． C． D．【答案】【考点】运用诱导公式化简求值【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算【分析】根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．【解答】解：对于，，故正确；对于，，故正确；对于，，故错误；对于，，故正确．故选：．【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．19．的值是A． B． C． D．【答案】【考点】运用诱导公式化简求值【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算【分析】根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．20．等于A． B． C． D．【答案】【考点】运用诱导公式化简求值【分析】根据，由诱导公式可得答案．【解答】解：，故选：．【点评】本题主要考查根据三角函数的诱导公式进行化简求值的问题．属基础题．对于三角函数的诱导公式一定要强化记忆．三．三角恒等变换21．下列四个选项，化简正确的是A． B． C． D．【答案】【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值【专题】转化思想；计算题；三角函数的求值；数学运算；综合法【分析】根据三角恒等变换的公式进行化简运算即可得解．【解答】解：对于，，故正确；对于，原式，故正确；对于，原式，故错误；对于，原式，故正确．故选：．【点评】本题考查三角恒等变换的综合，熟练运用两角和差公式、诱导公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．22．下列满足的是A． B．， C．， D．，【答案】【考点】两角和与差的三角函数【专题】综合法；数学运算；计算题；三角函数的求值；函数思想【分析】由原式可得出，然后根据每个选项所给的，的角求是否为0即可．【解答】解：，，时，；，时，；，时，；，时，．故选：．【点评】本题考查了两角差的余弦公式，考查了计算能力，属于简单题．23．已知，均为锐角，且，则的值为A．0 B． C． D．1【答案】【考点】两角和与差的三角函数【专题】整体思想；三角函数的求值；综合法；数学运算【分析】由已知结合和差角公式即可求解．【解答】解：，均为锐角，且，所以，即，所以，则．故选：．【点评】本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．24．已知，则的值可能为A． B． C． D．【答案】【考点】两角和与差的三角函数【专题】数学运算；综合法；三角函数的求值；整体思想【分析】由已知结合同角平方关系及两角和的余弦公式即可求解．【解答】解：因为，所以或，当时，，当时，．故选：．【点评】本题主要考查了同角平方关系及两角和的余弦公式，属于基础题．25．若，则A． B． C． D．【考点】：二倍角的三角函数【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；56：三角函数的求值；65：数学运算【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解．【解答】解：，．故选：．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．26．的值是A． B． C． D．【答案】【考点】两角和与差的三角函数【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算【分析】根据已知条件，再结合余弦函数的两角差公式，即可求解．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．27．的值为．【答案】．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数【专题】计算题；函数思想；数学运算；综合法；三角函数的求值【分析】原式，然后根据二倍角的正切公式即可求出答案．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查了二倍角的正切公式，考查了计算能力，属于基础题．28．下列各式与相等的是A． B． C． D．【答案】【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算【分析】利用三角函数恒等变换的应用逐项化简即可得解．【解答】解：对于，，对于，，对于，，对于，．故选：．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．29．化简：；【答案】；（Ⅱ）2．【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算【分析】（Ⅰ）（Ⅱ）利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．【解答】解：；（Ⅱ）．【点评】本题考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用，三角函数式的化简，是基础题．30．若，是的内角，，则等于A． B． C．或 D．或者【答案】【考点】两角和与差的三角函数【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算【分析】在三角形中，由，的余弦值，正弦值，由同角三角函数的关系可得，的正弦值，余弦值，再由两角和的正弦公式，求出的值．【解答】解：在三角形中，，，可得，且，则，即为锐角，所以，所以，故选：．【点评】本题考查同角三角函数的关系及两角和的正弦公式的应用，属于基础题．四．三角函数的图象与图象的变换31．为了得到函数的图象，只需把函数的图象A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】【考点】函数的图象变换【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质【分析】由条件利用函数的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，故选：．【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．32．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数【考点】：函数的图象变换【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质【分析】由条件利用的图象变换规律求得所得函数的解析式，再根据正弦函数的奇偶性得出结论．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，故选：．【点评】本题主要考查诱导公式，的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，属于基础题．33．有四种变换，其中能使的图象变为的图象的是A．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 C．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 D．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度【答案】【考点】函数的图象变换【专题】三角函数的图象与性质；函数思想；数学运算；综合法【分析】利用函数的图象变换规律对四个选项逐一分析判断即可得出答案．【解答】解：把的图象向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的，可得函数的图象，正确；把的图象向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的，可得函数的图象，错误；把的图象上各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，可得函数的图象，错误；把的图象上各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，可得函数的图象，正确，故选：．【点评】本考查函数的图象变换，掌握函数的图象变换规律是答题的关键，属于中档题．34．已知函数，，的部分图象如图所示，则的值为A． B． C． D．【答案】【考点】由的部分图象确定其解析式【专题】数形结合；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算【分析】由图可知，，最小正周期，再由，可得的值，然后将点，代入的解析式中，即可求出的值．【解答】解：由图可知，，最小正周期，所以，所以，将点，代入的解析式中，有，即，，所以，，又，所以．故选：．【点评】本题考查利用函数图象确定三角函数的解析式，理解，，的几何意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．35．关于函数，下列叙述正确的是A．函数的图象关于直线对称 B．函数在区间，内是增函数 C．将函数的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象 D．函数的图象关于点，对称【答案】【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；正弦函数的单调性；正弦函数的图象；函数的图象变换【专题】函数思想；综合法；数学运算；三角函数的图象与性质【分析】利用正弦函数的单调性、图象对称性及的图象变换规律，分析各个选项可得答案．【解答】解：，，是函数的最小值，函数的图象关于直线对称，正确；当，时，，，故函数在区间，上是增函数，正确；将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，错误；，函数的图象不关于点，对称，错误；故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性、图象对称性及的图象变换规律，考查运算求解能力，属于中档题．36．图所示为一半径为3米的水轮，水轮圆心距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点到水面距离（米与时间（秒满足关系式，则有A． B． C． D．【答案】【考点】三角函数应用；由的部分图象