数学情景与新文化100题(解析版)

专题06数学情景与新文化100题

类型一:函数类新文化题型

一、单选题

1.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog[l+5].它表示：在受噪声干挠的信道中，最

大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其

中三叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比力从1000提升至2000,则C大约增加了

NN

()

A.10%B.30%C.50%D.100%

【答案】A

【分析】

根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为C=Wl。g2(l+1000)和

C=Wlog2(1+2000),两者相比，再根据对数运算即可估计得答案.

【详解】

当士=1000时，C=Wlog2(l+1000)

当士=2000时，C=Wlog”(l+2000)

N

Wlog2(1+2000)-Wlog?(1+1000)log?200111+log?1000]_12？

h--"g

则IVlog2(l+1000)log21001log21000--3

i11ii

X—=lgl04<lg2<lgl03=-,根据选项分析,-lg2»0.1

所以信噪比1从1000提升至2000,则C大约增加了10%.

N

故选：A.

【点睛】

本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.

2.2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月

17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回“三步探月

规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想

状态下，可以用公式v=%ln丝计算火箭的最大速度v(m/s),其中%(m/s)是喷流相对速度，帆(kg)是火

m

箭(除推进剂外)的质量，M(饭)是推进剂与火箭质量的总和，也称为“总质比”.若A型火箭的喷流

相对速度为lOOOm/s,当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（1g”0434,1g2^0.301）（）

A.4890m/sB.5790m/sC.6219m/sD.6825m/s

【答案】C

【分析】

根据题意把数据代入已知函数可得答案.

【详解】

v=voln—=IOOOxln5OO=lOOOx=IOOOx37g29/„/5

mIgeIge

故选：C.

3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔.令人

吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底

部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部形为

正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，顶端剥

落10米，则胡夫金字塔现高大约为

A.128.5米B.132.5米C.136.5米D.110.5米

【答案】C

【分析】

设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案.

【详解】

胡夫金字塔原高为人，则三产=3.14159,即〃=£1宗、”146.4米，

2h2x3.14159

则胡夫金字塔现高大约为136.4米.故选C.

【点睛】

本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答

案.属于常规题型.

4.中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽

W,经科学研究表明：C与印满足。=卬1＜岷式1+t），其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的

高斯噪声功率，?为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W,而将

N

信噪比三从1000提升至4000,则C大约增加了（）（附：lg2"Q3010）

N

A.10%B.20%C.30%D.40%

【答案】B

【分析】

先计算盘=1000和^=4000时的最大数据传输速率G和C2,再计算增大的百分比邑尹即可.

NN

【详解】

当士=1000时,C,=IVlog.1001«Wlog21000；

N

当士=4000时，G=Wlog.4001。Wlog,4000.

N

C2Y_Q_]_Wlog24000_]_<4000lg44-lgl000

所以增大的百分比为:G一日一_WJogJOOO--IglOOO_一__1g1000

lg4_21g22x0.3010

®0.2=20%.

Igl000-33

故选：B.

5.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog（l+得）.它表示：

在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率5,信道内部的

q

高斯噪声功率N的大小，其中?叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农

N

S

公式，若不改变带宽W,而将信噪比《从1000提升至8000,则C大约增加了（怆2。0.3010）（）

N

A.10%B.30%C.60%D.90%

【答案】B

【分析】

根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得;

【详解】

解：当2=1000时，C^WlogJOOO,当±二8000时，C.=Wlog,8000,

N'N

C,Wlog?8000lg80003+31g2…

唁回约增加了3。％.

故选：B

6.2020年11月24日4时30分，长征五号途五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约2200

秒后，顺利将探月工程嫦娥五号探测器送人预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的

最大速度v（单位:km/s）与燃料质量M（单位:kg）、火箭质量m（单位:kg）的函数关系为v=21n+若

已知火箭的质共为3100kg,火箭的最大速度为Ukm/s,则火箭需要加注的燃料为（参考数值为

ln2=0.69;ln244.69”5.50,结果精确到0.01）（）

A.243.691B.244.691C.755.44tD.890.23t

【答案】C

【分析】

利用指对互化解出〃，可得火箭需要加注的燃料的估算值.

【详解】

v=21nfl+—L则ll=21n[l+〃一],所以1+W_=e&5

ImJI3100J'3100

解得M=3100（e55-1）-3100x243.69=755439（kg）»755.44（t）

故选：C

7.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年，雅各布•伯

努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰•伯努利和菜布尼兹、惠

更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式一一双曲余弦函数：f（x）=c+acosh?=c

e，，+e＜，

la（。为自然对数的底数）.当c=0,。=1时，记。=/（-1）,n=f（2）,则P,

m,n的大小关系为（）.

A.p<m<nB.n<m<pC.m<p<nD.m<n<p

【答案】C

【分析】

先利用导数证明函数八幻在区间（0,+?）上单调递增，再结合单调性比较大小即可.

【详解】

.....、e~x+ex.-e~x+exe-1

由题意知，,/(x)=-丁一，f(x)=——-——="

当x>0时，r(x)>0,即函数/(x)在区间(0,+?)上单调递增

e-'+e

/(-1)=—⑴

V0<1<1<2,.-./^</(1)</(2),\^m<p<n

故选：C

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是利用导数证明函数〃x)的单调性，再结合单调性比较大小.

8.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为空气温度为

琮c,贝打min后物体的温度。(单位：℃)满足：。=%+幽-4)""(其中左为常数，

e=2.71828…).现有某物体放在20c的空气中冷却，2min后测得物体的温度为52℃,再经过6min后物

体的温度冷却到24℃,则该物体初始温度是()

A.80℃B.82℃C.84℃D.86℃

【答案】C

【分析】

先利用第二次冷却：4=52℃,%=20℃，片6,。=24℃,代入求出k=子，然后对第一次冷却，代入公式，

求出初始温度.

【详解】

第二次冷却：q=52℃,q=20℃,片6,。=24℃,

即24=20+(52-20)解得：&=?；

第一次冷却：。=52℃,4=20℃,片2,,

In8八

即52=20+(4-20”不，解得：G=84C；

故选：C.

【点睛】

数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：

(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字

语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；

（2）求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围；

（3）可以建立多个函数模型时，要对每个模型计算，进行比较，选择最优化模型.

9.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己

证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为

《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧

拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为乃（犬卜信的结论.若根据欧拉得

出的结论，估计10000以内的素数个数为（素数即质数，lge“0.43429,计算结果取整数）

A.1089B.1086C.434D.145

【答案】B

【分析】

1nnnn

由题意可知10000以内的素数的个数为计算即可得到答案.

In10000

【详解】

由题可知小于数字X的素数个数大约可以表示为乃（力士六，

则10000以内的素数的个数为%（10000卜则史-=W&=侬5丝=25001gey0.434292500al086,

'In1000041nl04

故选B.

【点睛】

本题考查对数运算性质的简单应用，考查学生的审题能力.

10.2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并

成功将高分九号03星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成

功，祖国威武.已知火箭的最大速度v（单位：km/s）和燃料质量M（单位：kg）,火箭质量m（单位：

kg）的函数关系是：v=20001n（l+‘],若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v

的值为多少（参考数值为In2ao.69；In101«4.62）（）

A.13.8B.9240C.9.24D.1380

【答案】B

【分析】

根据已知数据和函数关系式直接计算.

【详解】

v=2000XIn11+3：器。）=2000x（lnlOI）=2000x4.62=9240km/s,

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的应用，属于基础题.

11.为了研究疫情有关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始时刻的病例数为N。，平均每

个病人可传染给K个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L天，在L天之内，病例数目的增

长随时间r（单位：天）的关系式为Mf）=N°（l+2J若No=2,K=2.4,则利用此模型预测第5天的病例数大约

为（）（参考数据：logi.4454n8,log2.4454M,log3.4454k5）

A.260B.580C.910D.1200

【答案】C

【分析】

首先根据题意得到N（5）=2（1+2.4）5=2x3.4$,再根据参考数据求解即可.

【详解】

N⑸=20+2.4）5=2x3.45,

因为log?”454*5,所以3.4'=454,

所以N⑸=2x3.45"2x454=908k9l0.

故选：C

12.干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法、干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、

丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未，申、西、戌、亥为地支.把十

天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、...癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先

循环，甲对戊、乙对亥、…接下来地支循环，丙对子、丁对丑、.，以此用来纪年，今年2020年是庚子

年，那么中华人民共和国建国100周年即2049年是（）

A.戊辰年B.己巳年C.庚午年D.庚子年

【答案】B

【分析】

由题意2020年是干支纪年法中的庚子年，则2049的天干为己，地支为巳，即可求出答案.

【详解】

天干是以10为一周期，地支是以12为一周期，

2020年是干支纪年法中的庚子年，而2049-2020=29=2x10+9=2x12+5,所以2049的天干为己，地支

为已，

故选：B.

【点睛】

本题考查数学文化，实际生活中的数学应用，关键在于运用阅读理解能力将生活中的数据和用语转化为数

学中的概念和数据，属于中档题.

13.2020年初，新冠病毒肺炎(COV/D-19)疫情在武汉爆发，并以极快的速度在全国传播开来.因该病

毒暂无临床特效药可用，因此防控难度极大.湖北某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新

冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密

切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为"感染高危

户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为。且相互独立，该家庭至少检测了4人才

能确定为“感染高危户”的概率为八P),当时，”P)最大，此时P°=()

A.「姮B.叵C.正D.

5555

【答案】A

【分析】

由题意可得，该家庭至少检测了4人才能确定为"感染高危户"，则前3人检测为阴性，第4人为阳性，或

前4人检测为阴性，第5人为阳性.求出f(p),求/(p),利用导数求当最大时，。的值.

【详解】

由题意可得，该家庭至少检测了4人才能确定为"感染高危户”，则前3人检测为阴性，第4人为阳性，或

前4人检测为阴性，第5人为阳性.

•■•/(P)=(1-P)，P+(1-P)4P>

f\P)=-3(l-p)2p+(l-p)3-4(1-p)3p+(l-p)4=(l-p)2(5p2-10p+2)

Q0<夕—5+产］<0,

令/(p)>()，得0<p〈三普；〃P)<0,得沼叵<p<l.

♦."(0在0,—上单调递增，在—^,1单调递减，

...p=^Z时，/(#最大，即%=^1=1-半.

故选：A.

【点睛】

本题考查相互独立事件、互斥事件的概率计算公式，考查利用导数求最值，属于中档题.

14.复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主

知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，CR400BF-C智能复兴号动车组在京张

高铁实现时速350km自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强/(单位：W/m2

表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级Z.(单位：dB与声强/的函数关系式为

Z,=101g(«/),已知/=10'w/m?时，乙=10期.若要将某列车的声强级降低30dB,则该列车的声强应变为原

声强的()

A.10-5倍B.KT4倍C.10’倍D.IO一倍

【答案】C

【分析】

由题设可得“=10-3,代入函数式，由指对数的关系有/=1043,进而求声强级降低30dB的声强广，应用

指数累的运算性质求声强的比值.

【详解】

由题设，101g(103a)=10,解得a=10-3,则L=101g(l(f3/)=10(lg/-3),

=要使声强级降低30dB,则/，=10用%=]0+，

L

故选：C

15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函

数”为：设xeR,用卜]表示不超过x的最大整数，贝！|.丫=国称为高斯函数，也称取整函数，如：

[-3.7]=^,[2.3]=2,已知/(力=弄—1,则函数y=3[〃x)]-2[〃-切的值域为()

A.{-3,0,2)B.{-1,2}C.{-3,0,-2}D.{-2,0,3}

【答案】A

【分析】

化简得出/(x)=l-2，可得x>0时，[/(x)]=0；x=0时，[/(x)]=0;x<0时，[/(x)]=-l,即

可求出.

【详解】

,2(2*)-2-22

f(x)=-1=-----：-------1=2：----1=1-

2r+l2'+12'+12*+1

当x>0时，2"+le(2,-K>o),则白«0,1),则〃x)w(O,l),此时[。(切=0,

当x=0时，/(x)=0,则[〃x)]=0,

当x<0时,2、+1«1,2),则白产(1,2),则〃x)«-l,0),此时[0(x)]=T，

则对于函数y=3[〃x)]-2[〃-x)],

当x>0时,-x<0,lltHty=3[/(x)]-2[/(-x)]=3x0-2x(-l)=2；

当x=0时.，-x=0,此时y=3[/(x)]-2[〃-x)]=3x0-2x0=0；

当x<0时，—x>0,此时y=3[/(x)]_2[f(_x)]=3*(_l)_2x0=_3,

故V=3"(x)]-2"(一切的值域为{-3,0,2}.

故选:A.

【点睛】

关键点睛：解题的关键是化简得出/(x)=l-品■，分别求出x>0,x=0,x<0时/(力的取值范围.

16.我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操

控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“|0>,H>"2种叠加态，2个超导量子比特共有

“[00>,|01>,|10>,种叠加态，3个超导量子比特共有“|000>,|001>,|010>,

|100>,种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指

数级增长.设62个超导量子比特共有N种叠加态，则N是一个()位的数.(参考数据：地2b0.3010)

A.18B.19C.62D.63

【答案】B

【分析】

根据题意〃个超导量子比特共有2"种叠加态，进而两边取以10为底的对数化简整理即可得答案.

【详解】

根据题意，设〃个超导量子比特共有2"种叠加态，

所以当有62个超导量子比特共有N=262种叠加态。

两边取以10为底的对数得lgN=Ig262=621g2=62x0.3010=18.662,

所以N=10,8662=10。《2x108,由于10。<10°«2<10、

故N是一个19位的数.

故选：B

【点睛】

本题考查数学文化，对数运算，考查知识的迁移与应，是中档题.本题解题的关键在于根据材料得“个超导

量子比特共有2"种叠加态，进而根据对数运算求解.

17.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又

一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决

这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日乙点的轨道运行.人点是平

衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为Mi,月球质量为Mz,地月距离为R,4点到月球的

距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：

----匕■++=(△+r)T.

(R+r)2r2*

y_1_A"4Izy

设"二万’由于"的值很小，因此在近似计算中.…)2"3统,则r的近似值为

【答案】D

【分析】

本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立。的方程，解方程、近似计算.题目所处

位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运

算求解能力的考查.

【详解】

由a=三，得r=aR

A

MM,、M

因为----\+V=（/DR+r）T,

（R+r）2r2R3

%M,“、必

所以六（1+4a*iJR-,

，「八、1、a5+3a4+3«3.3

即二■=«-（1+a）------------]=---------------------=3a3,

陷（1+a）（1+。）

所以fJ毋

【点睛】

由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的

变形出错.

18.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：。=皿1。氏(1+5).它表

示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内

部的高斯噪声功率N的大小，其中?叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.

N

q

按照香农公式，若带宽W增大到原来的L1倍，信噪比《从1000提升到16000,则。大约增加了(附：

N

lg2«0.3)()

A.21%B.32%C.43%D.54%

【答案】D

【分析】

利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和16000时C的比值即可求解.

【详解】

l.lWlog16000lg160003+41g2

解：由题意12-1—1.1X1-I-1.1X-1=0.54,所以C大约增加了54%.

Wlog,10001g10003

故选：D.

19.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯

函数”为：设xeR,用国表示不超过x的最大整数，则了=[可称为高斯函数，也称取整函数，如:

[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知〃》)=言言，则函数y=[f(x)]的值域为()

A.{0,—3}B.{0,-11C.{0,—1,—21D.{1,0,—1,—2}

【答案】C

【分析】

结合指数函数性质求得"X）的值域，然后再根据新定义求y="（x）］的值域.

【详解】

3，+」,

3*-23317髭然31+I+1>1-3(3"'+1)3)’

1+3J+I3X+1+1-3-3(3x+1+l)

所以『3的值域是（-吗,

当-2</(x)v-l时，"(x)]=-2,

—14x<0时，[/«]=-1,当0«/(x)<；时"(x)]=0,

所以所求值域是{-2,-1,0}.

故选：C.

20.2020年第三届中国国际进口博览会开幕，时值初冬呼吸系统传染病高发期，防疫检测由上海交通大学

附属瑞金医院与上海联通公司合作研发的“5G发热门诊智慧解决方案”完成.该方案基于5G网络技术实现

了患者体温检测、人证核验、导诊、诊疗、药品与标本配送的无人化和智能化.5G技术中数学原理之一就

是香农公式：C=Wlog（l+5］.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C（单位：bit/s）

取决于信道带宽W（单位：HZ）、信道内信号的平均功率S（单位：dB）、信道内部的高斯噪声功率N

（单位：dB）的大小，其中三叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比《从1000提升

NN

至2000,则C大约是原来的（）

A.2倍B.1.1倍C.0.9倍D.0.5倍

【答案】B

【分析】

GWlog,20011,.,1111

由题可得7=wbgjooi”3电2+1,根据z=lgl04<lg2<lgl03=］可求出.

【详解】

C=Wlog2（l+J

当［=1000时,G=lVlog2（l+1000）=Wlog21001,

当士=2000时，G=Wlog?（1+2000）=Wlog,2001,

GWlog?2001Jog?2000k)g22+log210001।1J2+1

3+8+

则cf-WlogJOOl~log,1000-logJOOO-—log2IO-3

i11iiGii

又上=lgl(y*<lg2<lgio,=—,则一lg2ao.1,即U=l.l.

433cl

故选：B.

【点睛】

关键点睛：本题考查对数函数的应用，解题的关键是得出a341g2+1,再利用!=lgio!<lg2<lgio5=：

343

求出.

类型二:三角形类新文化题型

21.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最

具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的〃弓”，掷铁饼者的手臂长约为£

4

米，肩宽约为「米，"弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）

O

A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945米

【答案】B

【分析】

由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长.

【详解】

解：由题得：弓所在的弧长为：，=£+£+《=苧；

4488

5乃

所以其所对的圆心角。=葺=3;

JL

4

两手之间的距离d=27?sin—=x1.25»1.768.

4

故选：B.

【点睛】

本题主要考查圆心角，弧长以及半径之间的基本关系，本题的关键在于读懂题目，能提取出有效信息.

22.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑,，数百年来让无数观赏者人迷.

某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在

嘴角A,C处作圆弧的切线，两条切线交于3点，测得如下数据：AB=6cm,BC=6cm,AC=10.392cW（其

畔，。.866）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等

于（）

【答案】A

【分析】

由已知AB=8C=6,设ZABC=2夕.可得疝。=半=0.866.于是可得。，进而得出结论.

【详解】

解：依题意A8=8C=6,设Z4BC=26».

贝jlsin，=^^=0.866。虫.

62

；.e=-,20=—.

33

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为a.

则a+2。=万，

71

a=一.

3

故选：A.

【点睛】

本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于

中档题.

23.《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一

个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？"（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45

米，直径为24米，那么扇形田的面积为

A.135平方米B.270平方米C.540平方米D.1080平方米

【答案】B

【分析】

直接利用扇形面积计算得到答案.

【详解】

11?4

根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为5=H=]X45X]=270（平方米）.

故选：B.

【点睛】

本题考查了扇形面积，属于简单题.

24.希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父"，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形"

有关的问题.如图所示.阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是AABC的外接圆和以AB为直径

的圆的一部分，若=AC=BC=l,则该月牙形的面积为（）

B

君兀R7371rInn1"

424424424424

【答案】A

【分析】

求出AABC的外接圆半径，得弓形面积，再求得大的半圆面积，相减可得结论.

【详解】

解析由已知可得AB=G,AABC的外接圆半径为R=二有=1.由题意，内侧圆弧为AABC的外接圆的

2sm30

一部分，且其对应的圆心角为"，则弓形ABC的面积为k/x[0一sin四]=二-外侧的圆弧以A3

32<33J34

为直径，所以半圆A8的面积为gxnx图哼，则月牙形的面积为5邛邛+看

故选：A.

25.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群.故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬

至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75,冬至前后正午太

阳高度角约为30.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出

檐A8的长度（单位：米）约为（）

图1图2

A.3B.4C.6（G-1）D.3（g+l）

【答案】C

【分析】

根据题意，建立解三角形的数学模型，将问题转化为利用正弦定理解三角问题求解即可.

【详解】

如图，根据题意得ZACB=15,ZACD=105,ZADC=30,CD=24,

所以NCAO=45,

CDAC刖24AC

所以在AACD由正弦定理得pi_____=______

sinZ.CADsinZ.ACD'sin45-sin300

解得AC=12夜.

所以在RtAACB中,sinNAC5=就，即sin15。=百方,

y/3A/21

解得AB=120sinl5-=12&sin（60-45）=12>/2x-------X----------------X

222

12&x与2=3/（#-&）=66-6.

故选：C

-N

本题考查数学问题，解三角形的应用问题，考查数学建模思想，数学运算能力，是中档题.本题解题的关键

在于根据题意，建立三角形模型，利用正弦定理求解即可.

26.东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史.东寺塔基座

为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称.如

图，在A点测得：塔在北偏东30°的点。处，塔顶C的仰角为30°,且8点在北偏东60°.A3相距80

（单位：m）,在8点测得塔在北偏西60°,则塔的高度C。约为（）m

A

A.69B.40C.35D.23

【答案】B

【分析】

根据题意构造四面体GA8D,再运用线面位置关系及三角形相关知识求解出相应的线段长即可.

【详解】

如图，根据题意，图中CD_L平面A8D,NCW=30。，/班。=30。,乙48£>=60。,钻=80

△AB。中，ZBAD=30°,ZABD=60°,.-.ZADB=90°

AD=A8cos3flBA破88)?0=■

乂平面A8D,.•.△ACO是直角三角形

Rt^ACD中，ACAD=30°,ZADC=90°,AD=4073

CD=AD-tan30°=4073x—=40,选项B正确，选项ACD错误

3

故选：B.

27.三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，

四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角a为直角三角形中的一个锐角，若

该勾股圆方图中小正方形的面积H与大正方形面积演之比为1:25,则cos(a+.)=()

7啦

lo-

【答案】D

【分析】

如图。由题意得£）七=。。85。=七。一七”=。。5皿。一"。。，从而可得sin。一cosa=（,给等式两边平方

247而cos(a+网］=cosacos网—sinasin2

化简后得2sinacosa=—，从而可求出sina+cosa=-

255(4J44

na+cosa)，进而可求得答案

【详解】

由题意得OC=5£W,因为CE=OCsina,

DE=DCcosa=EC-EH=DCsina--DC,

5

所以sina-cosa=1，贝ijl-2sinacosa=，,

525

24

所以2sinacosa=—,

25

249

所以(sina+cosa)~=l+2sinacosa=—,

7T7

因为aw(0,5),所以sina+cosa=g,

3»..3乃

所以cosa+——=cosacos-----sinasin—

I4J44

=---(sina+cosa)、

V27772

------------X—=---------------,

2510

故选：D

28.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文

人雅士的宠物，所以又有"怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，M为QN的一个靠近点N的三等分点，

若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）

【答案】D

【分析】

设ON=r,扇形的圆心角为a,求出整个扇形的面积和扇环的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求

事件的概率.

【详解】

设ON=r,扇形的圆心角为a,则整个扇形的面积为S，=Ja/,

52

扇环的面积为S4=2a/,由几何概型的概率公式得p=¥­=-.

22⑴181“9

2

故选：D.

【点睛】

本题考查几何概型概率的计算，解答的关键在于计算出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于基础题.

29.我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之

又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算

圆的面积.如图。。的半径为1,用圆的内接正六边形近似估计，则。。的面积近似为毡，若我们运用割

2

圆术的思想进一步得到圆的内接正二十四边形，以此估计，。。的面积近似为（）

O

A.3（""）B.3（>+⑹C.3（卡-&）D,3（«+0）

22

【答案】C

【分析】

求得圆内接正二十四边形的面积，由此求得。。的面积的近似值.

【详解】

/7_/y

sin15°=sin（45°-30°）=sin450cos300-cos45°sin30°=7J，

圆内接正二十四边形的面积为24x；xlxlxsinW=12x与也=3（指-⑶.

故选：C

30.筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的

工作原理，如图所示，已知筒车的半径为4m,筒车转轮的中心。到水面的距离为2m,筒车沿逆时针方向

以角速度。（。>。）转动，规定：盛水筒用对应的点P从水中浮现（即凡时的位置）时开始计算时间，且以

水轮的圆心。为坐标原点，过点。的水平直线为x轴建立平面直角