第六章数列-第一节等差数列、等比数列的概念及求和

【数学精品】2013版«6年高考4年模拟》

第六章数列

第一节等差数列、等比数列的概念及求知

第一部分六年高考题荟萃

2012年高考题

一、选择题

1.12012高考市:庆理1】在等差数列｛4｝中，%=1，4=5则｛6,｝的前5项和S5=

A.7B.15C.20D.25

【答案】B

【解析】因为。2=1，%=5，所以q+%=&+%=6，所以数列的前5项和

也*)=^”4=2x6=15,选B.

222

2.12012高考浙江理7】设S”是公差为d(d#0)的无穷等差数列｛an｝的前n项和，则下

列命题错误的是

A.若d<0,则数列｛Sn｝有最大项

B.若数列｛Sn｝有最大项，则d<0

C.若数列｛Sn｝是递增数列，则对任意〃eN*,均有S,>0

D.若对任意〃eN*,均有S“>0,则数列｛Sn｝是递增数列

【答案】C

【解析】选项C显然是错的，举出反例：一1,0,1,2,3,….满足数列｛S,,｝是递增数列,

但是S.>0不成立.故选C。

3.12012高考新课标理51已知｛4｝为等比数列，4+%=2,=-8，则q+a10=

()

Q)7(5)5(C)-5(£>)-7

【答案】D

【解析】因为｛凡｝为等比数列，所以生4=4%=-8，又4+%=2，所以

a4=4,%=-2或。4=-2,%=4.若％=4,a7=—2,解得力=-8,tz10=1,

%+。10=-7；若。4=-2,%=4,解得。]0=-8,al=1,仍有为+qo=-7，综上

选D.

|H兀

4.[20121局考上海理18】设%=-sin—，S=/+2+…+。〃，在S1,S2,…，S]。。中，

n25

正数的个数是()

A.25B.50C.75D.100

【答案】D

【解析】当1W〃W24时，an>0,当26<〃W49时，<0,但其绝对值要小于1<〃<

24时相应的值，当51W〃W74时，an>0,当76W/W99时，an<0,但其绝对值要小于

51W/W74时相应的值，.•.当lW〃<100时，均有邑>0。

【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，

从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0,这就是规律，考查综合分析问题和解决问题

的能力.

5.12012高考辽宁理6】在等差数列考“｝中,已知色+。8=16,则该数列前11项和&尸

(A)58(B)88(C)143(D)176

【答案】B

【解析】在等差数列中，•••q+q,=%+4=]6,：.%=llx(：+a")=88,答案为B

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能

力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。

6.12012高考福建理.2】等差数列｛a。｝中，ai+as=10,a4=7,则数列｛%｝的公差为

A.lB.2C.3D.4

【答案】B.

考点：等差数列的定义。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为等差数列的通项公式4=1+(〃-1)4。

【解析】法1：由等差中项的性质知。3=&詈=5,又♦.•%=7,，4=4-。3=2.故选

B.

2al+4d=10

法2：=>d=2

a1+3d=7

712012高考安徽理4】公比为次等比数列｛a,,｝的各项都是正数，且。3即=16,则Iog2q6=

()

(A)4(6)5(C)6(0)7

【答案】B

【解析]=16=。；=16=%=4=>。|6=%x/=32=log2。坨=5.

I

8.(2012高考全国卷理.5】已知等差数列｛a。｝的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列

的前100项和为

1009999101

(A)——(B)——(C)-----(D)-----

101101100100

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前〃项和的公式的运用，以及裂项求和

的综合运用，通过已知中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和。

【解析】由。5=5,$5=15,得q=1,4=1,所以4,=1+(〃-1)=〃，所以

1111

又

a„an+\«(«+1)〃〃+1

11111]_J____1____1_100

--------P・・・----------=----------P-++1选

--而一而A.

a\a2-------a\Maw\1223TooToT

二、填空题

9.12012高考浙江理13】设公比为q(q>0)的等比数列｛a0｝的前n项和为Sn»若S2=3a2+2,

S4=3a4+2,贝ijq=。

【答案】-

2

【解析】将S2=3%+2,S4=3%+2两个式子全部转化成用6,q表示的式子.

即『+%=3"+2,两式作差得：卬/+44=3的(/_1),即：2q2_q_3=0,

[41+49+49-+。“=3at<j+2

解之得：q=|■或g=-1(舍去).

10.[2012高考新课标理16]数列｛。,,｝满足4.+(-1,则｛%｝的前60项和

为_______

【答案】1830

【解析】由％=2〃一1得，

%+2=(一1)"4㈤+2〃+1=(-1)"[(一1)"-%“+2〃一1]+2〃+1

=-4+(-1)”(2〃-1)+2〃+1,

即4+2+4"=(一1)"(2〃-1)+2〃+1,也有%+3+%+|=-(-1)"(2〃+1)+2〃+3,两式相

加得4+%+1+4*2+%+3=一2(-1)"+4〃+4,设左为整数，

则。4欠+1+。4*+2+"*+3+。4«+4=-2(-1严1+4(4%+1)+4=16%+10,

1414

于是Sg=£(。软+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4)=Z(16k+'10)=1830

K=0K=0

11.(2012高考辽宁理14]已知等比数列｛恁｝为递增数列，且片=60,2(%+q+2)=5«„+1,

则数列｛。“｝的通项公式。“=。

【答案】20

【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题.

【解析】；a；—。|(),二(qq)~=qq»•-4=q,：.a“=q,

2

2(a“+an+2)=5<7n+1,/.2an(l+q)=5a“q,:.2(1+/)=5q,解得q=2或g=g(舍去)，；.an-2"

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。

12.12012高考江西理12]设数列h巾｛%｝都是等差数列，若卬+々=7,%+4=21，

则％+=o

【答案】35

【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算。考查等差中项的性质及整体代换的数学思想

【解析】(解法一)因为数列｛/｝,｛〃｝都是等差数列，所以数列｛勺+〃｝也是等差数列.

故由等差中项的性质，得(见+4)+(4+“)=2(弓+63)，即M+4)+7=2X21,解得

%+々=35.

(解法二)设数列｛凡｝，仙，7｝的公差分别为&,4.

因为%+4=(4+2d[)+(4+2d1)=(<71+/?])+2(4+4)=7+2(4+d))—21,

所以4+d>=7.所以%+&=(。3+4)+2(4+d])—35.

【点评】对于等差数列的计算问题，要注意掌握基本量法这一通法，同时要注意合理使用等

差数列的性质进行巧解.体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公

式，前〃项和，等差中项的性质等.

13.[2012高考北京理10]已知｛q｝等差数列S”为其前n项和。若4=；，S2=%，则

02=_________

2

【答案】a2=\,S=-n+-n

"44

［解析】因为=/n4+〃3nq+4+"=卬+2"=>"=q=g

所以。2=。1+1=1，S“=〃％+〃(〃-l)d=+；〃。

2

14.12012高考广东理11】已知递增的等差数列｛aj满足a「l,o3=a2-4,贝Uar.

【答案】2〃一1

【解析】由%=出？一4得到1+2d=(1+HA-4,即/=4,应为｛an｝是递增的等差数列,

所以d=2,故4=2〃-1。

三、解答题

15【2012高考江苏20](16分)已知各项均为正数的两个数列｛《,｝和也,｝满足:

nwN*,

b(h\

(1)设勿M=1+=，〃eN*,求证：数列组卜是等差数列；

a“

L

(2)设6用=收・口，nwN*,且｛a,,｝是等比数列，求q和乙的值.

数列2是以1为公差的等差数列。

(2)b„>0,4(2+“<(/+初2。

+b”<V2o

1<a,=.-*)

n+'际1

设等比数列｛4｝的公比为夕，由%＞0知夕＞0,下面用反证法证明夕=1

6

若夕＞1,则。]=未＜02K后，，当曾＞log。一时，/+1=。1夕”＞0，与（*）矛盾。

q%

n

若0〈夕vl，则可=">。2>1，,当〃>logg,时，an+l=axq<1,与(*)矛

qq

盾。

J综上所述，(7=1O；・册=%(〃£%*),/.1<^1<V2O

又・・・d+1=行•4="•d(〃£N*),・・・{bn}是公比是亚的等比数列。

ana\a\

若q片0,则也＞1,于是b]＜b2Vb3。

a\

—a\2《2-佻~

乂由an+\即可=,得a=

”4。「一

7^77?^?1

；.如br&中至少有两项相同，与“v62Vb3矛盾。。1=3。

/.q=b2=C。

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

而证明如■-%=1而得证。

\。〃+17\an）

(2)根据基本不等式得到1<a”」=-卜：k<6,用反证法证明等比数列｛/｝

A2+V

的公比夕=1。

从而得到％=。](〃eN*)的结论，再山瓦+i=&・%=立•%知｛h„｝是公比是—的等比

%a\a\

数列。最后用反证法求出生飞=6。

16.[2012高考湖北理18](本小题满分12分)

已知等差数列｛4｝前三项的和为-3,前三项的积为8.

(I)求等差数列｛4｝的通项公式；

(II)若外,为，q成等比数列，求数列｛Ia„1｝的前n项和.

【答案】(I)设等差数列｛4｝的公差为d,则g=q+d,%=卬+21，

+3d=—3,,_/口】二或q=-4.

由题意得1，解得

ax(%+d)(a]+2d)=8.d=3.

所以由等差数列通项公式可得

an=2—3(/?-1)=—3n+5,或％=—4+3(〃-1)=3〃—7.

故an--3〃+5,或。〃=3〃-7.

(II)当%=-3〃+5时，%，%，卬分别为T，-4,2,不成等比数列；

当q=3〃-7时，%，%，%分别为-1，2,-4,成等比数列，满足条件.

一3勿+7,A?=1,2,

故14,1=13"-7|=

3〃-7,w>3.

记数歹U{[4|}的前〃项和为S「

当”=1时,B=|q|=4；当〃=2时，S2=|q|+|.l=5；

当心3时，

Sn=S2+|%I+1%I+…+14I=5+(3x3-7)+(3x4—7)+…+(3〃—7)

.("—2)[2+(3〃-7)[3211[八>1/ru■+'1»-a.LL-P-

=5+--------——---------=-nz——〃+10.当〃=2时，满足此式.

222

4,H=1,

综上，<311

-n2-----n+10,n>\.

122

17.(2012高考广东理19](本小题满分14分)

设数列｛a0｝的前n项和为Sn,满足2S”=%+1-2川+1,nGN•，且a”a2+5,a?成等差数列.

(1)求处的值；

(2)求数列｛an｝的通项公式.

1113

(3)证明：对一切正整数n,W—+—+

«1«2%2

【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解

能力与推理论证能力，难度一般.

n+,+2n+,

【解析】(1)2Sn=an+i-2+1,2S„+1=a„+2-2"+1相减得：a„+2=3«„+1+2

2S1=4-3=%=2q+3,%=3%+4=6%+13

q,%+5M3成等差数列<=>4+q=2(%+5)<=>q=1

(2)q=1,叼=5得a”/=3。“+2”对V〃eN*均成立

+l

%=3a“+2"oan+l+2"=3(a„+2")

得

a”+2"=3(%+)=32(%_2+2"2)=…=3,,_|(q+2)o=3"-2"

13

(3)当”=1时，一=1〈一

a}2

(1)">(|)2>2o3"〉2x2"=4>2"=L/

当"22时,

111,113

—+—+••-+—<1+—H---r+・••-!----=1-1----------<—

由上式得：对•切正整数〃，有,+工+…+’<3。

qaia„2

18.[2012高考陕西理17](本小题满分12分)

设｛a,,｝的公比不为1的等比数列，其前〃项和为S,，且出成等差数列。

(1)求数列｛%｝的公比；

(2)证明：对任意keN+,Sk+2,Sk,Sk+i成等差数列o

【解析】⑴设数列｛%｝的公比为q(q*0,qHl)。

由4，-(成等差数列，得2a3=%+%，即2aa?=q,+q/。

由qwO,qH0得g?+q-2=0,解得％=-2,q2-1(舍去)，所以q=-2。

(2)证法一：对任意左eN+，(IbyIfx)

ak+]+4+2+4+1

=24+|+4“(-2)=0,

所以，对任意左eN+，Sk+2,Sk,成等差数列。

证法二：对任意比eN+，2Sk

i—q

4（1-相〜）（1-尸）_a\（2-q八~-屋+i）

SA+2+S4+]I=

l-q1一夕i-q

2……)=坐上让「I

\-q\-q

=言以1一力一(2一产_/叫

=^-(/+q-2)=0,

\-q、/

因此，对任意kwN+，S«+2，SQIT成等差数列。

19.12012高考重庆理21](本小题满分12分，(D小问5分,(H)小问7分.)

设数列|%|的前〃项和S,满足S,,+|=%S,,+q,其中。2WO.

(I)求证：|勺|是首项为1的等比数列；

(II)若%>-1，求证：Sn<-(at+a2),并给出等号成立的充要条件.

【答案】(1)证明:由52=451+。]，得q+%=q%+4，即。2=。2。1。

因o,=0,故4=1,得&=%，

a\

又由题设条件知Sn+2=a2s.+I+q，S“+[=a2Sn+a,

两式相减得S,*2—S,,M=%（S.M-s”），即a„+2=%，

11

山%w0,知q+]w0,因此%=a2

an+l

综上，吐=%对所有〃eN*成立，从而｛%｝是首项为1,公比为々的等比数歹U。

4+i

(2)当〃=1或2时，显然S〃==(q+凡)，等号成立。

设〃23,%>一1且由(1)知，.=1，a“=a/，所以要证的不等式化

为：

1+%+%?+…+%"一|«5(1+以一')(〃23)

即证：l+t/z+az?'!---F/"4—-—+

当4=1时，上面不等式的等号成立。

当一1<%<1时，%‘T与々"'T，（r=L2,3,…，〃-1）同为负;

当。2>1时,%'-1与。2--1，（厂=1,2,3,…，〃-1）同为正；

因此当生〉T且外力1时，总有（叫"T）（ai~r-1）>0,即

%'+a,"'<1+a,",（r=1,2,3,…，〃-1）。

2-1

上面不等式对r从1到〃一1求和得，2（a2+a2+-••+a/'）<（«-1）（1+a；）

Yl

综上，当%>T且%/0时，有5“4/（q+/），当且仅当〃=1,2或々=1时等号成立。

20.[2012高考江西理16]（本小题满分12分）

1,

2

已知数列㈤｝的前n项和S“=一一n+kn,左eN*,且Sn的最大值为8.

2

（1）确定常数k,求a*

9-2（7

（2）求数列｛-2〃〃｝的前n项和Tno

【答案】解：（1）当〃=攵eN*时，S“=—I/+加取最大值，即8=一1/+炉=,左2,

"222

979

故攵=4,从而%=S〃—S〃_]=5—〃522）,又q=S]=5,所以为=1—〃

,、e-9-2a„n,23w-1n

（1）因为.=2"=k，4=4+a+…+2=1+5+^+…+^r+广

IIri1n"+2

所以（,=27；=2+1+5+…+产—产=4—产一干=4-

【点评】本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利

用。,,=：来实现%与S“的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意

0〃-S“T

%=S“_S,_|不能用来求解首项q,首项q一般通过4=5,来求解.运用错位相减法求数列

的前〃项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是

等比数列.

21.[2012高考湖南理19]（本小题满分12分）

已知数列｛a〃｝的各项均为正数，记A(/?)=&+改+...+&,B(z?)=a2+a+.......+&“，C(.ri')

=&+&+.......+a,”2,//-I,2?♦♦♦♦♦♦

(1)若d=1,a?=5,且对任意〃GN*,三个数1"),8"),C(/?)组成等差数列，

求数列｛a,｝的通项公式.

(2)证明：数列｛a｝是公比为g的等比数列的充分必要条件是：对任意〃eN*,三个

数/(〃)，B(/?),C(n)组成公比为0的等比数列.

【答案】解(1)对任意〃eN*,三个数Z(〃),8(〃),C(〃)是等差数列，所以

B(n)-A(n)=C(ri)-B｛ri),

即。”+1=4+2,亦即4+2一勺7=4一卬=4

故数列｛q｝是首项为1，公差为4的等差数歹U.于是为=1+(“-1)x4=4〃—3.

(II)(1)必要性：若数列｛q｝是公比为g的等比数列，则对任意〃eN*,有

an-\~anq-由。”＞。知，Z(〃),3("),C(〃)均大于0,于是

B(n)_a2+a3+...+an+l_q(q+%+…+4)_

―77_7===q,

A(n)q+%+―+%。]+%+・・・+。〃

C(n)_a3+a4+...+an+2_q(a2+a3+...+an+))_

z~，===q，

B[n｝%+。3+…+an+\%+。3+,••+an+\

即驷=①D=q,所以三个数/(〃),8(〃),C(〃)组成公比为q的等比数列.

A(n)B(n)

(2)充分性：若对于任意〃EN*,三个数力(〃),8(〃),。(〃)组成公比为9的等比数列，

则

B(n)=qA(ri).C(ri)=qB(n),

于是。(是-B(n)=q[B(n)-4(〃)],得an+2-a2=式％-q),即

由"=1有5(1)=/4(1),即a2=q%,从而an+2-qan+]=0.

因为。“〉0,所以吐="=q,故数列｛%｝是首项为q,公比为q的等比数列，

%«i

综上所述，数列｛。“｝是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nEN*,三个数

“(〃),3(〃),。(〃)组成公比为4的等比数列.

［点评］本题考杳等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列

定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.

22.【2012高考山东理20】本小题满分12分)

在等差数列｛凡｝中，/+4+%=84,4=73.

(I)求数列｛《,｝的通项公式；

m2m

(II)对任意meN*,将数列｛凡｝中落入区间(9,9)内的项的个数记为hm,求数列

也｝的前加项和S“,.

【答案】解：(I)因为｛q｝是一个等差数列，

所以。3+。4+=3。4=84，即。4=28.

所以，数列｛q｝的公差4令=飞至=9，

所以,a„=%+(〃-4)d=28+9(〃-4)=9〃-8(〃wN")

(II)对唐eN*,若9m<a„<92m,

则9"'+8<9〃<92'"+8,因此9m-'+1<w<92m-',

2mm

故得bm=9-'-9(lbylfx)

于是S,“=白+8+仇+…+b,“

=(9+93+95+...+92m-1)-(l+9+92+...+9m-1)

_9x(l-81m)i-9m

=-1^811-9

.92，”+I-iox9"'+l

一80

2011年高考题

一、选择题

1.(天津理4)已知｛""｝为等差数列，其公差为-2,且%是%与%的等比中项，S“为

｛""｝的前〃项和，葭wN*，则Co的值为

A.-110B.-90

C.90D.110

【答案】D

2.(四川理8)数列｛""｝的首项为3,2"｝为等差数列且“=%+1一%(〃€~*).若则

仇=-2,狐=12,则％=

A.0B.3C.8D.11

【答案】B

［解析］由已知知〃，=2〃—8M“M-4=2〃-8,由叠加法

（%—Q］）+（%—生）+…+（4—%）=—6H—4H—2+0+2+4+6=0q=卬-3

3.（全国大纲理4）设J为等差数列｛吟的前〃项和，若4=L公差"=2,S*+2-1=24,

则左=

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

4.（江西理5）已知数列｛"〃｝的前n项和J满足：S,,+S,“=S,+m,且％=］.那么须=

A.1B.9C.10D.55

【答案】A

二、填空题

5.（湖南理⑵设S”是等差数列仞”｝（〃€“），的前〃项和，且％=1q=7,

则$9=

【答案】25

6.（重庆理11）在等差数列｛《J中，%+%=37,则为+%+/+4=

【答案】74

1.（北京理11）在等比数列｛an｝中，al=2,a4=-4,则公比q=；

同+同+...+|%|=。_2

2"-1--

【答案】2

8.（广东理11）等差数列的」前9项的和等于前4项的和.若e=1，4+4=°,则

k=.

【答案】10

9.（江苏］3）设1＜卬4…Wa7,其中qM3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6

成公差为1的等差数列，则q的最小值是

【答案】退

三、解答题

10.（江苏20）设M部分为正整数组成的集合，数列｛%｝的首项4=1,前n项和为S，，，

已知对任意整数kGM,当整数〃>%时，S“+*+S“_*=2（5“+S*）都成立

（1）设〃={1}，%=2,求出的值；

（2）设/=3,4},求数列{a,,}的通项公式

本小题考查数列的通项与前”项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考杳考生分析

探究及逻辑推理的能力，满分16分。

解：（1）由题设知，当〃N2时,S,+i_S”_|=2（S.+S|）,

即（S〃+i-S“）一（S〃一S"T）=2S],

从而“"+i-a«=2q=2,又4=2,故当〃N2时,a”=4+2（〃-2）=2〃-2.

所以生的值为8。

（2）由题设知，当“河={3,4},月，>4时，Sn+k+S时卜=2sti+2Sk

且S"+1+A+S“+1_*=2Sn+i+2Sk

两式相减得%+i+%+%+i=2an+1,gPa„+1+*-an+l_k=an+l-an+l_k

所以当〃28时，a〃_6，。“-3，①，4+3，％+6成等差数列，且a„-6，。〃一2，。〃+2，％+6也成等差数

列

从而当〃28时，2%=a“+3+4T=%+6+%-6・（*）

且%+6+4-6=%+2+4-2，所以当8时,2a=a+a_

nn+2n2f

aaa

即。"+2n~n~n-2于无T〃29时,<7,;+],<7,J+3成等差数列，

aa

从而J+*=„+l+n-\（

故由（*）式知2。"=。"+1+%，即。"+1-an=an-an-\-

当〃29时，设/=%一%+「

当2W加S8时,加+628,从而由（*）式知2限=4+%用2

故2am+7~am+\+《"+13・

从而2（%+7一限）=q”+i一%,+（4+13一金+12）,于是%+1-am=2d-d=d.

因此，%-4=d对任意w>2都成立,又由S,,+*+Sn_k-2s*=2S*（左e{3,4}）可

知（Sn+t-S,,）-（Sn-S„_k）=2Sk,故9d=2s3且16d=254

7_3d_

a4=/d,从而4=~d,a]

解得2

因此,数列何｝为等差数列，由4=1知"=2.

所以数列｛%｝的通项公式为%=2〃-1-

11.(北京理20)

若数列'"=…,％522)满足|。"+1一力=1(%=1,2,...,〃一1),数歹|JAn为E数列,

记S(Z“)=%+%+•••+%

(I)写出一个满足q=4=°,且s(4)〉0的E数列4；

(H)若q=12,n=2000,证明：E数列4是递增数列的充要条件是“”=2011：

(III)对任意给定的整数n(n>2),是否存在首项为0的E数列A”,使得'(4)=()?

如果存在，写出一个满足条件的E数列如果不存在，说明理由。

解：(I)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。

(答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)

(II)必要性：因为E数列A5是递增数列，

所以%+1-%=16=1，2,…,1999)

所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.

所以a2000=12+(2000—1)x1=2011.

充分性，由于a2000—alOOOWl,

a2000—al000<l

a2—a1W1

所以a2000—aW19999,即a2000Wal+1999.

又因为因=12,a2000=2011,

所以a2000=al+1999.

故%+i-/=1>°（攵=12…,1999）,即从是递增数列

综上，结论得证。

（in）令q=%+1—%=1>。（后=12…，〃—1）,则=士L

因为。2=%+。]+%=%+5+。2

%=q+C|+C2+-.+C“M，

所以S(4)=〃q+(〃-l)G+(«-2)C24-(/7-3)C3+…+%

=吗1)_[(1-G)(〃-1)+(1一。2)(〃-2)+…+(1-c„_,)].

因为c*=±1,所以1一q.为偶数(％=1,…,〃T).

所以*1-G)(〃T)+(1-GX/一2)+…+(1—c“)为偶数,

5(4,)=0,必须使〃(“-1)

所以要使2为偶数，

即4整除〃(〃-1)，亦即"=4加或〃=4m+l(meN*)

当〃=4加+1(加eN*)时,E数列4,的项满足。软+1=a4k-i=。，。4==T%*=1

(左=1,2,…,加)时，有=0,S(4,)=0；

a4k=1(%=1,2,...,加),。"+1=0时,有。1=0,S(4,)=0;

当〃=痴+1(/MeN*)时，礴列4,的项满足，*=a37=0,%*一2=T，

当〃=4加+2或〃=4加+3(加eN)时,〃(加-1)不能被4整除，此时不存在E数列An)

使得a,=°5s(4,)=0・

12.(广东理20)

〃她t/、小

(।an=--------———(〃>2)

设b>0,数列i"/满足al=b,a,i+2"-2

(1)求数列｛4｝的通项公式；

6〃+i

an4^7T+1•

(2)证明：对于一切正整数n,2

解：

A、C上I〃她一1、八“12/7-1

a、=b>0,知a“=---------------->0,—=—I----------.

⑴由％+2〃-2anbb%

4=一，4=7

12

2时,Z,=-+-<,

当bh

122n'22〃T,

=---1---7+…H------d------A,

bb2bn-1b"-'1

122"~22'i

=---1----+•••d--------I------

bb2b'7bn

①当时，

,)b"-T

A=----------------=-------------

".2b"(b-2)

h

yi

6=2时，4=-.

②当2

a”=jb-2"

[2,b=2

nb"(b-2)^bn+'1,只需证加w(|^+i)F|l

(2)当6.2时，(欲证"b"-T-2川ZD—L)

hn_?w

(2〃+i+状)---------=(2w+,+bn+l)S〃T+2bn:+…+2"T)

=2n+1b"~'+2"+2h"-2+---+22"+b2n+2Z)2"-1+•••+2"-'b""

=2.(2+*…++)

bb2b"2"2"i2

>2"6"(2+2+…+2)=2〃・2"b"=n-2n+]b"

〃”-z〈2+L

b--n-rc+1

A,,+l

b=2时,。“=2=—-+1.

当n2n+1

】•

综上所述“2”M+

13.(湖北理19)

已知数列｛“"｝的前〃项和为S",且满足：口=。(。*0),a“+i=rS，(〃eN*,

rGR,rw-1)

(I)求数列｛"”｝的通项公式；

(H)若存在左GN*,使得&+I,Sk,&+2成等差数列，是判断：对于任意的加CN*,

且飙+1,a,”,呢+2是否成等差数列，并证明你的结论.

本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般

的思想。(满分13分)

解：(I)由已知/+1=4,,可得/+2=rS"+1,两式相减可得

4+2-勺+1=-S.+]-S.)=ran+i,

即为+2=。+1)%+1，

又4=9=阳，所以r=0时，

数列｛“〃｝为：a,0,…，0,,••；

当厂片0,尸力一1时，由已知。所以％力0(〃eN*),

S=r+l(〃eN*)

于是由%+2=(r+l)4+i，可得。”+|,

‘a2M3,…，%+…成等比数列,

-2

.,.当n22时an=r(r+1)"a.

%〃=1，

a=\

综上，数列缶"｝的通项公式为“nHr+1)w2a,n>2

(II)对于任意的〃?eN*,且加22MBi+”4,4+2成等差数列，证明如下：

a,n=1,

am=s

当r=0时，由(I)知，10,“22

二对于任意的mwN*,且加22,为+|,册,%+2成等差数列，

当roO,尸片-1时，

***S&+2=Sk+%+1+ak+2^k+\+4+1•

若存在kwN*,使得,Sk+2成等差数列,

则S+i+Sk+z~2Sk,

'•2sM+2%i+4+2=2sq,即％2=-24+],

由⑴知，/，/，…，金，…的公比尸+1=-2,于是

对于任意的加$N*,且a22,金+i=-,从iTiJain+2=4q〃,

•二a〃用+册+2=2am，即品+i，4“金+2成等差数列，

综上，对于任意的机eN*,且根22,%用,％,%,+2成等差数列。

14.（辽宁理17）

已知等差数列｛an｝满足a2=0,a6+a8=-10

（I）求数列｛an｝的通项公式；

（II）求数列｛H含J｝的前n项和.

解：

q+d=0,

<

（I）设等差数列｛"J的公差为d,由已知条件可得12%+12"=-10,

4=1,

jd--1

解得I"L

故数列S"｝的通项公式为巩=2-〃............5分

（ID设数列串｝的前〃项和为s”，即S，=4+彳…+畀故$=1

a„

2242"

所以，当"〉1时,

,1112-〃、

=1-（一+—+…+—：-------）

242"-12"

=1-（1--

2n~'2"

n

~T'

15.(全国大纲理20)

设数列{"/满足勾=°且1—“网1一""

(I)求'J的通项公式；

4=-,记S"=力".，证明：s”<1.

(II)设7〃k=l

解：

(I)由题设1一%+11一%

{J}

即1—凡是公差为1的等差数列。