安徽省黄山市泰安中学高三数学文期末试题含解析

安徽省黄山市泰安中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则二项式展开式的常数项是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略2.“”是“的展开式的第三项是60”的

（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A3.是在上的奇函数，当时，，则当时=（

）A

B

C

D

参考答案：D略4.全国十运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为

(

)

A.

B.

C.

D.

参考答案：答案：A

解析：先从14人中选出12人,再将12人进行分组,且每组4人.5.设，则a，b，c的大小关系是

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.定义在上的函数满足，当时，；当时，，则

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.已知a是函数f（x）=2x﹣的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）=0 B．f（x0）＞0C．f（x0）＜0 D．f（x0）的符号不确定参考答案：C考点： 函数的零点；函数的零点与方程根的关系．专题： 压轴题．分析： a是函数的零点，函数增函数，本题根据函数的单调性和零点的性质进行求解．解答： 解：∵在（0，+∞）上是增函数，a是函数的零点，即f（a）=0，∴当0＜x0＜a时，f（x0）＜0，故选C．点评： 函数是增函数，单调函数最多只有一个零点，a是函数的唯一零点8.设y=，则=（

）A．2x

B．(2+4x2)

C．(2x+x2)

D．(2+2x2)参考答案：答案：B9.已知函数y=f（x）是R上偶函数，且对于?x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0.3]，且x1≠x2时，都有＞0．对于下列叙述；①f（3）=0；

②直线x=﹣6是函数y=f（x）的一条对称轴；③函数y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为增函数；

④函数y=f（x）在区间[﹣9，9]上有四个零点．其中正确命题的序号是（）A．①②③ B．①② C．①②④ D．②③④参考答案：C【考点】抽象函数及其应用；命题的真假判断与应用．【分析】分析4个命题，对于①，在用特殊值法，将x=﹣3代入f（x+6）=f（x）+f（3）中，变形可得f（﹣3）=0，结合函数的奇偶性可得f（3）=f（﹣3）=0，可得①正确；对于②，结合①的结论可得f（x+6）=f（x），即f（x）是以6为周期的函数，结合函数的奇偶性可得f（x）的一条对称轴为y轴，即x=0，可得直线x=﹣6也是函数y=f（x）的一条对称轴，可得②正确；对于③，由题意可得f（x）在[0，3]上为单调增函数，结合函数是偶函数，可得f（x）在[﹣3，0]上为减函数，又由f（x）是以6为周期的函数，分析函数y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]的单调性可得③错误；对于④，由①可得，f（3）=f（﹣3）=0，又由f（x）是以6为周期的函数，则f（﹣9）=f（9）=0，即函数y=f（x）在区间[﹣9，9]上有四个零点，④正确；综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析命题，对于①，在f（x+6）=f（x）+f（3）中，令x=﹣3可得，f（3）=f（﹣3）+f（3），即f（﹣3）=0，又由函数y=f（x）是R上偶函数，则f（3）=f（﹣3）=0，则①正确；对于②，由①可得，f（3）=0，又由f（x+6）=f（x）+f（3），则有f（x+6）=f（x），即f（x）是以6为周期的函数，又由函数y=f（x）是R上偶函数，即f（x）的一条对称轴为y轴，即x=0，则直线x=﹣6也是函数y=f（x）的一条对称轴，②正确；对于③，由当x1，x2∈[0，3]，都有＞0，可得f（x）在[0，3]上为单调增函数，又由函数y=f（x）是R上偶函数，则f（x）在[﹣3，0]上为减函数，又由f（x）是以6为周期的函数，则函数y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为减函数，③错误；对于④，由①可得，f（3）=f（﹣3）=0，又由f（x）是以6为周期的函数，则f（﹣9）=f（﹣3）=0，f（9）=f（3）=0，即函数y=f（x）在区间[﹣9，9]上有四个零点，④正确；正确的命题为①②④；故选C．10.（理科做）定积分的值为() A．2π

B．2π＋1C．－2π

D．2π－1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知非零向量，满足||=||=|+|，则与2－夹角的余弦值为．参考答案：

【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理，数形结合求得与夹角的余弦值．【解答】解：非零向量满足，不妨设=1，设与夹角为θ，如图所示：设=，=，=+，则OA=0B=0C=1，设=2=2，则=2﹣，∠ODA即为θ，△OAC和△OBC都是边长等于3的等边三角形．利用余弦定理可得BD==，cosθ==，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理的应用，属于中档题．12.若，则的单调递减区间为

．参考答案：13.过双曲线的左焦点的切线，切点E，延长FE交双曲线于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为_________参考答案：14.若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={－1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为▲

.参考答案：15略15.已知不共线向量，，||=||=|﹣|，则+与的夹角是．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的三角形法则，结合向量的几何意义，画图即可得到答案．【解答】解：如图，∵不共线向量，，满足||=||=|﹣|，∴以，为邻边的平行四边形为菱形，且∠BAC=，则与的夹角为∠BAD=．故答案为：．16.若数列{an}满足：a1=1，an+1=2an（n∈N*），则a5=；前8项的和S8=．（用数字作答）参考答案：16，255．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先根据a1=1，an+1=2an通过分别求出a1，a2，a3，a4，a5；通过an+1=2an可推知数列为等比数列，根据求和公式进而求得S8．【解答】解：a1=1，a2=2a1=2，a3=2a2=4，a4=2a3=8，a5=2a4=16，∵an+1=2an，即=2∴数列{an}为等比数列，首项为1，公比为2．∴，∴故答案为：16，255．【点评】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题．属于基础知识、基本运算的考查．17.从中随机选取一个数，从中随机选取一个数，则关于的方程有两个虚根的概率是

▲

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）若正项数列的前项和为，首项，点（）在曲线上.(1)求数列的通项公式；(2)设，表示数列的前项和，求证：.参考答案：(1)因为点在曲线上,所以.…………1分

由得.

……………3分且所以数列是以为首项,1为公差的等差数列

……………4分所以,

即

……………5分当时，

……………6分当时，也成立

……………7分所以，

……………8分(2)因为,所以,

……………9分

……………12分

……………14分19.已知函数f（x）=（x+1）e﹣x（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x，存在x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出，得当x＜0时，f'（x）＞0，当x＞0时，f'（x）＜0．从而有f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．（Ⅱ）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得2φ（x1）＜φ（x2）成立，则2[φ（x）]min＜[φ（x）]max．∴，分别讨论①当t≥1时，②当t≤0时，③当0＜t＜1时的情况，从而求出t的范围．解答：解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，，∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．∴f（x）增区间为（﹣∞，0），减区间为（0，+∞）．（Ⅱ）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得2φ（x1）＜φ（x2）成立，则2[φ（x）]min＜[φ（x）]max．∵，∴φ′（x）==﹣，①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上单调递减，∴2φ（1）＜φ（0），即；②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上单调递增，∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3﹣2e＜0；③当0＜t＜1时，在x∈[0，t]，φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上单调递减在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上单调递增所以2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，即﹣﹣（*）由（Ⅰ）知，在[0，1]上单调递减，故，而，所以不等式（*）无解综上所述，存在，使得命题成立．点评：本题考察了函数的单调性，参数的求法，导数的应用，是一道综合题．20.（15分）（2015?杨浦区二模）数列{an}满足a1=1，a2=r（r＞0），令bn=an?an+1，{bn}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，设cn=a2n﹣1+a2n．（1）求证：cn=（1+r）?qn﹣1；（2）设{cn}的前n项和为Sn，求的值；（3）设{cn}前n项积为Tn，当q=﹣时，Tn的最大值在n=8和n=9的时候取到，求n为何值时，Tn取到最小值．参考答案：【考点】：等比数列的前n项和；极限及其运算；数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）根据题意得出=q（n≥2），判断出奇数项，偶数项分别成等比数列，运用等比数列的通项公式求解即可．（2）运用等比数列的求和公式得出q=1时，Sn=（1+r）n，=0，q≠1时，Sn=，=，分类讨论求解即可（3）利用条件得出（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，Tn=（256）n?（﹣2）=（﹣1）?2，再根据函数性质得出最小项，注意符号即可．解：（1）bn=an?an+1，{bn}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，因为数列{anan+1}是一个以q（q＞0）为公比的等比数列因此=q，所以=q（n≥2），即=q（n≥2），∴奇数项，偶数项分别成等比数列∵设cn=a2n﹣1+a2n．∴cn=1?qn﹣1+r?qn﹣1=（1+t）?qn﹣1∴bn=（1+r）?qn﹣1（2）q=1时，Sn=（1+r）n，=0q≠1时，Sn=，=若0＜q＜1，=若q＞1，=0∴=（3）设{cn}前n项积为Tn，当q=﹣时，Tn=（1+r）n∵Tn的最大值在n=8和n=9的时候取到，∴（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，∴Tn=（256）n?（﹣2）=（﹣1）?2，根据数列的函数性质得出n=7，n=10时，Tn的最小值为﹣235．【点评】：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求通项公式，等比数列求和公式的应用，数列极限的求解，要注意等比数列求和公式应用时对公比q的讨论，根据函数的性质解析式确定最值．21.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为9ρ2cos2θ+16ρ2sin2θ=144，且直线l与曲线C交于P，Q两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的顶点A的坐标；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若|AP|?|AQ|=9，求直线l的普通方程．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程，由直线l的参数方程能求出直线l恒过的定点A的坐标．（Ⅱ）把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中，得：（9+7sin2α）t2+36tcosα﹣9×12=0．由t的几何意义知|AP|=|t1|，|AQ|=|t2|，点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，从而得到||=9，进而求出tan，由此能求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为9ρ2cos2θ+16ρ2sin2θ=144，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为：=1．∵直线l的参数方程是