山西省太原市第一职业中学高三数学理月考试题含解析

山西省太原市第一职业中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（

）A． B．C． D．参考答案：D2.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是A．

B．

C．

D．参考答案：D3.，则的值等于 A.

B.

C.

D.

参考答案：B略4.若，则=

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.已知复数满足（其中为虚数单位），则A．

B．2

C．1

D．4参考答案：A6.若实数，满足则的最大值是（

）A．-1

B．1

C.

2

D．3参考答案：C7.已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线y2=﹣8x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若△ABO的面积为4，则双曲线的离心率为（）A．

B．2 C． D．4参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由已知条件，分别求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线，由三角形的面积求出b=a，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：y2=﹣8x的准线方程为l：x=2，∵双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线y2=﹣8x的准线分别交于A，B两点，△ABO的面积为，∴=，∴b=a，∴c=2a，∴e==2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线、双曲线的简单性质．8.（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60参考答案：C【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；二项式定理．【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为Tr+1=，令r=2，则（x2+x）3的通项为=，令6﹣k=5，则k=1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．9.的值为（

）

A.

B.－

C.

D.-参考答案：答案：B10.已知是定义在R上的奇函数，且时，，若方程有两个根，则实数a的取值范围是

(

)

(A)[-4,4]

(B)

(C)

(D)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t取[0,3]上的任意值时，直线被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为

．参考答案：

12.已知表示三条不同的直线，表示三个不同平面，有下列四个命题：①若，且，则；②若相交且都在外，，，，，则；③若，，，，则；④若则．其中正确的是

．参考答案：②③略13.在区间内随机取两个实数分别为，，则使函数存在极值点的概率为

.参考答案：

14.把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an}，若an=2015，则n=．参考答案：1030【考点】数列的应用．【分析】根据题意，分析图乙，可得其第k行有k个数，则前k行共有个数，第k行最后的一个数为k2，从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列；进而由442＜2015＜452，可得2015出现在第45行，又由第45行第一个数为442+1=1937，由等差数列的性质，可得该行第40个数为2015，由前44行的数字数目，相加可得答案．【解答】解：分析图乙，可得①第k行有k个数，则前k行共有个数，②第k行最后的一个数为k2，③从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列，又由442=1936，452=2025，则442＜2015＜452，则2015出现在第45行，第45行第一个数为442+1=1937，这行中第=40个数为2015，前44行共有=990个数，则2015为第990+40=1030个数．故答案为：1030．15.已知，，若向量满足，则的取值范围为____．参考答案：[1,3]【分析】由题意可设（），（0，），（x，y），然后由已知，结合向量数量积的坐标表示可求的坐标满足的方程，结合圆的性质可求．【详解】由||＝||，0，可设（），（0，），（x，y），∴（x，y），向量满足||＝1，∴，而||的几何意义是圆上一点到原点的距离，∵的圆心C（）到原点（0，0）的距离2，根据圆的性质可知，2﹣1≤||≤2+1，即1≤||≤3，故答案为：[1，3]【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，考查了圆的性质，属于综合题．16.若锐角满足，则__________________.参考答案：略17.我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对法数：在函数解析式两边求对数得，两边对x求导数，得于是，运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）（2015?泰州一模）在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．（1）求sin（α+）的值；（2）若P关于x轴的对称点为Q，求?的值．参考答案：【考点】：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【专题】：平面向量及应用．【分析】：（1）由已知的α的三角函数值，然后利用两角和的正弦公式求值；（2）由已知求出Q的坐标，明确，的坐标，利用数量积公式解答．解：（1）∵角α的终边经过点P（3，4），∴，…（4分）∴．…（7分）（2）∵P（3，4）关于x轴的对称点为Q，∴Q（3，﹣4）．…（9分）∴，∴．…（14分）【点评】：本题考查了三角函数的定义以及三角函数公式的运用、向量的数量积的运算．属于基础题．19.（本小题满分13分）已知函数。（1）

求函数的单调区间；（2）

若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；（3）

求证：。参考答案：【知识点】导数的综合运用

B12

B14【答案解析】（1），当时，的单调增区间为，减区间为当时，的单调增区间为，减区间为.当时，不是单调函数。（2）得，，∴

∵在区间上总不是单调函数，且∴，由题意知：对于任意的，恒成立，所以，，∴.

（3）证明：令，此时由（Ⅰ）可知在上单调递减，则当时，即，∴对一切成立．∵，则有，∴.

【思路点拨】（1）求单调区间要注意函数的定义域和对参数的讨论；（2）点处的切线的倾斜角为，即切线的斜率为1，即，可求得的值，代入得到的解析式，由时，在区间上总不是单调函数，可知：，于是可求得的取值范围；（3）先判断对一切成立，进而可得，即可得结论。20.(本小题满分12分)设函数.(Ⅰ)当时，讨论的单调性；（Ⅱ）当时，设在处取得最小值，求证：.参考答案：(Ⅰ)在单调递减，在单调递增；（Ⅱ）证明见解析.试题分析：(Ⅰ)运用导数知识求解；（Ⅱ）构造函数借助导数的知识分类求解即可.试题解析:（I）当时，………1分因为单调递增，单调递增，所以在单调递增，且，因此当时，；当时，故在单调递减，在单调递增…………5分令，得；令，得故在单调递增，单调递减，故.………………………12分考点：导数及运用．【易错点晴】导数是解决函数问题的重要工具.本题考查的是导数在研究函数的单调性中运用问题,第一问中讨论函数的单调性就是研究函数在定义域内的单调问题,根据导数的值与函数的单调性的关系,直接建立不等式就可求出其单调区间,从而确定函数在该区间的单调性；第二问中证明不等式的问题的求解思路是合理构造出函数出,最后通过求该函数的最大值使得问题获证.21.（12分）过两定点，分别作两动直线，此两动直线在轴上的截距分别为，且（为常数）（Ⅰ）求两动直线交点的轨迹C的方程（Ⅱ）直线与轨迹C的两个交点为P、Q，为何值时，线段PQ的长为参考答案：解析：（Ⅰ）由题设，

①

②

…………(3分)①②整理得（），此即轨迹C的方程

…………(5分)（Ⅱ）设

…………(6分)由韦达定理得，故，

…………(8分)即

…………(10分)当时，为任意实数均有当时，

…………(12分)22.（本小题满分12分）已知（）的周期开为，且图象上的一个最低点为M（，－1）。（1）求f（x）的解析式；（2）已知，求的值。参考答案：（1）由的周期为，则有，得.

………1分所以，因为函数图像有一个最低点，，所以,且，

……3分则有

,

……………4分解得，

因为，所