2022-2023学年湖南省衡阳市 县溪江中学高二数学文联考试题含解析

2022-2023学年湖南省衡阳市县溪江中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】求出函数的定义域、化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得的范围，得到答案．【详解】由题意，函数的定义域为，不等式，即，即，两边除以，可得，又由直线恒过定点，若不等式恰有两个整数解，即函数图象有2个横坐标为整数的点落在直线的上方，由图象可知，这2个点为，可得，即，解得，即实数的取值范围是，故选D．【点睛】本题主要考查了函数的零点的综合应用，其中解答中把不等式的解，转化为函数的图象的关系，合理得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．2.关于直线a,b,c以及平面M，N，给出下面命题：

①若a//M，b//M,则a//b

②若a//M,b⊥M，则b⊥a

③若aM，bM,且c⊥a，c⊥b,则c⊥M

④若a⊥M,a//N，则M⊥N，其中正确命题的个数为

（

）A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：C3.如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为()(A)60

(B)480

(C)420

(D)70参考答案：C4.已知正实数x、y满足，则的最小值（

）A.2 B.3 C.4 D.参考答案：B【详解】，当且仅当，即，时的最小值为3.故选B点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.5.若=，a是第一象限的角，则= （A）-

（B）

（C）

（D）参考答案：B6.圆上的点到直线的距离的最小值是（

）A

6

B

4

C

5

D

1

参考答案：B7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．35 B．20 C．18 D．9参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=3，故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，满足进行循环的条件，v=9，i=0，满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：故选：C8.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为（

）

A．20

B．25

C．30

D．35茎叶7984464793

参考答案：C略9.函数的大致图象是参考答案：B10.已知函数，则下列结论正确的是

（

）A．

B．C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的值域是________________.参考答案：12.不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的充要条件是．参考答案：x∈（﹣1，3）【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用一元二次不等式的解法与充要条件的意义即可得出．【解答】解：不等式x2﹣2x﹣3＜0?（x﹣3）（x+1）＜0?﹣1＜x＜3．∴不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的充要条件是x∈（﹣1，3）．故答案为：x∈（﹣1，3）．13.若不等式≤对于任意实数恒成立,则实数的取值范围是_______

参考答案：略14.在曲线的切线中斜率最小的切线方程是___________。

参考答案：15.在抛物线y2=﹣4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A（﹣2，1）的距离之和最小，则该点的坐标是．参考答案：（﹣，1）【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程求得抛物线的焦点为F（﹣1，0）、准线为x=1．设点P在准线上的射影为Q，根据抛物线的定义得|PQ|+|PA|=|PF|+|PA|，利用平面几何知识得当A、P、Q三点共线时，这个距离之和达到最小值，此时P点的纵坐标为1，利用抛物线方程求出P的横坐标，从而可得答案．【解答】解：由抛物线方程为y2=﹣4x，可得2p=4，=1，∴焦点坐标为F（﹣1，0），准线方程为x=1．设点P在准线上的射影为Q，连结PQ，则根据抛物线的定义得|PF|=|PQ|，由平面几何知识，可知当A、P、Q三点共线时，|PQ|+|PA|达到最小值，此时|PF|+|PA|也达到最小值．∴|PF|+|PA|取最小值，点P的纵坐标为1，将P（x，1）代入抛物线方程，得12=﹣4x，解得x=﹣，∴使P到A、F距离之和最小的点P坐标为（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）16.直线经过,且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程为

．参考答案：或

17.（圆）以点（2，-1）为圆心，以3为半径的圆的标准方程是_____________________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：（1）B1C∥平面FAC1；（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE∥平面FAC1，即B1C∥平面FAC1（2）只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．【解答】解：（1）证明：如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，∵F为A1B1的中点，∴C1F∥CE，AF∥B1E，且C1F∩AF=F，CE∩B1E=E，∴面B1CE∥平面FAC1，∵B1C?B1CE，∴B1C∥平面FAC1（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥面A1C1B1，∵C1F?面A1C1B1，∴A1A⊥C1F，∵AC=BC，F为A1B1的中点，∴A1B1⊥C1F，且AA1∩A1B1，∴C1F⊥面AA1C1B1B，C1F?面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．【点评】本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．19.已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点，过点K的直线l与抛物线C交于，两点.（1）求抛物线C的方程及的值；（2）若点A关于x轴的对称点为D，证明：存在实数，使得.参考答案：（1），4；（2）证明见解析.【分析】（1）根据准线上点的坐标，得到，求出，即可得到抛物线方程；设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，即可求出；（2）先由（1）得，由点关于轴对称点为，得到，根据题意，证明直线恒过定点，再令，由，即可推出结论成立.【详解】（1）解：因为抛物线的准线与轴交于点，所以，解得.所以抛物线的方程为.设直线的方程为，联立整理得，其中，即.故.（2）证明：由（1）知，因为点关于轴的对称点为，所以，则直线的方程为，得，得，得，即.令，得，得，所以直线恒过定点.所以点在线段上，所以不妨令.因为，所以，所以，所以.所以存在实数，使得，命题得证.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的应用，熟记抛物线的标准方程，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.20.（本小题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）．求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C．则．（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域． 即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是．（Ⅱ）由题意得该顾客可转动转盘2次．随机变量的可能值为0，30，60，90，120．

所以，随机变量的分布列为：

0306090120

其数学期望．21.（本小题满分12分）已知等差数列，，，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和。参考答案：(2)由得