2018-2019学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷

2018-2019学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合

题目要求，答案涂在答题卡上）

1.（3分）已知则下列不等式正确的是（）

A.a—3<b—3B.—>—C.—a<—bD.6a>6b

22

2.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.等边三角形B.等腰梯形C.正方形D.平行四边形

3.（3分）如图，在AABC中，点。，£分别是边他，AC的中点，已知上=3,则3c的长为（

)

C.6D.5

4.（3分）若分式有意义，则x的取值应该该满足（)

2x-3

A2「3厂32

A.x=-B.x=-C.无。一D."一

3223

5.（3分）计算（与3+2的结果是（）

XX

A.4B.y2C.y4D.x2y2

x6

6.（3分）如图，四边形是边长为5c〃z的菱形，其中对角线双）与AC交于点O,BD=6cm,

则对角线AC的长度是（）

A.8cmB.4cmC.3cmD.6cm

7.（3分）一个多边形的内角和是1260。，这个多边形的边数是（）

A.6B.7C.8D.9

8.（3分）某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%,求这种服装的成本价.设这种服

装的成本价为x元，则得到方程（）

A.1507=25%B.I50-X=25%C.x=150x25%D.25%x=150

X

9.（3分）如图，正方形ABC。的边长是2,对角线AC、或）相交于点O,点E、F分别在边42、

AB±.,且OE_LO尸，则四边形AH花1的面积是（）

A.4B.2C.1D.-

2

10.（3分）如图，已知直线4：y=-x+4与直线4：y=3x+b相交于点P,点P的横坐标是2,则不

等式-x+4,,3x+b的解集是（）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）

11.（4分）因式分解：a2-4=.

12.（4分）如图，RtAABC中，ZACB=90°,24=30。，点。是钻的中点，BC=2cm,则8=

a3a+h

14.（4分）如图，四边形是平行四边形，AE平分ZBAD交CD于点E,AE的垂直平分线交

于点G,交AE于点F.若4）=4cw,BG=\cm,则cm.

DE八

G

三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）

15.(12分)(1)因式分解：x2y-2xy2+y3

5x-l<3(x+l)

(2)解不等式组：<X—1x

16.（6分）解方程：—+—=1.

x-44-x

17.（8分）先化简，再求值：（用--，-）或」.其中〃=3+夜.

。+1a-1a

18.（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，已

知A4BC的三个顶点坐标分别是A（-4,l）,B（-l,l）,C（-2,3）.

（1）将AABC向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△A^G，请画出△4耳。1；

（2）将AABC绕原点O顺时针旋转90。后得到,请画出2c2；

（3）直接写出以G、用、为顶点的三角形的形状是.

19.（10分）2017年12月26日，成都至西安的高速铁路（简称西成高铁）全线正式运营，至此，从

成都至西安有两条铁路线可选择：一条是普通列车行驶线路（宝成线），全长825千米；另一条是高速列

车行驶线路（西成高铁），全长660千米，高速列车在西成高铁线上行驶的平均速度是普通列车在宝成线

上行驶的平均速度的3倍，乘坐普通列车从成都至西安比乘坐高速列车从成都至西安多用11小时，则高

速列车在西成高铁上行驶的平均速度是多少？

20.（10分）在平行四边形ABCZ）中，点O是对角线比>中点，点E在边8c上，EO的延长线与边4D

交于点尸，连接8尸、DE,如图1.

（1）求证：四边形痛才'是平行四边形；

（2）在（1）中，若DE=DC,ZCBD=45°,过点C作DE的垂线，与DE、BD、3R分别交于点G、

H、R,如图2.

①当C£>=6,CE=4时，求应;的长.

②探究8"与"'的数量关系，并给予证明.

AA

DD

图1

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

则孙

21.（4分）已知孙二一1,x+y=2,+x2y2+g3=

x+8<4x-l

22.（4分）若不等式组的解集是x>3,则根的取值范围是.

x>in

23.（4分）若关于%的方程-----包。=机无解，则〃的值为

2x-33-2x

24.（4分）如图，正方形ABC£>的边长为2,点E、尸分别是CD、3c的中点，AE与DF交于点、P,

25.（4分）如图所示，在菱形纸片ABC。中，AB=4,ZS4£>=60°.按如下步骤折叠该菱形纸片：

第一步：如图①，将菱形纸片A8CD折叠，使点A的对应点4恰好落在边8上，折痕防分别与边

A。、AB交于点E、F,折痕砂与对应点A、A的连线交于点G.

第二步：如图②，再将四边形纸片3C4N折叠使点C的对应点C恰好落在A尸上，折痕分别交

边CD、8c于点V、N.

第三步：展开菱形纸片ABCD,连接GC,则GC最小值

是,图①图②图③

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

26.（8分）某文具店准备购进A、8两种型号的书包共50个进行销售，两种书包的进价、售价如下

表所示:

书包型号进价(元/个)售价(元/个)

A型200300

B型100150

购进这50个书包的总费用不超过7300元，且购进3型书包的个数不大于A型书包个数的3.

2

(1)该文具店有哪几种进货方案？

(2)若该文具店购进的50个书包全部售完，则该文具店采用哪种进货方案，才能获得最大利润？最

大利润是多少？(利润=售价-进价)

27.(10分)等腰直角三角形。48中，ZQ4B=90°,=点。为OA中点，DCVOB,垂足

为C,连接BD,点M为线段3。中点，连接AA/、CM,如图①.

(1)求证：AM=CM；

(2)将图①中的AOCD绕点O逆时针旋转90。，连接8。，点”为线段比＞中点，连接40、CM、

OM,如图②.

①求证：AM=CM,AM±CMt

②若AB=4,求AAQW的面积.

28.(12分)在平面直角坐标系x0y中，直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于A、8两点，直线8C

交x轴负半轴于点C,N8C4=30。，如图①.

(1)求直线BC的解析式.

(2)在图①中，过点A作x轴的垂线交直线CB于点。，若动点M从点A出发，沿射线方向以每

秒加个单位长度的速度运动，同时，动点N从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运

动，直线用N与直线AD交于点S,如图②，设运动时间为f秒，当ADSN=ABOC时，求f的值.

(3)若点〃是直线AB在第二象限上的一点，点N、尸分别在直线8C、直线AO上，是否存在以M、

3、N、P为顶点的四边形是菱形.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理

2018-2019学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合

题目要求，答案涂在答题卡上）

1.（3分）已知力，则下列不等式正确的是（）

A.a-3<h-3B.->-C.-a<-hD.6a>6b

22

【分析】利用不等式的性质判断即可.

【解答】解：A、在不等式的两边同时减去3,不等式仍成立，即a-3<b-3,原变形正确，故

本选项符合题意.

B、在不等式的两边同时除以2,不等式仍成立，即原变形错误，故本选项不符合题意.

22

C、在不等式4<人的两边同时乘以-1,不等号方向改变，即原变形错误，故本选项不符合

题意.

。、在不等式的两边同时乘以6,不等式仍成立，即6a<66,原变形错误，故本选项不符合题

意.

故选：A.

【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键.

2.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.等边三角形B.等腰梯形C.正方形D.平行四边形

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，即可求解.

【解答】解：A、3都只是轴对称图形；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形；

。、只是中心对称图形.

故选：C.

【点评】掌握好中心对称图形与与轴对称图形的概念：

判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图形沿对称轴折叠后与原图可重合，中心对称是要寻找

对称中心，旋转180度后与原图重合.

3.（3分）如图，在AA5c中，点。，E分别是边45,AC的中点，已知。£=3,则3c的长为（

)

DE

B，------------------------，C

A.3B.4C.6D.5

【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半"，有DE’BC,从而求

2

出8c.

【解答】解：D、石分别是AB、AC的中点.

.•.D石是AABC的中位线，

/.BC=2DE,

DE=3,

BC=2x3=6.

故选：c.

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线

段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.

4.（3分）若分式有意义，则x的取值应该该满足（）

2x-3

2332

A.x=-B.x=—C.xw—D.x。一

3223

【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：分式有意义，

2x-3

贝i」2x—3wO,

解得，工工二，

2

故选：C.

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键.

5.（3分）计算（少+2的结果是（）

XX

4

A.4B.俨C.y4D.x2/

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.

【解答】解：原式=

*y

2

=y，

故选：B.

【点评】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

6.（3分）如图，四边形A88是边长为5c机的菱形，其中对角线比）与AC交于点O,BD=6cm,

则对角线AC的长度是（）

A.SanB.4cmC.3cmD.6cm

【分析】首先根据菱形的性质可得50=00,AC-LDB,AO=CO,然后再根据勾股定理计算出AO

长，进而得到答案.

【解答】解：四边形MCD是菱形，

:.BO=DO,AC-LDB,AO=CO,

BD=6cm,

/.BO=3cm,

AB=5cm,

AO=y/52-32=4（cw）,

/.AC=8ctn.

故选：A.

【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直且平分.

7.（3分）一个多边形的内角和是1260。，这个多边形的边数是（）

A.6B.7C.8D.9

【分析】设边数为，?，由多边形内角和公式可列方程，可求得边数.

【解答】解：

设这个多边形的边数为〃，

由题意可得：（n-2）x180°=1260°,

解得〃=9,

这个多边形的边数为9,

故选：D.

【点评】本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键，即多边形的内角和

=5-2)180°.

8.（3分）某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%,求这种服装的成本价.设这种服

装的成本价为x元，则得到方程（）

A.1507=25%B.150-x=25%C.x=150x25%D.25%x=150

X

【分析】利润率=利润+成本=（售价-成本）+成本.等量关系为：（售价-成本）+成本=25%.

【解答】解：利润为：150-x,利润率为：（150-+所列方程为："匕±=25%.故选A.

X

【点评】本题主要考查的知识点是利润率，利润率是利润占成本的比例.

9.（3分）如图，正方形ABCZ）的边长是2,对角线AC、相交于点O,点E、B分别在边何）、

上，且，则四边形"'OE的面积是（）

A.4B.2C.1D.-

2

【分析】证明AAOEMABO/（AS4）,得出AAOE的面积=的面积，得出四边形AFOE的面积=!

4

正方形ABCD的面积=,x22=l即可.

4

【解答】解：四边形钻。是正方形，

:.OA=OB,ZOAE=ZOBF=45°,AC±BD,

・・ZAO3=90。，

OE1.OF,

.・.Z£O/=900,

:.ZAOE=ZBOF,

NAOE=Z.BOF

在AAOE和ABO/中，［OA=OB,

NOAE=NOBF

.\/SAOE^ABOF（ASA）9

MOE的面积=2OF的面积，

二.四边形"V9E的面积=L正方形ABC。的面积=、2?=1；

44

故选：C.

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明

三角形全等是解题的关键.

10.（3分）如图，已知直线4：y=-x+4与直线4：y=3x+。相交于点尸，点P的横坐标是2,则不

【分析】利用函数图象，写出直线人不在直线4上方所对应的自变量的范围即可.

【解答】解：当x..2时，—x+4,,3x+6,

所以不等式-x+4,,3x+b的解集为x..2.

故选：£）.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=+力的

值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线>=自+人在x轴上（或

下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）

11.（4分）因式分解：a2-4=_（a+2）（a-2）_.

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可.

【解答】解：。2-4=（4+2）（〃-2）.

故答案为：（a+2）（a-2）.

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键.

12.（4分）如图，RtAABC中，ZACB=90°,ZA=30°,点。是AB的中点，BC=2cm,则C£>=2

cm.

【分析】根据含30。角的直角三角形的性质求出4?,再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出C/）

即可.

【解答】解：RtAABC中，ZACB=90°.NA=30。，BC=2cm,

AB=2BC=4cm,

RtAABC中，ZACB=90P,点。是AB的中点，

CD=—AB=2cm,

2

故答案为：2.

【点评】本题考查了含30。角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质，能灵活运用定

理进行推理是解此题的关键.

13.(4分)已知2=2,则，—的值是？.

a3a+h~5~

【分析】根据比例设。=33b=2k(k*0),然后代入比例式进行计算即可得解.

【解答】解：-=-，

a3

.,.设a=3攵，b=2k(kw0),

则，-=-3k.

a+b3k+2k5

故答案为：—.

5

【点评】本题考查了比例的性质，利用“设々法”求解更简便.

14.(4分)如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分乙量。交8于点£,AE的垂直平分线交4?

【分析】先利用垂直平分线的性质得出AF=£F,ZAFG=ZEFD=9Q°,DA=DE,再证明

AD斯三AG4厂(ASA),从而得£>E=AG,然后利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证明四边

形ZMGE为平行四边形，之后利用一组邻边相等的四边形为菱形证明ZMGE为菱形，从而可得AG=AB,

最后将已知线段长代入即可得出答案.

【解答】解：4E的垂直平分线为。G

:.AF=EF,ZAFG=ZEFD=90°,DA=DE

四边形/WCD是平行四边形

：.DC//AB,AD//BC,DC=AB,

:.ZDEA=ZBAE

/IE平分交CD于点E

:.ZDAE^ZBAE

/.在ADEF和AG4F中

/DEA=NBAE

<EF=AF

NEFD=NAFG

\DEFN^GAF(ASA)

:.DE=AG

又DE//AG

四边形ZMGE为平行四边形

又DA=DE

••・四边形D4G£为菱形.

AG=AD

AD=4cm

AG=4cm

BG=\cm

AB=AG+BG=4+\=5(an)

故答案为：5.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质及菱形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题

的关键.

三、解答题(本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上)

15.(12分)(1)因式分解：x2y-2xy2+y3

'5x-l<3(x+l)

(2)解不等式组：x-ix

------>——1

23

【分析】(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可.

【解答】解：(1)原式=义/-2冲+丫2)

=y(x-y)2；

，5x-l<3(x+l)①

(2)\r-1Y，

口>土-1②

I23

由①得：x<2,

由②得：x>—3,

则不等式组的解集为-3<x<2.

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

16.(6分)解方程：---H——!—=1.

x-44-X

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程

的解.

【解答】解：方程整理得：=3—r-一—1=1,

x-4x-4

去分母得：3-x-l=x-4,

移项合并得：2x=6,

解得：x=3,

经检验x=3是分式方程的解.

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方

程求解.解分式方程一定注意要验根.

17.(8分)先化简，再求值：(&-，-)土二L其中a=3+点.

。+1tz-1a

【分析】原式利用乘法分配律计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值.

【解答】解：原式=2-一—.(a+D(aT)

a+1aa-\a

=2("-1)-3+1)

=2a-2-a-\

=a—3，

当a=3+0时，原式=3+夜-3=应.

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.(8分)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，已

知A4BC的三个顶点坐标分别是A(-4,l),C(—2,3).

(1)将AABC向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△4耳0,请画出△A4G；

(2)将AABC绕原点O顺时针旋转90。后得到2G,请画出4A台2c2；

(3)直接写出以a、B「B,为顶点的三角形的形状是等腰直角三角形.

【分析】(1)利用点平移的坐标特征写出点4，B1,G的坐标，然后描点即可;

(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、8、C的对应点&、、C2得到△482c2;

(3)利用勾股定理的逆定理进行判断.

【解答】解：(1)如图，△A4G为所作；点4，用，C的坐标分别为(-3,-2),(0,-2),(-1,0)

(2)如图，2c2为所作.

(3)CR=5,C.B；=5,8出；=10,

:(附+C&=4c,CB=GG，

.•.以G、B.星为顶点的三角形的形状是等腰直角三角形.

故答案为等腰直角三角形.

【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段

也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转

后的图形.也考查了勾股定理和平移变换.

19.(10分)2017年12月26日，成都至西安的高速铁路(简称西成高铁)全线正式运营，至此，从

成都至西安有两条铁路线可选择：一条是普通列车行驶线路(宝成线)，全长825千米；另一条是高速列

车行驶线路(西成高铁)，全长660千米，高速列车在西成高铁线上行驶的平均速度是普通列车在宝成线

上行驶的平均速度的3倍，乘坐普通列车从成都至西安比乘坐高速列车从成都至西安多用11小时，则高

速列车在西成高铁上行驶的平均速度是多少？

【分析】设普通列车的平均速度为Vkm/h,根据题意列出方程即可求出答案.

【解答】解：设普通列车的平均速度为vkm/h,

：.高速列车的平均速度为3Vhn/h,

・•・由题意可知：殷=侬+11,

v3v

解得：v=55,

经检验：v=55是原方程的解，

.,.3v=165,

答：高速列车在西成高铁上行驶的平均速度为165km/h.

【点评】本题考查分式方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型.

20.（10分）在平行四边形AB8中，点。是对角线即中点，点E在边3c上，EO的延长线与边42

交于点尸，连接防、DE,如图1.

（1）求证：四边形5瓦）江是平行四边形：

（2）在（1）中，若DE=DC,ZCBD=45°,过点C作DE的垂线，与DE、BD、8R分别交于点G、

H、R,如图2.

①当8=6,CE=4时，求跳;的长.

②探究3〃与AF的数量关系，并给予证明.

【分析】（1）由“ASA”可得可得。尸=3£,可得结论；

（2）①由等腰三角形的性质可得E7V=CN=2,由勾股定理可求。N,由等腰三角形的性质可求助V

的长，即可求解；

②如图，过点”作HMJLBC于点M,由“A4S”可证A/WC三△CW,可得HM=CN,由等腰直

角三角形的性质可得=即可得结论.

【解答】证明：（1）平行四边形ABCD中，点O是对角线8。中点,

..AD//BC,80=DO,

:.ZADB=NCBD,且NDOF=NBOE,BO=DO,

:.\BOE=\DOF{ASA）

:.DF=BE,且DF//BE,

四边形乃是平行四边形；

(2)①如图2,过点D作DN工EC于点N,

.•.EN=CN=2,

DN=\lDC2-CN2=736-4=40,

/DBC=45。,DN工BC,

.・.ZDBC=ZBDN=45。,

:.DN=BN=AO,

:,BE=BN-EN=4叵-2；

@AF=丘BH,

理由如下：如图，过点“作于点

图2

DN1EC,CG工DE,

/.ZCEG4-ZECG=90°,ADEN+/EDN=骄,

:./EDN=AECG,

DE=DC,DNLEC,

：.ZEDN=ZCDN,EC=2CN,

・・.4ECG=NCDN,

ZDHC=/DBC+ZBCH=45。+ZBCH,NCDB=ZBDN+/CDN=45。+/CDN,

/CDB=/DHC,

:.CD=CH,且NHMC=NDNC=9CT,ZECG=ZCDN,

:.^HMC=ACND(AAS)

:.HM=CN,

HM1BC,ZDBC=45°,

:.ZBHM=ZDBC=45°,

BH=叵HM,

AD=BC,DF=BE,

:.AF=EC=2CN,

AF=2HM=y/iBH.

【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等

腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上)

21.(4分)已知岁=-1,x+y=2,贝ljgx3〉+x2y2+3个3=_-2_.

【分析】先运用提公因数法把多项式;Vy+X2y2+；孙3因式分解，再根据完全平方公式因式分解即可

求解.

【解答】解：砂=-1,x+y=2,

g/y+X2y2+g孙3

=-xy(x2+2xy+y2)

=^xy(x+y)2

=-x(-l)x22

2

=—2.

故答案为：-2.

【点评】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键.

22.(4分)若不等式组厂+8<叙-1的解集是万>3,则的取值范围是—枢,3_.

[x>m

【分析】先解第一个不等式得到x>3,由于不等式组的解集为x>3,根据同大取大得到〃4,3.

【解答】解：1,

[x>mr®A

解①得x>3,

不等式组的解集为x>3,

m,,3.

故答案为名,3.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大,

同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集.

23.(4分)若关于x的方程-----坦-=m无解，则加的值为［或.

2x-33-2x-28一

【分析】分式方程无解的两种情况是：1.分式方程去分母化为整式方程，整式方程无解；2.整式方

程的解使分式方程分母为零.据此分析即可.

【解答】解：方程两边同时乘以(2x-3),得：

x+=m(2x-3),整理得：

①当2〃L1=0时，整式方程无解，，

2

②当2〃?-1r0时，x=N二,x=3时，原分式方程无解；

2m-12

即心。3

2m-I2

3

m=——

8

故答案为：［或-3

28

【点评】本题主要考查分式方程无解的条件.掌握分式方程无解的两种情况是：1.分式方程去分母

化为整式方程，整式方程无解；2.整式方程的解使分式方程分母为零是解题的关键.另外，也需熟练掌

握解分式方程的步骤方法.

24.(4分)如图，正方形A8CD的边长为2,点E、F分别是C。、8c的中点，AE与DF交于点P,

连接CP,则CP=4叵.

一5-

【分析】由AAZ史三ADC尸可导出四边形CEPF对角互补，而CE=b,于是将ACEP绕C点逆时针

旋转90。至可得ACPG是等腰直角三角形，从而PG=PF+FG=PF+PE=y/2CP,求出PE和PF

的长度即可求出尸C的长度.

【解答】解：如图，作CG_LCP交上的延长线于G.

则NPCF+NGCF=ZPCG=90°，

四边形458是边长为2的正方形，

:.AD=CD=BC=AB=2,ZADC=NDCB=90。,

E、/分别为CD、8C中点，

:.DE=CE=CF=BF=1,

AE=DF=君,

coADDE2小

DP=----------=------,

AE5

0口后„„3石

:.PE=——，PF=-----,

55

在A4DE和ADCF中：

AD=DC

</ADE=/DCF

DE=CF

「.AAQENADCb(SAS),

:.ZAED=Z£>FC,

:2CEP=/CFG,

ZECP+NPCF=ZDCB=90°,

:.ZECP=ZFCG,

在AECP和AFCG中：

NCEP=/CFG

<CE=CF

/ECP=/FCG

.\/^ECP=AFCG(ASA)f

:.CP=CG,EP=FG,

.•.APCG为等腰直角三角形，

:.PG=PF+FG=PF+PE=^-=42CP,

5

故答案为2叵.

5

【点评】本题为正方形背景下的几何计算题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、

勾股定理等知识点.对于型如CEP尸的四边形，即两个对角是直角，并且有一个直角的两边长度相等，则

直角顶点的连线长度的根号二倍等于另一个直角的两边长度之和，这一经典性质，值得重视和熟悉.

25.（4分）如图所示，在菱形纸片ABC。中，AB=4,NS4T>=60。，按如下步骤折叠该菱形纸片：

第一步：如图①，将菱形纸片折叠，使点A的对应点4恰好落在边CD上，折痕所分别与边

AD.交于点E、F,折痕EF与对应点A、4的连线交于点G.

第二步：如图②，再将四边形纸片B0VF折叠使点C的对应点C恰好落在上，折痕分别交

边CD、BC于点M、N.

第三步：展开菱形纸片ABCD,连接GC,则GC最小值是

【分析】注意到G为A4'的中点，于是可知G点的高度终为菱形高度的一半，同时注意到G在/4E4'

的角平分线上，因此作G4于〃，GP_LA'尸于P,Uli]GP=GH,根据垂线段最短原理可知GH就是

所求最小值.

【解答】解：如图，作于"，DRLAB于■R,6尸_14'尸于/>,于Q.

DAf

四边形A5C。是菱形，

:.DA=AB=BC=CD=4fAB//CD,

A'Q=DR,

ZBAD=60°,

AQ=DR=*AD=20,

A'与A关于£F对称，

；.EF垂直平分A4',

:.AG=A!G,ZAFE=ZAFE,

:.GP=GH,

又GHVAB,A'QLAB

:.GH//AB,

:.GH=^A'Q=^DR=y/3,

所以GC'..GP=g,当且仅当C'与P重合时，GC'取得最小值百.

故答案为上■

【点评】本题主要考考查了菱形的性质、轴对称的性质、角平分线的性质、含特殊角的直角三角形三

边关系、中位线、垂线段最短原理等重要知识点.发现G点的高度不变是解答本题的关键.

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

26.（8分）某文具店准备购进A、B两种型号的书包共50个进行销售，两种书包的进价、售价如下

表所示：

书包型号进价（元/个）售价（元/个）

A型200300

B型100150

购进这50个书包的总费用不超过7300元，且购进8型书包的个数不大于A型书包个数的3.

2

(1)该文具店有哪儿种进货方案？

(2)若该文具店购进的50个书包全部售完，则该文具店采用哪种进货方案，才能获得最大利润？最

大利润是多少？(利润=售价-进价)

【分析】(1)设购进A型书包x个，则8型(50-x)个，由题意得关于x的不等式组，解得x的范围，

再根据x为正整数，可得x及(50-x)的值，则进货方案可得.

(2)设获利y元，根据利润等于(A的售价-进价)xA的购进数量+(8的售价-进价)xB的购进数

量，列出函数关系式，根据一次函数的性质可得答案.

【解答】解：(1)设购进A型书包x个，则8型(50-x)个，

'200%+100(50-%),,7300

由题意得：3，

50一工，一x

2

解得：2喷k23.

.•.A型书包可以购进20,21,22,23个；8型书包可以购进(50-x)个，即30,29,28,27个.

答：有4种进货方案，分别是：①A,20个，B,30个；②A,21个，B,29个；③A,22个，828

个；④A,23个，B27个.

(2)设获利y元，由题意得：

y=(300-200)x+(150-100)(50-x)

=100x+50(50—x)

=50x+2500.

50>0,

随x的增大而增大.

...当x=23时，y最大，y最大值=50x23+2500=3650.

答：购进A型23个，8型27个获利最大，最大利润为3650元.

【点评】本题考查了一元一次不等式和一次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式并明确一次

函数的性质是解题的关键.

27.(10分)等腰直角三角形。43中，ZQ4B-900,OA^AB,点。为OA中点，DCA.OB,垂足

为C,连接点M为线段8D中点，连接A"、CM,如图①.

（1）求证：AM=CM；

（2）将图①中的AOCD绕点。逆时针旋转90。，连接比＞,点"为线段中点，连接A"、CM、

OM,如图②.

①求证：AM=CM,AM

②若43=4,求AAQW的面积.

【分析】（1）直接利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得出结论；

（2）①先判断出得出CM=770,DC=B7'=OC,进而判断出AOAC三ABAT,得出

AC=AT,即可得出结论；

②先利用等腰直角三角形的性质求出再求出O/），DC=CO=y/2,再用勾股定理得出CT,进而判断

出aw=AM,得出4W=0M,进而求出ON,再根