九年级圆的教学设计

九年级圆的教学设计24.1《圆》教学设计一、教学目标

知识技能:1．了解圆和圆的相关概念,知道圆实轴对称图形,理解并掌握垂直于弦的直径有哪些性质.

2．了解弧、弦、圆心角、圆周角的定义，明确它们之间的联系.

数学思考:1．在引入圆的定义过程中，明确与圆相关的定义，体会数学概念间的联系.

2．在探究弧、弦、圆心角、圆周角之间的联系的过程中，培养学生的观察、总结及概括能力.

问题解决:1．在明确垂直于弦的直径的性质后，能根据这个性质解决一些简单的实际问题.

2．能根据弧、弦、圆心角、圆周角的相关性质解决一些简单的实际问题.

情感态度：在引入圆的定义及运用相关性质解决实际问题的过程中，感悟数学源于生活又服务于生活.在探索过程中，形成实事求是的态度和勇于创新的精神.

二、重难点分析

教学重点：垂径定理及其推论；圆周角定理及其推论．

垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据；圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等等问题提供了十分简便的方法．所以垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论是本小节的重点．

对于垂径定理，可以结合圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性，引导学生去发现“思考”栏目图中相等的线段和弧，再利用叠合法推证出垂径定理．对于垂径定理的推论，可以按条件画出图形，让学生观察、思考，得出结论．要注意让学生区分它们的题设和结论，强调“弦不是直径”的条件．

圆周角定理的证明，分三种情况进行讨论．第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．这种由特殊到一般的思想方法，应当让学生掌握．

教学难点：垂径定理及其推论；圆周角定理的证明．

垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，圆周角定理的证明要用到完全归纳法，学生对于分类证明的必要性不易理解，所以这两部分内容是本节的难点．

圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识.

三、学习者学习特征分析

圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识.

四、教学过程

（一）创设情境，引入新课

圆是一种和谐、美丽的图形，圆形物体在生活中随处可见.在小学我们已经认识了圆这种基本的几何图形，并能计算圆的周长和面积.

早在战国时期，《墨经》一书中就有关于“圆”的记载，原文为“圆，一中同长也”.这是给圆下的定义，意思是说圆上各点到圆心的距离都等于半径.

现实生活中，路上行驶的各种车辆都是圆形的轮子，为什么车轮做成圆形的？为什么不做成椭圆形和四边形的呢？这一节我们就一起来学习圆的有关知识，并且来解决上述的疑问.

（二）合作交流，探索新知

1．观察图形，引入概念

(1）圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象．（多媒体图片引入）

（2）观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？

（3）圆的概念：

让学生根据上面所找出的特点，描述什么样的图形是圆.（学生可以在讨论、交流的基础上自由发言；绝大部分学生能够比较准确的描述出圆的定义，部分学生没有说准确，在其他学生带动下也能够说出）在学生充分交流的基础上得到圆的定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．（多媒体动画引入）

（4）圆的表示方法

以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

（5）从画圆的过程可以看出：

①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（把一个几何图形看成是满足某种条件的点的集合的思想，在几何中十分重要，因为这实际上就是关于轨迹的概念．圆，实际上是“到定点的距离等于定长的点”的轨迹．事实上，①保证了图形上点的纯粹性，即不杂；②保证了图形的完备性，即没有漏掉满足这种条件的点．①②同时符合，保证了图形上的点“不杂不漏”．）

（6）由车轮为什么是圆形，让学生感受圆在生活中的重要性．

问题1，车轮为什么做成圆形？

问题2，如果做成正方形会有什么结果？

（通过车轮实例，首先让学生感受圆是生活中大量存在的图形．教学时给学生展示正方形车轮在行走时存在的问题，使学生感受圆形的车轮运转起来最平稳．）

把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．

2.与圆有关的概念

（1）连接圆上任意两点的线段（如线段AC）叫做弦.

（2）经过圆心的弦（如图中的）叫做直径．

（3）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．

小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的ABC，）叫做优弧．

（4）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

（5）能够重合的两个圆叫做等圆．（容易看出半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等．）

（6）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

（对于和圆有关的这些概念，应让学生借助图形进行理解，并弄清楚它们之间的联系和区别．例如，直径是弦，但弦不一定是直径．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆即不是劣弧，也不是优弧．）

3.垂直于弦的直径

（1）创设情景引入新课

问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？）

（2）圆的对称性的探究

①活动：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（学生可能会找到1条，2条，3条…教师不要过早地去评判，应该把机会留给学生，让他们在互相交流中，认识到圆的对称轴有无数多条，要鼓励学生表达自己的想法）

②得到结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

（3）垂径定理及其逆定理

①垂径定理的探究

如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？?（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗？为什么？（旨在通过这样复合图形的轴对称性探索垂径定理，教学时应鼓励学生探索方式的多样性．引导学生理解，证明垂径定理的基本思路是：先构造等腰三角形，由垂直于弦得出平分弦；然后将直径看做圆的对称轴，利用轴对称图形对应元素相等的性质得出平分弧的结论）（多媒体动画引入）

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

②垂径定理的逆定理的探究

（仿照前面的证明过程，鼓励学生独立探究，然后通过同学间的交流得出结论）

垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

③解决求赵州桥拱半径的问题

4.弧，弦，圆心角

（1）通过实验探索圆的另一个特性

如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？（多媒体图片引入）（教科书展示了一种证明方法——叠合法，教学时要鼓励学生用多种方法探索图形的性质，学生的想法未必完善，但只要有合理的成分就应给予肯定和鼓励．）

结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所的弧相等，所对的弦也相等．

（2）对（1）中结论的逆命题的探究

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦_____；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_____．（教学时仍要鼓励学生用多种方法进行探索）

（3）应用新知，体验成功

例.如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.

5.圆周角

（1）创设情境引入概念

如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙，丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？

概念：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

（意在引出同弧所对的圆心角与圆周角，同弧所对的圆周角之间的大小关系．教学时要引导学生分析圆周角有两个特征：角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦．）

（2）圆的相关性质

①动手实践

活动一：分别量一下所对的两个圆周角的度数，比较一下，再变动点C在圆周上的位置，圆周角的度数有没有变化？你能发现什么规律？

活动二：再分别量出图中所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？

（利用一些计算机软件，可以很方便的度量圆周角，圆心角，有条件的话可以试一试）

得到结论：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．

②为了进一步研究上面发现的结论，在⊙O任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A．由于A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：

在圆周角的一条边上；在圆周角的内部；在圆周角的外部．

（学生解决这一问题是有一定难度的，应给学生留有时间和空间，让他们进行思考．引导学生观察后两种情况，让学生思考：这两种情况能否转化为第一种情况？如何转化？当解决一个问题有困难时，我们可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题．这是解决问题时常用的策略．）

由此得到圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

进一步我们还可以得到下面的推论：

半径（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

由圆周角定理可知：

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．

（3）圆内接多边形的定义及其相关性质

①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．

②利用圆周角定理，我们的得到关于圆内接四边形的一个性质：

圆内接四边形的对角互补．

（三）应用新知，体验成功

利用资源库中的“典型例题”进行教学.

（四）课堂小结，体验收获（PPT显示）

这堂课你学会了哪些知识？有何体会？（学生小结）

1.圆的有关概念；

2.垂径定理及其逆定理；

3.弧，弦，圆心角的相关性质；

4.圆周角的概念及相关性质;

（五）拓展延伸，布置作业

利用资源库中或手头的相关材料进行布置.

五、学习评价：

(一)选择题

1．如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（

）

（A）CE=DE．（B）．（C）∠BAC=∠BAD．（D）AC>AD．

1题图

2题图

3题图

2．如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（

）

（A）AB⊥CD．（B）∠AOB=4∠ACD．（C）．（D）PO=PD．

3．如图，⊙O中，如果=2，那么（

）

（A）AB=AC．（B）AB=AC．（C）AB<2AC．（D）AB>2AC．

4．如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（

）

（A）140°．（B）110°．（C）120°．（D）130°．

4题图

5题图

6题图

5．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（

）

（A）∠4<∠1<∠2<∠3．（B）∠4<∠1=∠3<∠2．（C）∠4<∠1<∠3∠2．（D）∠4<∠1<∠3=∠2．

6．如图，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（

）

（A）3．（B）3+．（C）5-.（D）5．

(二)填空题

7．如图，AB为⊙O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．

(三)解答题

12．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

13．如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求的度数和的度数．

14．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．

15．如图，已知AB=AC，∠APC=60°

（1）求证：△ABC是等边三角形．

（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．

16．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点