行列式概念与性质

行列式概念与性质§3.1行列式的概念§3.2行列式值的和性质、记算§3.3

若干应用(逆阵公式、克拉默法则等)本章的主要内容重点内容

行列式的计算第2页,共28页，2024年2月25日，星期天1、概念2、性质§3.1行列式的概念和性质第3页,共28页，2024年2月25日，星期天一、概念

对任一n阶矩阵用式子或用大写字母

D表示,常把上述表达式称为

A的行列式

(determinant),记作detA

表示一个与

A相联系的数，而把相联系的那个数称为行列式的值.今后，称上述具有n

行n

列的表达式为n

阶行列式.第4页,共28页，2024年2月25日，星期天定义把删去第i行及第j列后所得的(n–1)阶子矩阵称为对应于元aij

的余子矩阵，并以Sij

记之.

对一n阶矩阵对

n=2,3,…,用以下公式递归地定义

n阶行列式之值：def定义

一阶矩阵

[a11

]的行列式之值定义为数a11

，即det[a11

]defa11第5页,共28页，2024年2月25日，星期天例设def，计算该行列式的值解因有

S11=[a22],S12=[a21],

故—+第6页,共28页，2024年2月25日，星期天例设,计算

detA

的值.解def第7页,共28页，2024年2月25日，星期天若写出计算3阶行列式值的公式为第8页,共28页，2024年2月25日，星期天以下表的形式记3阶行列式值的计算公式

说明

三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.

结论

n阶行列式的值是

n！个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行列式不同行又不同列的n个元之乘积.第9页,共28页，2024年2月25日，星期天定义

对

n阶行列式

detA，称detSij

为元

aij的余子式

,称为元

aij的代数余子式.例如第10页,共28页，2024年2月25日，星期天根据该定义，可重新表达行列式的值def其中

A1k

是元

a1k对A或detA

的代数余子式.相当于把行列式按第一行展开注

行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子式.第11页,共28页，2024年2月25日，星期天定理1

行列式与它的转置行列式相等.说明

行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.2、性质定理

对n阶矩阵

A，有

行列式的值也可按第1列展开计算.第12页,共28页，2024年2月25日，星期天例如推论

若行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零.定理2

互换行列式的两行(列),行列式值反号.

定理3

行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,

等于用数

k

乘此行列式.第13页,共28页，2024年2月25日，星期天请问若给n阶行列式的每一个元素都乘以同一数k，等于用

乘以此行列式.思考推论1

对

n阶行列式A

，有

推论2

行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零．证第14页,共28页，2024年2月25日，星期天推论3一行(或列)元素全为0的行列式值等于零．定理4

若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和则D等于下列两个行列式之和例如第15页,共28页，2024年2月25日，星期天推论把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．例如

行列式等值变形法则第16页,共28页，2024年2月25日，星期天定理行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即或表达为若行列式按列展开，有定理

行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即行列式的展开定理第17页,共28页，2024年2月25日，星期天证将行列式按第i行展开,有如果将行列式中的aij换成akj，那么自然有第18页,共28页，2024年2月25日，星期天行列式含有两个相同的行,值为0.综上所述,得公式第19页,共28页，2024年2月25日，星期天注在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n－1)阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义，但展开定理在理论上是重要的．

利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行列式计算：方法计算行列式时,可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.第20页,共28页，2024年2月25日，星期天例

计算行列式解第21页,共28页，2024年2月25日，星期天定理

设

L是有如下分块形式的

(n+p)阶矩阵其中

A是

n阶矩阵，

B是

p阶矩阵，则有在A、B是方阵时也成立定理

若A、B是两个同阶矩阵，则注意

公式中C的元之具体值对结果无影响.第22页,共28页，2024年2月25日，星期天例设

证明第23页,共28页，2024年2月25日，星期天证明对作运算，把化为下三角形行列式设为对作运算，把化为下三角形行列式设为第24页,共28页，2024年2月25日，星期天证明：对作运算，把化为下三角形行列式对D

的前k行作运算，则第25页,共28页，2024年2月25日，星期天对作运算，把化为下三角形行列式对D

的后n列作运算，则第26页,共28页，2024年2月25日，星期天对D

的前k行作运算，再对后n

列作运算，把D

化为下三角形行列式故第2