2019-2020学年高中数学第二章解析几何初步1.5平面直角坐标系中的距离公式练习(含解析)北师大版必修2

PAGE9-1．5平面直角坐标系中的距离公式填一填1.两点间的距离公式(1)数轴上：一般地，数轴上两点A，B对应的实数分别是xA，xB，则|AB|＝|xB－xA|.(2)平面直角坐标系中：一般地，若两点A，B对应的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).2．点到直线的距离点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离记为d，则d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，两条直线间的距离记为d，即d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2)).判一判1.原点O到点P(x，y)的距离为|OP|＝eq\r(x2＋y2).(√)2．平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关．(×)3．平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．(√)4．直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离是|C1－C2|.(×)5．原点到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式是eq\f(|C|,\r(A2＋B2)).(√)6．平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(√)7．连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(×)8．点到直线的距离是直线上的点与直线外一点连线的长度中的最小值．(√)想一想1.在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有什么要求？提示：点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式．2．两条平行直线间的距离公式写成d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))时对两条直线应有什么要求？提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等．3．两条平行直线间距离有哪几种求法？提示：(1)直接利用两平行线间的距离公式．(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．①当两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；②当两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.4．距离公式综合应用的常见类型有哪些？提示：(1)最值问题．①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．(2)求参数问题．利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．(3)求方程的问题．立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．思考感悟：练一练1.已知A(3,7)，B(2,5)，则A，B两点间的距离为()A．5B.eq\r(5)C．3D．29答案：B2．已知直线上两点A(a，b)，B(c，d)，且eq\r(a2＋b2)－eq\r(c2＋d2)＝0，则()A．原点一定是线段AB的中点B．A，B一定都与原点重合C．原点一定在线段AB上，但不是线段AB的中点D．原点一定在线段AB的垂直平分线上答案：D3．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是()A．3eq\r(2)B.eq\f(\r(2),2)C．3D.eq\f(3\r(2),2)答案：D4．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于()A．7B．5C．3D．2答案：A5．直线l1：x＋y＝0与直线l2：2x＋2y＋1＝0间的距离是________．答案：eq\f(\r(2),4)知识点一两点间距离公式的应用1.已知点A(2，m)与点B(m,1)间的距离是eq\r(13)，则实数m＝()A．－1B．4C．－1或4D．－4或1解析：∵|AB|＝eq\r(m－22＋1－m2)＝eq\r(13)，∴m2－3m－4＝0，解得m＝－1或m答案：C2．已知点A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则△ABC中，BC边上的中线长为________．解析：BC中点为(－1,2)，所以BC边上中线长为eq\r(2＋12＋1－22)＝eq\r(10).答案：eq\r(10)知识点二求点到直线的距离3.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为()A．1B．－1C.eq\r(2)D．±eq\r(2)解析：由题意，得eq\f(|a－1＋1|,\r(12＋－12))＝1，即|a|＝eq\r(2)，所以a＝±eq\r(2).故选D.答案：D4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是()A.eq\r(10)B．2eq\r(2)C.eq\r(6)D．2解析：由题意可知|OP|的最小值即原点(0,0)到直线x＋y－4＝0的距离d＝eq\f(|－4|,\r(2))＝2eq\r(2).答案：B知识点三两条平行直线间的距离5.已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c等于()A．－12B．48C．36D．－12或48解析：将l1：3x＋4y＋5＝0改写为6x＋8y＋10＝0，因为两条直线平行，所以b＝8.由eq\f(|10－c|,\r(62＋82))＝3，解得c＝－20或c＝40.所以b＋c＝－12或48.故选D.答案：D6．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是()A．4B.eq\f(2\r(13),13)C.eq\f(5\r(13),26)D.eq\f(7\r(13),26)解析：由两直线平行可知eq\f(3,6)＝eq\f(2,m)≠eq\f(－3,1)，故m＝4.又方程6x＋4y＋1＝0可化简为3x＋2y＋eq\f(1,2)＝0，∴平行线间的距离为eq\f(|\f(1,2)－－3|,\r(22＋32))＝eq\f(7\r(13),26).故选D.答案：D知识点四对称问题7.直线y＝3x－4关于点P(2，－1)对称的直线l的方程是()A．y＝3x－10B．y＝3x－18C．y＝3x＋4D．y＝4x＋3解析：在直线上任取两点A(1，－1)，B(0，－4)，则其关于点P的对称点A′，B′可由中点坐标公式求得为A′(3，－1)，B′(4,2)，由两点式可求得方程为y＝3x－10.答案：A8．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线的方程是()A．3x－2y＋2＝0B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0解析：由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0(C≠－6)．在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，其关于点(1，－1)对称的点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，解得C＝8.故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0.答案：D综合知识距离公式的综合应用9.已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．(1)求BC边上的高所在直线方程的一般式；(2)求△ABC的面积．解析：(1)因为kBC＝eq\f(3－－2,4－3)＝5，所以BC边上的高AD所在直线斜率k＝－eq\f(1,5).所以AD所在直线方程为y＋1＝－eq\f(1,5)(x－2)．即x＋5y＋3＝0.(2)BC的直线方程为：y＋2＝5(x－3)．即5x－y－17＝0，点A到直线BC的距离为eq\f(|2×5－－1－17|,\r(52＋－12))＝eq\f(6,\r(26)).又因为|BC|＝eq\r(3－42＋－2－32)＝eq\r(26)，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(6,\r(26))×eq\r(26)＝3.10．已知直线l1经过点A(0,1)，直线l2经过点B(5,0)，且直线l1∥l2，l1与l2间的距离为5，求直线l1，l2的方程．解析：∵直线l1∥l2，∴当直线l1，l2垂直于x轴时，直线l1的方程为x＝0，直线l2的方程为x＝5，这时直线l1，l2之间的距离等于5，符合题意．当直线l1，l2不垂直于x轴时，可设其斜率为k，依题意得，直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.由两条平行直线间的距离公式，得eq\f(|1＋5k|,\r(1＋k2))＝5，解得k＝eq\f(12,5).∴直线l1的方程为12x－5y＋5＝0，直线l2的方程为12x－5y－60＝0.综上，符合题意的直线l1，l2的方程有两组：l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.基础达标一、选择题1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是()A．3B.eq\f(5,3)C．1D.eq\f(\r(2),2)解析：点P(1，－1)到直线l的距离d＝eq\f(|3×－1－2|,\r(02＋32))＝eq\f(5,3)，选B.答案：B2．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝()A．0B.eq\f(3,4)C．3D．0或eq\f(3,4)解析：点M到直线l的距离d＝eq\f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))，所以eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝0或m＝eq\f(3,4)，选D.答案：D3．两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为()A.eq\f(13,10)B.eq\f(13,5)C.eq\f(7,2)D.eq\f(23,5)解析：直线3x＋4y－12＝0，即直线6x＋8y－24＝0，根据直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0平行，可得a＝6，故两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为eq\f(|－24－11|,\r(36＋64))＝eq\f(7,2).答案：C4．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于()A．3B．4C．5D．6解析：设AB边上的高为h，则S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h.|AB|＝eq\r(3－12＋1－32)＝2eq\r(2)，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为eq\f(y－3,1－3)＝eq\f(x－1,3－1)，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))，因此，S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(5,\r(2))＝5.答案：C5．直线l垂直于直线y＝x＋1，原点O到l的距离为1，且l与y轴正半轴有交点．则直线l的方程是()A．x＋y－eq\r(2)＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋eq\r(2)＝0解析：因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b.又l与y轴正半轴有交点，知b>0，即x＋y－b＝0(b>0)，原点O(0,0)到直线x＋y－b＝0(b>0)的距离为eq\f(|0＋0－b|,\r(12＋12))＝1，解得b＝eq\r(2)(b＝－eq\r(2)舍去)，所以所求直线l的方程为x＋y－eq\r(2)＝0.答案：A6．已知△ABC的三个顶点是A(－a,0)，B(a,0)和Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(\r(3),2)a))，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．斜三角形解析：因为kAC＝eq\f(\f(\r(3),2)a,\f(a,2)＋a)＝eq\f(\r(3),3)，kBC＝eq\f(\f(\r(3),2)a,\f(a,2)－a)＝－eq\r(3)，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC，又|AC|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))2)＝eq\r(3)|a|.|BC|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a－0))2)＝|a|，|AC|≠|BC|.所以△ABC为直角三角形．答案：C7．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为()A．3eq\r(2)B．2C.eq\r(2)D．4解析：由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则eq\f(|c＋7|,\r(2))＝eq\f(|c＋5|,\r(2))，即c＝－6，∴点M在直线x＋y－6＝0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).答案：A二、填空题8．已知点A(－1,2)，B(3，b)的距离是5，则b＝________.解析：根据两点间的距离公式，可得eq\r(3＋12＋b－22)＝5，解得b＝5或b＝－1.答案：5或－19．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．解析：∵eq\f(|5×2－12k＋6|,\r(52＋122))＝4，∴|16－12k|＝52，∴k＝－3，或k＝eq\f(17,3).答案：－3或eq\f(17,3)10．两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋n＝0平行且距离为eq\r(10)，则m＋n＝________.解析：因为两直线平行，所以m＝2，由两平行线的距离公式知eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3－\f(n,2))),\r(32＋12))＝eq\r(10)，解得n＝14或n＝－26.所以m＋n＝16或m＋n＝－24.答案：16或－2411．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________________________________________________________________________．解析：显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2))，所以k＝2或k＝－eq\f(2,3).所以所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.答案：2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝012．已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么eq\r(x2＋y2)的最小值为________．解析：求eq\r(x2＋y2)的最小值，就是求2x＋y＋5＝0上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线2x＋y＋5＝0的距离d＝eq\f(5,\r(22＋12))＝eq\r(5).答案：eq\r(5)三、解答题13．已知点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P点垂直于x轴的直线满足条件，此时直线l的斜率不存在，其方程为x＝2.若直线l的斜率存在，设其方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知，得eq\f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)过P点且与原点O距离最大的直线是过P点且与OP垂直的直线．由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝eq\f(－1,kOP)＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).(3)由(2)可知，存在过点P且到原点距离最大为eq\r(5)的直线，因此不存在过点P到原点距离为6的直线．14．已知直线l1：x＋3y－3m2＝0和直线l2：2x＋y－m2－5m＝0相交于点P(m(1)用m表示直线l1与l2的交点P的坐标；(2)当m为何值时，点P到直线x＋y＋3＝0的距离最短？并求出最短距离．解析：(1)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－3m2＝0，,2x＋y－m2－5m＝0，))得x＝3m，y＝m2－m，∴直线l1与l2的交点P的坐标为(3m，m2－m(2)设点P到直线x＋y＋3＝0的距离为d，d＝eq\f(|3m＋m2－m＋3|,2)＝eq\f(|m2＋2m＋3|,\r(2))＝eq\f(|m＋12＋2|,\r(2))＝eq\f(m＋12＋2,\r(2))，∴当m＝－1时，即P点坐标为(－3,2)时，点P到直线x＋y＋3＝0的距离最短，最短距离为eq\r(2).能力提升15.已知两点A(2,3)，B(4,1)，直线l：x＋2y－2＝0，在直线l上求一点P.(1)使|PA|＋|PB|最小；(2)使||PA|－|PB||最大．解析：(1)可判断A，B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为(x1，y1)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋2,2)＋2·\f(y1＋3,2)－2＝0，,\f(y1－3,x1－2)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(2,5)，,y1＝－\f(9,5).))由直线的两点式方程得直线A1B的方程为eq\f(y－1,－\f(9,5)－1)＝eq\f(x－4,－\f(2,5)－4)，即y＝eq\f(7,11)(x－4)＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2＝0，,y＝\f(7,11)x－4＋1))得直线A1B与l的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(56,25)，－\f(3,25)))，由平面几何知识可知，此时|PA|＋|PB|最小．(2)由直线的两点式方程求得直线AB的方程为eq\f(y－3,1－3)＝eq\f(x－2,4－2)，即x＋y－5＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2＝0，,x＋y－5＝0))得直线AB与l的交点为P(8，－3)，此时||PA|－|PB||最大．16．已知三条直线l1：mx－y＋m＝0，l2：x＋my－m(m＋1)＝0，l3：(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，它们围成△ABC.(1)求证：不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点；(2)当m取何值时，△ABC的面积取最值？并求出最值．解析：(1)证明：设直线l1与直线l3的交点为A.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx－y＋m＝0，,m＋1x－y＋m＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x