考研数学二一元函数微分学历年真题试卷汇编21-真题(含答案与解析)-交互

考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编21(总分150,做题时间180分钟)选择题1.[2014年]设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上()．A

当f′(x)≥0时，f(x)≥g(x)B

当f′(x)≥0时，f(x)≤g(x)C

当f″(x)≥0时，f(x)≥g(x)D

当f″(x)≥0时，f(x)≤g(x)

分值:5.2答案:D可利用函数的几何图形选出正确选项．也可利用下述命题判别之．

解一令φ(x)=f(x)一g(x)，则φ(x)=f(x)一f(0)(1一x)一f(1)x，且

φ′(x)=f′(x)+f(0)－f(1)，φ″(x)=f″(x)．

当f″(x)≥0时；φ″(x)=f″(x)≥0，φ(x)为凹函数．

因φ(0)=φ(1)=0，由命题1．2．6．1(2)知，当x∈[0，1]时，

φ(x)≤0，即f(x)≤g(x)．仅(D)入选．

解二由g(x)的表达式知，g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，即．

f(x)与g(x)在区间[0，1]端点的函数值相等，又φ(x)=f(0)+[f(1)一f(0)]x是一条直线，斜率k=f(1)一f(0)．当f″(0)≥0时，f(x)在区间[0，1]上是凹的，而g(x)是连接f(x)两个端点的弦(见图1．2．6．1)，故f(x)≤g(x)．仅(D)入选．

2.[2018年]设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01f(x)dx=0，则()．A

当f′(x)＜0时，f()＜0B

当f″(x)＜0时，f()＜0C

当f′(x)＞0时，f()＜0D

当f″(x)＞0时，f()＜0

分值:5.2答案:D由条件可知，对函数f(x)在x=点处按二阶泰勒展开可得

其中ξ在x与之间，则

所以当f″(x)＞0时，积分dx＞0，从而可推出f()1＜0；

当f″(x)＜0时，有f()＞0，故选项(B)错误；取f(x)=一x+，则f′(x)＜0，f()=0，选项(A)错误；取f(x)=x一，则f′(x)＞0，f()=0，选项(C)错误．故选(D)．3.[2005年]设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是()．A

(1／8)ln2+3B

(一1／8)ln2+3C

一8ln2+3D

8ln2+3

分值:5.2答案:A先求出法线方程．为此求出x=3所对应的参数值，再求出切线斜率和法线斜率，由此写出法线方程．

先由x=3求出对应的参数t的值，然后再求出此点的导数．

当x=3时，有t2+2t=3，得t=1，t=一3(舍去)，于是

于是可写出所求的法线方程，即过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为

y—ln2=一8(x－3)．

令y=0，得其与x轴交点的横坐标为(1／8)ln2+3．仅(A)入选．4.[2010年]曲线y=x2与曲线y=alnx(a≠0)相切，则a=()．A

4eB

3eC

2eD

e

分值:5.2答案:C两曲线相切，在切点处导数相等，函数值相等，由此可求出a．

解一设切点为(x0，y0)，则在切点处两曲线的纵坐标相等，得到y0=x02=alnx0，即

x0=ex02/a．由在切点处两曲线的斜率相等，得到

y′∣x=x0=2x∣x=x0=2x0=(alnx)′∣x=x0=a／x0，即a=2x02，亦即x02=a／2．

将其代入x0=ex02/a，有x0=ea/2a=e1/2，则a=2x02=2(e1/2)2=2e．仅(C)入选．

解二本例也可不必求出切点的纵坐标．由在切点处的斜率相等，得到x02=a／2．由在切点处的纵坐标相等，有x2=alnx，于是

故a／2=e，所以a=2e．仅(C)入选．5.[2016年]设函数fi(x)(i=l，2)具有二阶连续导数，且f″i(x0)＜0(i=1，2)，

若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有()．A

f1(x)≤f2(x)≤g(x)B

f2(x)≤f1(x)≤g(x)C

f1(x)≤g(x)≤f2(x)D

f2(x)≤g(x)≤f1(x)

分值:5.2答案:A利用曲率公式和题设条件找出两曲线f1(x)和f2(x)与其公切线的位置关系及两曲线f1(x)与f2(x)之间的位置关系，从而确定其大小关系．

因曲线y=f1(x)与y=f2(x)在(x0，y0)处有公切线，则f1(x0)=f2(x0)，f′1(x0)

=f′2(x0)．设f1(x)与f2(x)在(x0，y0)处的曲率分别为k1，k2，则k1＞k2，即

因f′1(x0)=f′2(x0)，故∣f″1(x0)∣＞∣f″2(x0)∣．而f″1(x0)＜0．f″2(x0)＜0，所以

f″1(x0)＜f″2(x0)＜0．从而在x0的某个领域内f1(x)，f2(z)均为凸函数，故f1(x)≤g(x)，f2(x)≤g(x)．于是选项(C)，(D)不成立．

为进一步找出f1(x)与f2(x)的位置关系，令F(x)=f1(x)一f2(x)，则

F(x0)=0，F′(x0)=0，F″(x0)=f″1(x0)一f″2(x0)＜0．

由定理1．2．5．2知，x=x0为F(x)的极大值点，则F(x)≤F(x0)=0，即f1(x)≤f2(x)，于是排除选项(B)．仅(A)入选．6.[2014年]曲线上对应于t=l的点处的曲率半径是()．

A

B

C

D

分值:5.2答案:C利用曲率半径公式直接计算即可．计算时需先求出在t=l的点处导数y′与y″的取值．

由y′=，得到

得到y″∣t=1==一1．

由曲率公式k=得到k∣t=1=，故对应于t=1的点处的曲率半径为R∣t=1=∣t=1=10√10．仅(C)入选．填空题7.曲线y=∫0x(t一1)(t一2)dt在点(0，0)处的切线方程是_________．

分值:5.2答案:只需求出切线斜率．为此先求导数．因为y′=(x—1)(x一2)，y′(0)=2，故切线方程为y=2x．8.[2018年]曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是_________．

分值:5.2答案:由题可知，y′=2x+，y″=2+.令y″=2+=0，解得x=1．所以曲线的拐点为(1，1)．又因y′(1)=4即为切线斜率，所以切线方程为y=4x一3．9.[2008年]曲线sin(xy)+ln(y一x)=x在点(0，1)处的切线方程是_________．

分值:5.2答案:点(0，1)在曲线上，只需用隐函数求导法求出y′(0)，即可写出切线方程．解一在方程两边对x求导，视y为x的函数，得到cos(xy)·(y+xy′)+(y′一1)／(y－x)=1．将x=0，y=1代入上式，得到l+y′(0)一1=1，即y′(0)=1，故曲线在点(0，1)处的切线方程为y—l=y′(0)(x一0)，即y=x+1．解二在等式两边求微分，得到d[sin(xy)+ln(y—x)]=cos(xy)(ydx+xdy)+(dy－dx)／(y一x)=dx．则=l，故所求的切线方程为y一1=x，即y=x+1．10.[2001年]设函数y=f(x)由方程e2x+y一cos(xy)=e一1所确定，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_________．

分值:5.2答案:先用隐函数求导法则，求出在x=0处的切线斜率f′(0)，则对应的法线斜率为一1／f′(0)，即可写出法线方程．因点(0，1)满足所给方程，故点(0，1)在曲线y=f(x)上．先求曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线斜率．为此在所给方程e2x+y—cos(xy)=e一1两边对x求导，得到e2x+y(2+y′)+sin(xy)(y+xy′)=0．将x=0，y=1代入得y′∣x=0=一2．又因曲线在同一点处切线斜率与法线斜率为负倒数，故在点(0，1)处的法线斜率为1／2，所以所求的法线方程为y一1一(1／2)(x—0)，即x一2y+2=0．11.[2003年]设函数y=f(x)由方程xy+2lnx=y4所确定，则曲线y=f′(x)在点(1，1)处的切线方程是_________．

分值:5.2答案:先求出在点(1，1)处的导数，即切线在点(1，1)处的斜率，再写出切线方程．在等式xy+2lnx=y4两边同时对x求导，得到y+xy′+2/x=4y3y′．将x=1，y=l代入上式，得到在点(1，1)处的斜率为y′(1)=l，于是过点(1，1)的切线方程为y一1=1·(x一1)，即x—y=0．12.[2014年]曲线L的极坐标方程为r=θ，则L在点(r，θ)=处切线的直角坐标方程为________．

分值:5.2答案:可用两种方法求之：一种方法是将曲线的极坐标方程及点的极坐标化为直角坐标方程、直角坐标，再写出所求的切线的直角坐标方程．另一种方法是利用曲线L的极坐标方程(参数方程)求出切线的斜率及点的直角坐标，再写出所求方程．解一极坐标方程r=θ，利用x=rcosθ，y=rsinθ易求得r=，tanθ=，即θ=arctan，因而得到，两边对x求导，得到①令r=．θ=，得到x=0，y=，即(x，y)=(0，)，将其代入式①得到y′(0,π/2)=－从而所求的切线直角坐标方程为y一(x一0)，即y=一解二L的参数方程为x=rcosθ=θcosv，y=rsinθ=θsinθ，点(r，θ)=记为P0，则P0的直角坐标为(x0，y0)=(0，)，L在点P0处的斜率为故L在P0点处的切线的直角坐标方程为y=一.13.[2013年]曲线上对应于t=1的点处的法线方程为__________．

分值:5.2答案:先求出对应于t=1的点处的直角坐标，再求出在该点的切线斜率，写出法线斜率，即可求出法线方程．对应于t=1的点的直角坐标x0=arctant∣t=1=，y0=lnln2．再求出在该点M0(x0，y0)的切线斜率：=1．于是曲线在点M0处的法线斜率为一l，在点M0处的法线方程为y一ln2=(一1)(x一)，即y+x－ln2=0．14.[2007年]曲线上对应于t=的点处的法线斜率为_________．

分值:5.2答案:按公式求之．先求切线斜率，其负倒数即为法线斜率．因切线斜率为，故法线斜率为1+√2．15.[2009年]曲线在点(0，0)处的切线方程为__________．

分值:5.2答案:先求出点(0，0)所对应的参数t0,再分别求出，最后求当x=0时，易知t=1；当y=0时，t=1．而=(一1)e-(1-t)2∣t=1=－1，=[2tln(2一t2)+t2]=一2.故=2．所以在点(0，0)处曲线的切线方程为y一0=2(x一0)，即y=2x．16.[2012年]曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为√2／2的点的坐标是_________．

分值:5.2答案:利用曲率公式计算．y′=2x+1，y″=2．代入曲率公式k=∣y″∣／(1+y′2)3/2得到√2／2=e／[1+(2x+1)2]3/2，解得x=一l或x=0．因x＜0，故x=一1．于是y=(一1)2+(－1)=0，故所求点的坐标为(一1，0)．17.[2018年]曲线在t=对应点处的曲率为__________．

分值:5.2答案:由条件可知所以故由曲率公式可得k=18.[2010年]已知一个长方形的长l以2cm／s的速率增加，宽ω以3cm／s的速率增加，则当l=12cm，ω=5cm时，它的对角线增加速率为_________．

分值:5.2答案:先建立对角线与长l及宽ω之间的函数关系，然后在该关系式两端对t求导．设长方形的对角线为g，则g=当l=12cm，ω=5cm时，g==13cm，则g′t=当l=12cm，ω=5cm时，g=13cm．又l′t=2，ω′1=3时，有g′t==3，即当l=12cm，ω=5cm时，它的对角线增加速率为3cm／s．19.[2016年]已知动点P在曲y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l．若点P的横坐标时间的变化率为常数v0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是_________．

分值:5.2答案:先求出l与x的关系，再在此等式两端对t求导．设点P的坐标为(x，y)=(x，x3)，由题设有=v0．又由图1．2．7．1易看出则l对时间t的变化率为故当点P运动到点(1，1)时，l对时间t的变化率为·v0=2√2v0．解答题[2017年]设函数f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，＜0．20.方程f(x)在(0，1)内至少有一个实根；

分值:5.2答案:

利用零点定理和罗尔定理证明．

由＜0，可知，f(0)=0．根据极限的保号性知，在0的去心邻域内，必存在一点c，使得f(c)＜0，由题意f(1)＞0，则f(c)．f(1)＜0，由零点定理知，必存在一点ξ1∈(c，1)(0，1)，使得f(ξ1)=0．21.方程f(x)f″(x)+[f′(x)]2=0，在(0，1)内至少有两个不同的实根．

分值:5.2答案:

由罗尔定理知，存在ξ2∈(0，ξ1)，使得f′(ξ2)=0．

构造辅助函数F(x)=f(x)f′(x)，则F(0)=F(ξ2)=F(ξ1)=0．

再根据罗尔定理可得，存在η1∈(0，ξ2)，ξ2∈(ξ2，ξ1)，使得

F′(η1)=F′(η2)=0．结论得证．22.[2012年]证明xln(一1＜x＜1)．

分值:5.1答案:

将待证的不等式的右边移至左边作辅助函数，用单调性证其成立．若一阶导数的符号不好确定，可继续求高阶导数，直到导数符号确定为止．

证令f(x)=xln+cosx一1一(一1＜x＜1)．因ln=ln(1+x)一

ln(1一x)为奇函数(自变量带相反符号的两同名函数之差为奇函数)，故xln为偶函数．

因而f(x)为偶函数，故只需讨论x≥0的情况即可．又

f′(x)=ln—sinx—x

=lnsinx—x(0≤x＜1)，

其正、负符号不好确定．下面再求二阶导数：

f″(x)=—cosx—1

=一cosx一1

=一cosx一1(0≤x＜1)．

因0≤x＜1，(1一x2)2＜l，故4／(1一x2)2＞4，所以f″(x)＞0(0≤x＜1)．于是当x∈[0，1)时，f″(x)＞0，从而f′(x)单调增加，则f′(x)＞f′(0)=0．所以当0≤x＜1时，

f(x)单调增加，即f(x)≥f(0)=0．于是当一1＜x＜l时，有f(x)≥0，即xln+cosx≥l+(一1＜x＜1)．23.[2018年]已知常数k≥ln2—1，证明：(x一1)(x—ln2x+2klnx一1)≥0．

分值:5.1答案:

①当x=1时，不等式成立．

②当0＜x＜1时，只需在x—ln2x+2klnx一1≤0．

设f(x)=x—ln2x+2klnx一1，则有

f′(x)=1—2lnx·

令g(x)=x—2lnx+2k，则g′(x)=l一＜0，故g(x)单调递减，所以

g(x)＞g(1)=1+2k≥1+2(ln2—1)=2ln2－1＞0，

从而f′(x)＞0，f(x)单调递增，故f(x)≤f(1)=0，结论成立．

③当x＞1时，只需证x－ln2x+2klnx一1≥1．

由②可知，当1＜x＜2时，g′(x)=1－＜0，则g(x)单调递减；

当x＞2时，g′(x)＞0，则g(x)单调递增．所以

g(x)≥g(2)=2+2k一2ln2≥2+2(ln2—1)一2ln2=0，

可知f′(x)≥0，f(x)单调增加，则f(x)≥f(1)=0，故结论成立．

综上所述，不等式恒成立，结论得证．24.[2002年]设0＜a＜b，证明不等式.

分值:5.1答案:

对于连不等式，一般可分为两个不等式分别证之．可用拉格朗日中值定理证之，也可构造辅助函数证之．

证一用拉格朗日中值定理证之．为此设函数f(x)=lnx(x＞a＞0)，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点∈(a，b)，使

由于0＜a＜ξ＜b，故，从而右边不等式的证明请读者完成．

证二先证右边不等式．设辅助函数证之．为此将其变形为lnb—lna＜，令b=a，两端化为0，因而可令b=x，构造辅助函数．

设φ(x)=lnx—lna一(x一a)／(x＞a＞0)，用函数的单调性证之．因为

φ′(x)=＜0，

故当x＞a时，φ(x)单调减少．又φ(a)=0，所以，当x＞a时，φ(x)＜φ(a)=0，即

lnx一lna＜(x—a)／

从而当b＞a＞0时，lnb—lna＜(b一a)／

再证左边不等式．用辅助函数法证之．设f(x)=(x2+a2)(lnx—lna)－2a(x一a)(x＞a＞0)．

因为

f′(x)=2x(lnx—lna)+(x2+a2)／x一2a=2x(lnx一lna)+(x－a)2／x＞0，

故当x＞a时，f(x)单调增加，又f(a)=0，所以当x＞a时，f(x)＞f(a)=0，即

(x2+a2)(lnx—lna)一2a(x一a)＞0，

从而当b＞a＞0时，有

(a2+b2)(lnb—lna)一2a(b一a)＞0，即25.[2004年]设e＜a＜b＜e2，证明ln2b—ln2a＞4(b一a)／e2．

分值:5.1答案:

因待证的不等式中含有两函数之差，可用拉格朗日中值定理证明，也可用单调性证明，还可用柯西中值定理证之．

证一对ln2x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得ln2b—ln2a=(b一a)，a＜ξ＜b．

设φ(t)=，则φ′(t)=，当t＞e时，φ′(t)＜0，所以φ(t)单调减少，从而φ(ξ)＞φ(e2)，即

，故ln2b—ln2a＞

证二．设φ(x)=ln2x－4x／e2，则φ′(x)=2，φ″(x)=2，所以当x＞e时，

φ″(x)＜0，故φ′(x)单调减少，从而当e＜x＜e2时，φ′(x)>φ′(e2)=4／e2—4／e2=0，即当

e＜x＜e2时，φ(x)单调增加．因此当e＜a＜b＜e2时，cp(b)＞φ(a)，即

ln2b一(4／e2)b＞ln2a一(4／e2)以，故ln2b—ln2a＞4(6一a)／e2．26.[2006年]证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．

分值:5.1答案:

构造辅助函数，转化为函数不等式用单调性证之．

证一因a=b时，待证不等式成为恒等式，故可将一常数b改为x，构造辅助函数

F(x)=xsinx+2cosx+2cosx+πx一asina一2cosa一πa，

则

F′(x)=xcosx一sinx+π，且F′(0)=π，F′(π)=0．

因F′(x)的符号无法确定，再求F″(x)=一xsinx＜0(0＜x＜π)．因而F′(x)在(0，π)内

单调减少．由F′(x)=0得到

F′(x)＞F′(π)=0(0＜x＜π)．

故F(x)在(0，π)内单调增加．当0＜a＜x＜b时，有F(b)＞F(a)=0，即

bsinb+2cosb+πb＞asina+acosa+πa．

证二视上述不等式为单变量x在a，b处之值的不等式．令F(x)=xsinx+2cosx+πx．

下面证F(b)＞F(a)．为此证F(x)在0＜x＜π内单调增加．

因F′(x)=xcosx—sinx+π的符号无法确定，再求其二阶导数．因

F″(x)=一xsinx＜0(0<＜x＜π)，

故F′(x)在(0，π)内单调减少．因而当0＜x＜π时，有F′(x)＞F′(π)=0，则F(x)在(0，π)内单调增加．于是0＜a＜b时，有

F(b)＞F(a)，即bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．27.[20l5年]已知函数f(x)在区间[a，+∞]上具有2阶导数，f(a)=0，f′(x)＞0，f″(0)＞0．设b＞a，曲线y=f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明

a＜x0＜b．

分值:5.1答案:

利用导数性质及拉格朗El中值定理证之．

为方便计，假设y=f(x)满足f