专题01 2024深圳中考数学压轴题解答大题汇编

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页深圳中考数学压轴题1．（2021·广西·中考真题）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．（1）当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围．2．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题背景】（1）如图1，在中，D为上一点，，求证：．【尝试应用】（2）如图2，在中，，，面积为6，求证：．【拓展创新】（3）在中，，面积为，D为外一点，，，直接写出的长．3．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题】（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是______，与的位置关系是______；（2）如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，【探究】①如图2，以为边在的右侧作矩形，且，连接、，求证：；【拓展】②如图3，以为边在的右侧作正方形，连接、，则面积的最小值为______．4．（2023·山东青岛·一模）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：(1)【观察探究】方程的解为：___；(2)【问题解决】若方程有四个实数根，分别为、、、．①a的取值范围是___；②计算___；(3)【拓展延伸】①将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？画出平移后的图象并写出平移过程：②观察平移后的图像，当时，直接写出自变量x的取值范围___．5．（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）某排球运动员在原点O处训练发球，为球网，为球场护栏，且，均与地面垂直，球场的边界为点K，排球（看作点）从点O的正上方点处发出，排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G，落地点为点H，以点O为原点，点O，M，H，K，A所在的同一直线为x轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示，点N的坐标为（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）．(1)求抛物线L的函数表达式；(2)通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？(3)由于运动员作出调整改变了发球点P的位置，使得排球在点K落地后立刻弹起，又形成了一条与L形状相同的抛物线，且最大高度为．若排球沿下落时（包含最高点）能砸到球场护栏，直接写出m的最大值与最小值的差．6．（2023·广东深圳·二模）【问题】北师大版数学八年级下册P32第2题：已知：如图1，的外角和的平分线相交于点F．求证：点F在的平分线上．【解答】某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法：如图2，过点F作于点G，作于点H，作于点M，由角平分线的性质定理可得：，．∴．∵，，∴F在的平分结上．【探究】(1)小方在研究小明的解题过程时，还发现图2中和三条线段存在一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系：________；(2)小明也发现和之间存在一定的数量关系．请你直接写出它们的数量关系：________；(3)如图3，边长为3的正方形中，点E，F分别是边上的点，且．连接，若，求的长；(4)如图4，中，，．中，．将的顶点D放在边的中点处，边交线段于点G，边交线段于点H，连接．现将绕着点D旋转，在旋转过程中，的周长是否发生变化？若不变，求出的周长，若改变，请说明理由．7．（2023·广东深圳·二模）如图1，正方形和的边在同一条直线上，且，取的中点M，连接．

(1)试证明，并求=___________．(2)如图2，将图1中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值；若无变化，说明理由．(3)如图，已知菱形菱形，且，菱形绕点B旋转过程中，取EF的中点M，作，求证：是直角三角形并求出的值．8．（2023·广东深圳·二模）【定义】在平面内的三个点，，，满足．若，则将点称为，的三倍直角点：若，则将点称为，的三倍锐角点．

(1)如图1，已知中，，，若点是，的三倍直角点，则的长度为___________；若点是点，的三倍锐角点，则的长度为___________；(2)如图2，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点是直线上的一点，点的坐标为(，)，点的坐标为(，)，以为圆心长为半径作，点在上．①若点是，的三倍锐角点，求点的坐标②若点是，的三倍直角点，直接写出点的坐标．9．（2023·广东深圳·模拟预测）将正方形的边绕点A逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点B作直线，垂足为点F，连接．(1)如图1，当时，的形状为______，的值为______；(2)当时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请根据图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②如图3，正方形边长为4，，，在旋转的过程中，是否存在与相似？若存在，则的值为______，若不存在，请说明理由．10．（2023·广东深圳·二模）在四边形中，（E、F分别为边、上的动点），的延长线交延长线于点M，的延长线交延长线于点N．(1)问题证明：如图①，若四边形是正方形，求证：．(2)拓展应用：如图②所示平面直角坐标系，在中，点A坐标为，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数图像经过上的点D，且，求k的值．(3)深入探究：如图③，若四边形是菱形，连接，当时，且，试用关于的式子来表示的值，则__________．（直接写出结果）11．（2023·广东深圳·二模）（一）、概念理解：在直角坐标系中，如果两个函数的图象关于某条平行于轴（包括轴）的直线轴对称，我们就称它们为“共根函数”，两函数的交点称之为“共根点”，对称轴称为“共根轴”．例如：正比例函数和是一对共根函数，y轴是它们的共根轴，原点O是共根点．（二）、问题解决：（1）在图一网格坐标系里作出与一次函数共根点为的共根函数图象，并写出此函数的解析式__________．（2）将二次函数水平向右平移一个单位也可以得到它的共根函数，在图二中通过列表、描点、连线先作出图象，再按要求作出它向右平移后得到的共根函数图象，表格中_________，_________．这对共根函数的共根点坐标是_________．…01234……8038…（三）、拓展提升（3）在（2）条件下，函数与轴的两个交点分别为，，一条平行于轴的直线与这一对共根函数图象相交，是否存在有两个交点与点，一起构成一个平行四边形，如果存在直接写出的值，如果不存在，请说明理由．12．（2024·广东深圳·一模）如图1，菱形中，，，是边上一动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点是的中点，连接．

(1)填空：______，______（用含的代数式表示）；(2)如图2，当，题干中其余条件均不变，连接．求证：．(3)（2）的条件下，连接．①若动点运动到边的中点处时，的面积为______．②在动点的整个运动过程中，面积的最大值为______．13．（21-22九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图1，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F．(1)证明与推断：②求证：四边形是正方形；②推断：的值为___________；(2)探究与证明：将正方形的绕点C顺时针方向旋转，如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：正方形在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3所示，延长交于点H，若，则___________．14．（2023·广东深圳·一模）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：；（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长；（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．

15．（2021·广东深圳·二模）如图1，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝∠ACB＝（45°＜＜90°），点D是上一点，连接CD交AB于E．（1）连接BD，若∠CDB＝40°，求的大小；（2）如图2，若点B恰好是中点，求证：；（3）如图3，将CD分别沿BC、AC翻折到CM、CN，连接MN，若CD为直径，请问是否为定值，若是请求出这个值，若不是，请说明理由；16．（2023·广东深圳·二模）新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”．如：一次函数，无论值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的“永恒点”．【初步理解】一次函数的定点的坐标是__________；【理解应用】二次函数落在轴负半轴的定点的坐标是__________，落在轴正半轴的定点的坐标是__________；【知识迁移】点为抛物线的顶点，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．17．（2023·广东深圳·二模）在平行四边形中，，，点为平面内一点，且．(1)若，①如图1，当点在上时，连接，作交于点，连接、，求证：为等边三角形；②如图2，连接，作，作于点，连接，当点在线段上时，求的长度；(2)如图3，连接，若，为边上一点（不与、重合），连接，以为边作，且，，作的角平分线，与交于点，连接，点在运动的过程中，的最大值与最小值的差为__________．18．（2023·广东深圳·一模）在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接．(1)将射线绕点顺时针旋转，交直线于点．①依题意补全图1；②小深通过观察、实验，发现线段存在以下数量关系：的平方和等于的平方．小深把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，要证的关系，只需证的关系．想法2：将沿翻折，得到，要证的关系，只需证的关系．…请你参考上面的想法，用等式表示线段的数量关系并证明；（一种方法即可）(2)如图2，若将直线绕点B顺时针旋转，交直线于点．若正方形边长为，，求的长．19．（2023·广东深圳·二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度；(2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：；(3)如图3，已知，若，直接写出的最小值．20．（22-23九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，已知：内接于圆O，，连接并延长，交于点D．(1)求证：(2)如图2，过点B作于点E，交圆O于点F，交于点G，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接DE，，，求DE的长．21．（2023·广东深圳·模拟预测）在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点，且、、三点共线，，连接，是的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？

【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以是中点入手，如图2，通过延长与相交于点，证明，得到，随后通过得，即，又，所以且．(1)请结合小颖的证明思路利用结论填空：当，时，___________；___________．【类比探究】(2)如图3，若将绕点逆时针旋转度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，请写出证明过程，如果不成立，请说明理由．【拓展延伸】(3)若将绕点逆时针旋转度（），当时，请直接写出旋转角的度数为___________．22．（2023·广东深圳·一模）过四边形的顶点A作射线，P为射线上一点，连接．将绕点A顺时针方向旋转至，记旋转角，连接．(1)如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形是正方形，且．无论点P在何处，总有，请证明这个结论．(2)如图2，如果四边形是菱形，，，连接．当，时，求的长；(3)如图3，如果四边形是矩形，，，平分，．在射线上截取，使得．当是直角三角形时，请直接写出的长．23．（2024·广东深圳·一模）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），科研人员测量出小钢球离地面高度（米）与其运动时间（秒）的几组数据如下表：运动时间（秒）离地面高度（米）(1)在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接：科研人员发现，小钢球离地面高度（米）与其运动时间（秒）成二次函数关系，请求出关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．(2)在弹射小钢球的同一时刻，无人机开始保持匀速竖直上升，无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系式为．在小钢球运动过程中，当无人机高度不大于小钢球高度时，无人机可以采集到某项相关性能数据，则能采集到该性能数据的时长为______秒；弹射器间隔秒弹射第二枚小钢球，其飞行路径视为同一条抛物线．当两枚小钢球处于同一高度时，求此时无人机离地面的高度．24．（2024·广东深圳·二模）（1）问题呈现：如图1，和都是直角三角形，，且．连接，，求的值．（2）类比探究：如图2，是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，延长交于点，设，求的长；（3）拓展提升：如图3，在等边中，，是边上的中线，点从点移动到点，连接，以为边长，在的上方作等边，求点经过的路径长．25．（2023·广东深圳·一模）在矩形中，．点是直线上的一点，点是直线上的一点，且满足，连接交于点．

(1)；(2)如图，当点在上，点在线段的延长线上时，①求证：；②求证：；(3)如图2，当点在的延长线上，点在线段上时，与相交于点．①这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论；②当，时，请直接写出的长．26．（2023·广东深圳·一模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？

(1)数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，是的外角，（填“”，“”或“”），（填“”，“”或“”）；(2)如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接、，请你判断与的数量关系，并说明理由；(3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）27．（2023·广东深圳·三模）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．

(1)操作判断：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，过M作交、、于点E、F、N，连接并延长交于点Q，连接，如图①，当E为中点时，是___________三角形，___________；(2)迁移探究：如图②，若，且，求正方形的边长．(3)拓展应用：如图③，若（），直接写出的值为___________．28．（2023·广东深圳·模拟预测）小明同学在探究函数的图象和性质时经历以下几个学习过程：（I）列表（完成以下表格）．x…－2－10123456……15800315……15800315…（II）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．（Ⅲ）根据图象解决以下问题：（1）观察图象：函数的图象可由函数的图象如何变化得到？答：．（2）探究发现直线与函数的图象交于点E，F，，，则不等式的解集是______．（3）设函数的图象与x轴交于A，B两点（B位于A的右侧），与y轴交于点C．①求直线的解析式；②探究应用：将直线沿y轴平移m个单位长度后与函数的图象恰好有3个交点，求此时m的值．29．（2024·广东深圳·一模）项目学习主题：设计遮阳篷紊材1武汉是我国火炉城市之一，夏季高温多雨，日照时间长，平均年日照时数2000小时左右，大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳篷．北半球在一年中，冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最大．素材2图1是武汉市区一家商店，大门朝南，设计了遮阳篷．图2是其示意图，设计了垂直于墙面的遮阳䇰（横截面为直角）．表示大门高度．夏至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的最大夹角为；冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的最小夹角为．任务1如图2，设素材2中，米，米，夏至正午太阳光与地面夹角为α，冬至正午太阳光与地面夹角为β，设遮阳篷为直角．遮阳篷要满足两个条件既让夏天的阳光刚好不射入室内；又能让冬天的太阳光刚好全部射入室内．（1）在中，用含β、m的式子表示遮阳篷高的长：______．（2）在中，用含α、h、m的式子表示遮阳篷高CB的长：___．（3）用含α、β、h的式子表示遮阳篷CD的长：_________．任务2武汉冬至日正午太阳光与地平面的夹角是，夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．若素材2中的商店门高为3米，还要求夏天正午时刻，门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据：、、；，，．任务3在任务1，2的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能，所以考虑遮阳篷往下倾斜，如图4，即把遮阳篷改造为横截面如的样子，与水平面夹角为，那么遮阳篷的最小宽度约是___________．（精确到米）参考数据：，，．30．（2024·广东深圳·一模）在中，，点D为边上一动点，，，连接，．（1）问题发现：如图1，．若，则，；（2）类比探究：如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由；（3）拓展应用：如图3，点E为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点O为正方形的中心，若，请直接写出线段EF的长．31．（2024·广东深圳·一模）【项目式学习】【项目主题】如何调整电梯球、落叶球的发球方向.【项目素材】素材一，如图1是某足球场的一部分，球门宽，高，小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分．素材二，如图，当足球运动到最高点Q时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．【项目任务】任务一：足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此时足球能否入网？任务二：改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？上述任务1、任务2中球落在门柱边线视同球入网；根据以上素材，探索完成任务.32．（2024·陕西西安·一模）问题提出：（1）如图①，在中，点，分别是，的中点，若，则的长为__________．问题探究：（2）如图②，在正方形中，，点为上的靠近点的三等分点，点为上的动点，将折叠，点的对应点为点，求的最小值．问题解决：（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心，已知，，，，点处为参观入口，的中点处规划为“优秀”作品展台，求点与点之间的最小距离．33．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段．（1）【问题情景】：如图（1），正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转90°得到，连接，求的度数．以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，①小聪：过点作的延长线的垂线；②小明：在上截取，使得；请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程．（2）【类比探究】：如图（2）点是菱形边上一点（不与点、重合），，将绕点顺时针旋转得到，使得（），则的度数为______（用含的代数式表示）（3）【学以致用】：如图（3），在（2）的条件下，连结，与相交于点，当时，若，求的值．34．（2024·广东深圳·一模）综合与探究【问题背景】北师大版数学八年级下册P89第12题（以下图片框内）．【初步探究】（1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，，，．求证：．【类比探究】（2）如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是，上的点，且．连接，，，若，请直接写出的长．【深入探究】（3）如图3，D，P是等边外两点，连接并取的中点M，且，．试猜想与的数量关系，并证明你的结论．【拓展应用】（4）如图4，在四边形中，，，，，，请直接写出的长．35．（2023·重庆·中考真题）如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，求证：；(2)如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：；(3)如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值．36．（2023·重庆·中考真题）在中，，，点为线段上一动点，连接．

(1)如图1，若，，求线段的长．(2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到．连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．37．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；

(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．

38．（2023·广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，①若，过作交于点，求证：；②若时，则______．

（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．

（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．

39．（2022·广东深圳·中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．40．（2023·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．41．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．42．（2022·湖北武汉·中考真题）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．运动时间01234运动速度109.598.58运动距离09.751927.7536小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．(1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；(3)若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．43．（2023·广东深圳·二模）【定义1】如图1所示，像这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角；【定义2】站在某一位置观察测物体时，视线范围所成的角度称为视角，如图2，在M和N点对矩形观测，会有不同的视角．(1)【判断】如图3，连接，_____．（，，）(2)【问题解决】如图4，在平面直角坐标系中，，，直线，P为直线l上一点，连接，求的最大值．(3)【拓展应用】学校计划组织学生春游，一条北偏东走向的路上经过紫色大厦时，小明发现在观察紫色大厦时的最大视角为，小明认为，可以通过将公路和建筑物放在如图所示的平面直角坐标系中，可以计算出此时公路距离紫色大厦的最近距离的长度．请你协助小明完成计算，直接写出答案．

44．（2022·江苏淮安·中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．(1)【观察发现】与的位置关系是______；(2)【思考表达】连接，判断与是否相等，并说明理由；(3)如图（2），延长交于点，连接，请探究的度数，并说明理由；(4)【综合运用】如图（3），当时，连接，延长交于点，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．45．（2024·广东深圳·一模）综合与应用为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线的部分图象，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者A的水平距离米处，绳子刚好经过她的头顶．

【阅读理解】（1）求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围）【问题解决】（2）体育龙老师身高米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由；（3）若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最多可供几人齐跳.46．（2022·浙江温州·中考真题）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．47．（2023·广东深圳·二模）在正方形中，点是对角线上的一点，且，将线段绕着点顺时针旋转至，记旋转角为，连接、，并以为斜边在其上方作，连接．

(1)特例探究：如图1，当，时，线段与的数量关系为___________；(2)问题探究：如图2所示，在旋转的过程中，①（1）中的结论是否依然成立，若成立，请说明理由；②当，时，若，求的长度；(3)拓展提升：若正方形改为矩形，且，其它条件不变，在旋转的过程中，当、、三点共线时，如图3所示，若，，直接写出的长度．（用含的式子表示）48．（2023·广东深圳·二模）（1）如图，在正方形中，、分别为、边上的点且，延长至使得，延长交于点，求证：；（2）如图，在矩形中，，，将绕点顺时针旋转至，且点落在上，求的值；（3）如图，在四边形中，，，，，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．

49．（2023·北京海淀·模拟预测）如图，矩形的顶点分别在轴，轴上，点坐标是为边上一点，将矩形沿折叠，点落在轴上的点处，的延长线与轴相交于点(1)如图，求点的坐标；(2)如图，若是上一动点，交于交于，设，求与之间的函数关系式；(3)在的条件下，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由50．（2023·广东深圳·三模）在四边形中，E是上一点，连接，将沿翻折得到，落在对角线上．将绕点A旋转，使得落在直线上，点C的对应点为M，点E的对应点为N．(1)【特例探究】如图1，数学兴趣小组发现，当四边形是正方形，且旋转角小于时，会有，请你证明这个结论；(2)【再探特例】如图2，当四边形是菱形，且旋转角小于时，若，．连接交于点．求的长；

图1

图2(3)【拓展应用】如图3，当四边形是矩形时，当到点、点的距离，两段距离比为时，请直接写出的值．

图3

备用图51．（2023·四川成都·三模）已知矩形，点E、F分别在、边上运动，连接、，记、交于点P．-

(1)如图1，若，，，求线段的长度；(2)如图2，若，，求；(3)如图3，连接，若，，，求的长度．52．（2021·山西·中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．53．（20-21九年级上·辽宁沈阳·期末）（1）如图1，正方形和正方形（其中），连接交于点H，请直接写出线段与的数量关系，位置关系；（2）如图2，矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，连接交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，直线交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长．54．（2023·陕西西安·模拟预测）如图①，已知线段与直线l，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，易，可知点P对线段的视角最大．

(1)问题提出如图②，已知的外接圆为，与相切于点P，交的延长线于点Q．①请判断与的大小关系，并说明理由．②若，，求的长．(2)问题解决如图③，一大型游乐场入口设在道路边上，在“雪亮工程”中，为了加强安全管理，结合现实情况，相关部门准备在与地面道路夹角为的射线方向上（位于垂直于地面的平面内）确定一个位置C，并架设斜杆，在斜杆的中点P处安装一摄像头，对入口实施监控（其中点A、B、D、P、C、M、N在同一平面内）．已知米，米，调研发现，当最大时监控效果最好，请问在射线上是否存在一点C，使得达到最大？若存在，请确定点C在上的位置及斜杆的长度；若不存在，请说明理由．55．（2023·广东深圳·三模）（1）【问题情境】如图，正方形中，、分别是边和对角线上的点，．易证（不需写出证明过程），此时的值是______；（直接填结果）

（2）【问题解决】如图，矩形中，，，、分别是边和对角线上的点，，，求的长；

（3）【变式探究】如图，菱形中，，对角线，交的延长线于点，、分别是线段和上的点，，，求的长．

（4）【拓展延伸】如图，点为等腰的斜边的中点，，，连接，作，其中，，连接，求四边形的面积的最大值为______．（直接写出结果）

56．（2024·广东深圳·二模）【项目式学习】项目主题：设计落地窗的遮阳篷项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务．方案1：直角形遮阳篷如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点C在的延长线上(1)若，，则支撑杆m．(2)小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为a，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与平行)．请求出图2中的长度．方案2：抛物线形遮阳篷(3)如图3，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点F为抛物线的顶点，段可伸缩)，且，，的长保持不变．若以C为原点，方向为x轴，方向为y轴．①求该二次函数的表达式．②若某时刻太阳光与水平地面夹角的正切值使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点D上升的高度最小值(即点到的距离)57．（2023·广东深圳·一模）【探究发现】（1）如图①所示，在等腰直角中，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，则有下列命题：①；②；③；请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程；【类比迁移】（2）如图②所示，在等腰中，，，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，若，求的值；【拓展应用】（3）在等腰中，，，，点D，O分别为射线，上一点，且，延长交射线于点E，当为等腰三角形时，请直接写出的长（用a，b表示）．58．（2023·广东深圳·二模）课本呈现：如图1，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角（）有关．当球员在，处射门时，则有张角．某数学小组由此得到启发，探究当球员在球门同侧的直线射门时的最大张角．问题探究：（1）如图2，小明探究发现，若过、两点的动圆与直线相交于点、，当球员在处射门时，则有．小明证明过程如下：设直线交圆于点，连接，则∵___________∴___________∴（2）如图3，小红继续探究发现，若过、两点的动圆与直线相切于点，当球员在处射门时，则有，你同意吗？请你说明理由．问题应用：如图4，若，米，是中点，球员在射线上的点射门时的最大张角为，则的长度为___________米．问题迁移：如图5，在射门游戏中球门，是球场边线，，是直角，．若球员沿带球前进，记足球所在的位置为点，求的最大度数．（参考数据：，，，，．）59．（22-23九年级下·广东深圳·阶段练习）【问题初探】（1）如图1，等腰中，，点为边一点，以为腰向下作等腰，．连接，，点为的中点，连接．猜想并证明线段与的数量关系和位置关系．【深入探究】（2）在（1）的条件下，如图2，将等腰绕点旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【拓展迁移】（3）如图3，等腰中，，．在中，，．连接，，点为的中点，连接．绕点旋转过程中，①线段与的数量关系为：__________；②若，，当点在等腰内部且的度数最大时，线段的长度为__________．60．（2023·广东深圳·二模）【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率．如图1，在中，，顶角的张率记作底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的张率也是相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义的张率，例如，，，请根据材料，完成以下问题：如图2，是线段上的一动点（不与点，重合），点，分别是线段，的中点，以，，为边分别在的同侧作等边三角形，，，连接和．(1)【理解应用】①若等边三角形，，的边长分别为，，，则，，，三者之间的关系为；②；(2)【猜想证明】如图3，连接，，猜想的值是多少，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图4，连接，，若，，则的周长是多少？此时的长为多少？（可直接写出上述两个结果）61．（2023·广东深圳·二模）【综合与实践】我国海域的岛屿资源相当丰富，总面积达多平方公里，有人居住的岛屿达个．位于北部湾的某小岛，外形酷似橄榄球，如图1所示．如图2所示，现把海岸线近似看作直线m，小岛面对海岸线一侧的外缘近似看作，经测量，的长可近似为海里，它所对的圆心角的大小可近似为．(注：在m上的正投影为图中线段，点O在m上的正投影落在线段上．)(1)求的半径r；(2)因该岛四面环海，淡水资源缺乏，为解决岛上居民饮用淡水难的问题，拟在海岸线上，建造一个淡水补给站，向岛上居民输送淡水．为节约运输成本，要求补给站到小岛外缘的距离最近(即要求补给站与上的任意一点，两点之间的距离取得最小值)；请你依据所学几何知识，在图2中画出补给站位置及最短运输路线(保留画图痕迹，并做必要标记与注明；不限于尺规作图，不要求证明)．(3)如图3，若测得长为海里，长为海里，试求出（2）中的最小距离．62．（2023·广东深圳·模拟预测）“同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题．(1)【知识理解】如图1，圆的内接四边形中，，，①________；________（填“”，“”，“”）②将点绕点顺时针旋转得到点，则线段的数量关系为________．(2)【知识应用】如图2，是圆的直径，，猜想的数量关系，并证明；(3)【知识拓展】如图3，已知，分别是射线上的两个动点，以为边往外构造等边，点在内部，若，直接写出四边形面积的取值范围．63．（2023·湖北省直辖县级单位·一模）【基础巩固】(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，，，交于点G，求证：．【尝试应用】(2)如图2，在（1）的条件下，连结．若，求的值．【拓展提高】(3)如图3，在中，，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．64．（2023·广东深圳·二模）如图1，对于平面上小于或等于的，我们给出如下定义：若点P在的内部或边上，作于点，于点F，则将称为点P与的“点角距”，记作．如图2，在平面直角坐标系中，x、y正半轴所组成的角记为．(1)已知点、点，则，．(2)若点P为内部或边上的动点，且满足，在图2中画出点P运动所形成的图形．(3)如图3，在平面直角坐标系中，射线的函数关系式为．抛物线经过，与射线交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当取最大值时点Q的坐标．65．（2023·广东深圳·模拟预测）【问题情境】（1）爱探究的小明在做数学题时遇到这样一个问题：如图，是的直径，是上的一动点，若，则面积的最大值为．请帮小明直接填空；【模型归纳】（2）小明在完成填空后，对上面问题中模型进行如下归纳：如图，是的弦，是优弧上的一动点，过点作于点，当且仅当经过圆心时，最大．请帮助小明完成这个结论的证明；【模型应用】（3）如图是四边形休闲区域设计示意图，已知，，休闲区域内原有一条笔直小路的长为米，现为了市民在该区域内散步方便，准备再修一条长为米的小路，满足点在边上，点在小路上．按设计要求需要给图中阴影区域（即与四边形，小路宽度忽略不计）种植花卉，为了节约成本且满足设计需求，阴影部分的面积要尽可能的小．请问，是否存在符合设计要求的方案？若存在，请直接写出阴影部分面积的最小值；若不存在，请说明理由．66．（2024·广东深圳·二模）在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．【操作探究】(1)如图1，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到，当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与交于点H．

①猜想：_________②证明：．【问题解决】(2)在（1）的条件下，已知，，求的长．【拓展提升】(3)如图2，在菱形中，，，将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点N，请直接写出的长．

67．（2024·广东深圳·一模）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．

(1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；(2)探究证明：把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．68．（2020·辽宁鞍山·中考真题）在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F．（1）当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．①如图1，若点E在线段上，则线段与之间的数量关系是________，位置关系是_________；②如图2，若点E在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段上，以和为邻边作，M是中点，连接，，，求的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．（1）；（2）12米；（3）．【分析】（1）根据题意可知：点A（0，4）点B（4，8），利用待定系数法代入抛物线即可求解；（2）高度差为1米可得可得方程，由此即可求解；（3）由抛物线可知坡顶坐标为，此时即当时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过米，即，由此即可求出b的取值范围．【详解】解：（1）根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线得，，解得：，∴抛物线的函数解析式；（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为米，∴，解得：（不合题意，舍去），，故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为米；（3）∵点A（0，4），∴抛物线，∵抛物线，∴坡顶坐标为，∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，∴，解得：．【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．2．（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）证明即可；（2）过B作于E，证明，进而得到，即可得出结论；（3）过C作交延长线于E，过D作于F，于G，设，根据等腰三角形的性质结合勾股定理得到：；证明四边形为矩形，进而推出为等腰直角三角形，勾股定理得到，联立两个等式，求出的值即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∴；（2）证明：过B作于E，如图：∵，∴，∵的面积为6，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（3）解：过C作交延长线于E，过D作于F，于G，如图：设，∵，∴x，由勾股定理得：①，∵的面积为，∴，∵，∴四边形为矩形，∴，∴，又∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得：，整理得：②，将①代入②中得：，∴③，将③代入①得：，解得：或，∵x，∴，即．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关判定和性质，是解题的关键．3．（1），．（2）①见解析；②【分析】（1）延长交的延长线于，根据题意证明出，得到，，进而求解即可；（2）①延长、相交于点，根据题意证明出，得到，，然后由矩形的性质得到，进而求解即可；②设，根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）结论：，．

理由：延长交的延长线于，正方形，，，正方形，，，，在和中，，，，，，，故答案为：，；（2）①证明：如图2中，延长、相交于点．

四边形、四边形都是矩形，，，，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，．②设，，，，当时，面积最小，最小面积是，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是在判断三角形全等和相似时出现“手拉手”模型证明对应角相等及利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值．4．(1)(2)①；②0(3)①见解析；②【分析】（1）由函数图象及方程可得当时，自变量x的值，则可看作直线与函数的图象交点问题，进而问题可求解；（2）①由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；②由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，即可求解；（2）①由函数图象平移可直接进行求解；②结合函数图象可求解x的范围问题．【详解】（1）解：由题意及图象可看作直线与函数的图象交点问题，如图所示：∴方程的解为；故答案为：；（2）解：①由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，如图所示：∴由图象可得若方程有四个实数根，则a的取值范围是；故答案为：；②由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，假设方程有四个实数根，从小到大分别为、、、，∴，∴；故答案为：0（3）解：①由题意得：将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，则平移后的函数图象如图所示：；②由图象可得：当时，自变量x的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．5．(1)(2)发出后的排球能越过球网，不会出界，理由见解析(3)m的最大值与最小值的差为6【分析】本题考查二次函数与实际问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质．（1）根据抛物线L的最高点设抛物线L的函数解析式为，把点代入即可求得a的值，从而解答；（2）把代入抛物线解析式中，求得排球经过球网时的高度，从而根据球网高度即可判断排球能否越过球网；把代入抛物线解析式中，求得点H的坐标，根据边界点K的位置即可判断排球是否出界；（3）根据抛物线的形状与抛物线L相同，且最大高度为．可设抛物线的解析式为：，把点代入可求得抛物线解析式为，从而得到排球反弹后排球从最高处开始下落，护栏在距离原点处，就会被排球砸到，即，在排球着地点A处砸到护栏，把代入解析式，求解可得到，从而可解答．【详解】（1）∵排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为，∴抛物线L的顶点坐标为，设抛物线L的解析式为：，∵抛物线L过点，∴，解得：，∴抛物线L的函数表达式为；（2）∵当时，，∴发出后的排球能越过球网．∵当时，，解得：，舍，∴点H的坐标为，∵∴不会出界．综上，发出后的排球能越过球网，不会出界；（3）∵抛物线的形状与抛物线L相同，且最大高度为．设抛物线的解析式为：，∵抛物线过点，∴．解得：（不合题意，舍去），，∴，∴抛物线的最高点坐标为∵排球从最高处开始下落，护栏在距离原点24m处，就会被排球砸到．∴；∵排球落地时，砸到点A．把代入函数，得，解得：（不合题意，舍去），．∴．∴m的最大值与最小值的差为：．6．(1)(2)(3)(4)不改变，【分析】（1）证明可得，同理再由可得结论；（2）由（1）得，，，所以，进而可得结论；（3）把绕点顺时针旋转可得，证明求得的周长为6，设则在用勾股定理列方程求出即可；（4）连接，过点D作，，证明，可得，由等腰三角形的性质可得，进一步得出的周长,从而可得结论【详解】（1）平分，，在和中，,；同理可得，，；（2）由（1）得：，，，∴（3）将顺时针旋转得到，从而有．∴，，，∵四边形是正方形∴，，∴∴B、P、F三点共线∵∴∴即∵，，∴

∴设，，，∴

解得：即（4）的周长不改变

如图，连接，过点D作，，∵，，D为边上中点∴，，∴，在中，，∴，又∴，∴∴

∵，∴∴∵且∴∴，

将绕着点D旋转至，由背景知识可得：的周长【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键7．(1)(2)(3)见解析，【分析】（1）证明，推出，利用等腰直角三角形的性质得到；设，利用勾股定理分别表示出和，即可求解；（2）证明四边形是平行四边形，推出与互相平分，证明四边形是矩形，得到，设，则，通过计算即可求解；（3）延长至点H，使，连接，再延长交于点K，证明，推出，得到，由菱形相似，得到，推出，得到，再证明，据此即可得出．【详解】（1）解：如图1中，延长交的延长线于H．

∵四边形，四边形都是正方形，∴，∴∵，∴，∴，∵，∴∵，∴连接，设，则，∵，∴．∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：（1）中的值有变化．理由：如图2中，连接交于点O，连接交于．

∵，∴，∵，∴O，G，F共线，∵∴∵，，∴∴四边形是平行四边形，∴与互相平分，∵∴点M在直线上，∵，∴四边形是矩形．∴，∵，∴，设，则，∴∵∴；（3）解：延长至点H，使，连接，再延长交于点K，

∵，∴∴，∴，，∵，∴∵菱形菱形，∴，∵，∴，∴，∴∵，∴∴，∴，∵∴∵且，∴且∴是直角三角形且．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，相似多边形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．8．(1)，(2)①，②或【分析】（1）根据定义可得，勾股定理求得，即可求解；（2）①根据题意求得，根据新定义得出，设，)则，解方程即可求解，当)时，，应舍去；②延长交于，连接，作于．设，，证明，得出，即，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵点是，的三倍直角点，∴，由勾股定理得，，故答案是，∵点是点，的三倍锐角点，∴，且，由勾股定理得，故答案是：（2）①当时，∴∴，，∵点是，的三倍锐角点，∴，设，∴∴，当，∴当，∴当时，，应舍去．综上所述：②如图4，

延长交于，连接，∵点是的三倍直角点，∴，∴是的直径，∴，作于．设，∴，∴=∵∴∵，∴，∴∴∵，∴，当，当，∴点P的坐标是或．【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，直角所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握新定义是解题的关键．9．(1)等腰直角三角形，；(2)①成立，理由见解析；②存在，．【分析】（1）如图，连接，当时，利用正方形及等腰三角形性质可求得，，易得是等边三角形即即可求出结合即可证得是等腰直角三角形，在与中，求得可证得即可得到；（2）①如图连接，当时，求得，从而得到即可证明是等腰直角三角形，在与中求得可证得即可得到；②如图，当时，由①可证得，及，，易证从而易证得是等腰直角三角形得，再证得，在中，，由①可知得，即，则有在中勾股定理解可求解．【详解】（1）解：如图，连接，当时，，，，是等边三角形，，，，，，是等腰直角三角形，，，，在中，，，同理，在中，，，，，故答案为：等腰直角三角形，；（2）①成立，理由如下，如图连接，当时，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，在中，，，同理，在中，，，，，故结论成立；②如图，当时，，，，由①可知，，，，同理可证，，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，在中，，由①可知，，，，在中，，，．【点睛】本题考查了正方形的性质，与三角形有关的角的计算，相似三角形的判定和性质的应用，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定和性质的应用．10．(1)见详解(2)(3)【分析】（1）可证得，，从而证明结论；（2）过点A分别作轴，轴，垂足分别为E、F，由题意易得是正方形，同理（1）可知，连接，过点D作轴于点G，然后可得，，进而根据k的几何意义可进行求解；（3）由题意易证，，则有，连接，交于点H，然后可得，进而可得，最后问题可求解．【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，，，，即：，是的外角，，，；（2）解：过点A分别作轴，轴，垂足分别为E、F，如图所示：∵点A坐标为，∴，∴四边形是正方形，∴，∵，即，∴同理（1）可得，∴，即，∴，连接，过点D作轴于点G，∴，∴，∴，∵，∴，，设，则有，∴，∴，解得：；（3）解：四边形是菱形，，，，即：，，，是的外角，，，,，，∵，，，∵，，连接，交于点H，如图所示：∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴，即，∵，，，故答案为．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、正方形的性质、菱形的性质、反比例函数的图像与性质及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定、正方形的性质、菱形的性质、反比例函数的图像与性质及三角函数是解题的关键．11．（1）；（2）作图见解析，，；（3）存在，【分析】（1）先设一次函数共根点为共根函数经过点，设一次函数共根点为的共根函数为，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据抛物线的对称性，得出，然后根据描点法画出图象，以及平移后的图形，根据图象可知共根轴为，进而求得共根点坐标是；（3）平行于轴，设与这一对共根函数图象相交的能构成平行四边形的两点分别为，当为平行四边形时，则，结合图形即可求解．【详解】解：（1）如图所示，由可得，当时，，当时，，点关于对称的点的坐标为设一次函数共根点为的共根函数为，则解得：∴一次函数共根点为的共根函数为；故答案为：．（2）解：如图所示，根据对称性可得列表如下，描点，连线如图所示，将向右平移1个单位得到，根据图象可知共根轴为，由，令，解得：∴这对共根函数的共根点坐标是，故答案为：，．（3）根据（2）可知当时，或，设∴,∵平行于轴，设与这一对共根函数图象相交的能构成平行四边形的两点分别为，当为平行四边形时，则，根据题意，，解得：，；解得：，如图所示，根据函数图象可知，只有一种情形满足题意，即解得：【点睛】本题考查了新定义，待定系数法求解析式，轴对称的性质，二次函数的平移，平行四边形的性质，画二次函数图象，数形结合是解题的关键．12．(1)，(2)证明见详解(3)①；②【分析】（1）由是关于的对称点，可得沿翻折后可得到，可求，，再由三线合一定理得到，，求出的度数，即可求出答案；（2）过作，交的延长线于，在中，可求，再证得到，则，在中，，由此即可证明结论；（3）连接交于，连接，可证、、、四点共圆，为圆心，在上，再证，可求，，从而可求，在中，，即可求解；②过作，交于，的运动轨迹是以为圆心，为半径的，与交于，可得，当取最大时，最大，所以当与重合时，即，最大，即可求解.【详解】（1）解：四边形是菱形，，，是关于的对称点，沿翻折后可得到，，，，是的中点，，，即，，∴．故答案：，．（2）证明：如图，过作，交的延长线于，

，四边形是菱形，，四边形是正方形，，，由（1）得：，，，在中，，；，

，，在和中，（），，．在中，，∴，∴

（3）解：①如图，连接交于，连接，

由（2）得：，，、、、四点共圆，为圆心，四边形是正方形，，在上，，是的中点，，

，，，，，，，，，，，

由（2）得：，，，，在中，，，，，由（1）折叠得：，．②如图，过作，交于，的运动轨迹是以为圆心，为半径的，与交于，

，，，当取最大时，最大，如图，当与重合时，即，最大，

，，，，故面积的最大值为.【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定及性质，对称和折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．13．(1)①见解析；②；(2)；见解析；(3)．【分析】（1）①由、结合可得四边形是矩形，再由即可得出；②由正方形性质知：、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接，只需证即可得；（3）证明，由相似三角形的性质得出，设，则，求出的值，则可得出答案．【详解】（1）解：①四边形是正方形，，，、，，四边形是矩形，，，四边形是正方形；②由①知四边形是正方形，，，，，，故答案为：；（2）解：连接，由旋转性质知，在和中，、，，，，线段与之间的数量关系为；（3）解：由（2）知，∵B、E、F三点在一条直线上，，，，、、三点共线，，，，，设，则，则由得，，则，，，，解得：，即，故答案为：．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．14．（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）根据正方形的性质证明三角形全等即可；（2）过点O作的平行线交于点E、交于点P，过点N作垂线交于点Q，构造相似三角形，对应边成比例求，然后根计算即可；（3）过点O作的垂线交于点H，用勾股定理求出，证、，结合与重叠部分的面积是的面积的，设列出方程求出m，根据勾股定理求出即可．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，，，，由旋转可知：，，，，；（2）解：如图2，过点O作的平行线交于点E、交于点P，过点N作垂线交于点Q，

∵四边形和四边形都是矩形，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如图，过点O作的垂线交于点H，

设，则，设，则，，，，，，，，四边形和四边形都是平行四边形，是直角三角形，，，，，，，，，，，，，设，则，，，，，与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，，，，，．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形、矩形、正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题关键．15．（1）70°；（2）见解析；（3）是定值，【分析】（1）由圆周角定理求出∠CAB=∠CDB=40°，由三角形内角和定理可得出答案；（2）证明△BCE∽△BAC，由相似三角形的性质得出，证明CB=CE，则可得出结论；（3）由折叠的性质可得出∠DCN=2∠DCA，∠DCM=2∠DCB，CN=CD=CM=2r，过点C作CQ⊥MN于点Q，得出MN=2NQ，∠NCQ=∠MCN=α，∠CQN=90°，连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，则∠ABP=90°，证明△ABP≌△NQC（AAS），由全等三角形的性质得出AB=NQ=MN，则可得出答案．【详解】解：（1）∵，∴∠CAB=∠CDB=40°，∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠ABC=∠ACB=α，∴α=×(180°−40°)=70°；（2）证明：∵点B是的中点，∴，∴∠DCB=∠A，∵∠ABC=∠CBE，∴△BCE∽△BAC，∴，∴BC2=BE•BA，∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠BEC=∠ACD+∠A，∠BCD=∠A，∴∠ABC=∠ACB=∠BEC，∴CB=CE，∴CE2=BE•BA；（3）是定值，．∵将CD分别沿BC、AC翻折得到CM、CN，∴∠DCN=2∠DCA，∠DCM=2∠DCB，CN=CD=CM=2r，∴∠MCN=2∠ACB=2α，如图3，过点C作CQ⊥MN于点Q，则MN=2NQ，∠NCQ=∠MCN=α，∠CQN=90°，连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，则∠ABP=90°，∵，∴∠P=∠ACB=∠NCQ=α，在△ABP和△NQC中，∴△ABP≌△NQC（AAS），∴AB=NQ=MN，∴，为定值．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．16．【初步理解】；【理解应用】，；【知识迁移】是，２【分析】【初步理解】解析式变形为，求解即可;【理解应用】由二次函数变形为，求解即可;【知识迁移】由题意可得：，，作辅助线如解析图，则，，，，，，构建相似三角形，找出比例关系即可；【详解】解：【初步理解】由一次函数变形为，，当时，无论值如何变化，故一次函数必过一定点．故答案为：．【理解应用】由二次函数变形为，，当时，无论值如何变化，当时，无论值如何变化，故二次函数必过定点，．所以二次函数落在轴负半轴的定点的坐标是，落在轴正半轴的定点的坐标是；故答案为：，．【知识迁移】由题意得∴，由上一小题得：，作轴交直线于点，作轴交直线于点，则，，，分别过点、作直线的垂线，垂足为、，则，，，，，∵，，即【点睛】本题主要考查了恒过定点的直线，抛物线以及相似三角形．本题主要理解新定义，构建相似三角形解题，有一定的难度．17．(1)①见解析；②或(2)【分析】（1）①由，得平行四边形是菱形，推出为等边三角形，得到，再证明得到，即可得到结论；②作于，则，由，，得到，推出，列得，由此求出，再分当落在左侧时，；当落在右侧时，；（2）作，且，连接，证明，得到，再证明，得到，根据，求出，利用两点之间线段最短，得，，即，由此得到当D、N、G在一条直线上时，取最大值是，取最小值是，计算可得两者之差．【详解】（1）①在平行四边形中，，平行四边形是菱形，平分，为等边三角形，在菱形中，则，为等边三角形．②作于，则在中，，在，，，∵，，当落在左侧时，当落在右侧时，综上，的长度是或；（2）如图，作，且，连接，在中，，，平分，∴，又∵，∴，∴又∵，∴∴∵，∴，∴，由两点之间线段最短，得，，∴，当D、N、G在一条直线上时，取最大值是，取最小值是，∴两者之差为故答案为：．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，正确理解各判定和性质是解题的关键．18．(1)①见解析；②，证明见解析(2)【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②想法1：过作，使，连接，由正方形的性质得出，，，证明，得出，证出，证明，得出，证出，在中，由勾股定理即可；想法2，证明，在在中，由勾股定理即可，进而即可得出结论；（2）过作，使，连接，由证得：，得出，再由证得：，得出，，证出，得出，在中，由勾股定理即可得得出，根据题意得出，代入结论，解方程即可求解．【详解】（1）解：①补全图形，如图1所示：②；理由如下：想法1：过作，使，连接，如图2所示：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，在中，，∴；想法2，如图所示，∵四边形是正方形，将沿翻折，得到，∴，，∵，∴∴∴在和中，，∴，∴，∴，在中，，∴；（2）解：如图所示，过作，使，连接，∵直线绕点顺时针旋转°，交直线于点，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，在中，，∴．∵正方形边长为，∴，∵，设，则∴解得：∴设，则，∵．∴，解得：∴．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．19．(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解；（2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长交于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决；（3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决．【详解】（1）解：∵，如图1，∴，E为的中点，，∴，∵，∴，在中，，∴；（2）证明：如图2，设射线与射线交于点M，由题可设，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，延长交于N，∴，过E作于P，则，在与中，

，∴，∴，过E作于Q，∴，∴四边形为矩形，∵，∴，∴，∴矩形为正方形，∴，∴，在与中，，

∴，∴，∵，∴；（3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边，∴，，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴，当B，F，M，N四点共线时，最小，即为线段BN的长度，如图4，过N作交其延长线于T，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的最小值为．【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是解决此问的关键．20．(1)见详解(2)见详解(3)【分析】（1）连接、，证明是线段的垂直平分线，问题得证；（2）先证明，进而证明，即可证明；（3）连接，先求出，，再证明，得到，设，则，分别得到，，，证明，得到，求出，从而得到，根据，即可求出．【详解】（1）证明：如图，连接、，∵，，∴点都在线段的垂直平分线上，∴是线段的垂直平分线，∴；（2）证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：如图，连接，∵，，∴是线段的垂直平分线，，∴，∵是线段的垂直平分线，∴