第五章分式与分式方程易错六大题型2023-2024学年北师大版数学八年级下册

分式与分式方程易错六大题型分式方程的题型中，有很多陷阱。可以先熟悉常见的六类易错题型，做题过程中，尽量避免错误.题型一．分式值为0时求值，忽略分母不为01．若分式的值为0，则x的值为（）A．-1 B．0 C．1 D．±12．若eq\f(|x|－1,x－1)的值为0，则x的值为()A．1B．0C．±1D．－13.若分式﹣1的值是正数、负数、0时，求x的取值范围．题型二．确定自变量取值范围时忽略分母不能为04.在函数y=1x+3+4−xx<4 B.x≥4且x≠−3 C.x>4 5.函数y=x+2x−1中自变量xA.x≥−2且x≠1 B.x≥−2 C.x≠1 D.−2≤x<16.当x取何值时，式子有意义？当x取什么数时，该式子值为零？题型三．求使分式值为整数时未知数的整数值7．若x取整数，则使分式的值为整数的x值有（）A.3个B.4个C.6个D.8个8.使分式的值为整数的整数x的值是_____________．9.若关于x的分式方程有整数解，m的值是___________．10.先化简分式，然后请你从-2、-1、0、1、2、3选取一个合适的x的值，使分式的值为一个整数．题型四．自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0先化简，再求值：（x2−2x+1x2−x+x2−412.先化简（1+2x−3）÷x2−1x2−6x+9，再从不等式组−2x<43x<2x+4的整数解中选一个合适的x的值代入求值．

13.先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x－2)＋\f(4,x2－4x＋4)))÷eq\f(x,x－2)，其中－1＜x≤2且x为整数．请你选一个合适的x题型五．解分式方程不验根导致易错14.解方程．①15.解方程．16.当a为何值时，关于x的方程会产生增根？题型六．分式方程无解与增根混淆不清17.当a为何值时，关于x的方程无解？18．已知关于x的方程x−4mx2−4A．m=12，m=−2 B．m=−12，m=219．关于x的分式方程无解，则字母a的值是（）A．a≠5且a≠0 B．a＝0 C．a＝5 D．a＝5或a＝0题型七、已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值20．若关于x的方程m−3x−1=1的解为正数，则A．m＞2 B．m＞2且m≠3 C．m＞4 D．m＞4且m≠521．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（）A． B．C．且 D．且22．若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣423．已知，关于x的分式方程＝1．（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1解为整数时，求b的值．24.当k的值为_________（填出一个值即可）时，方程只有一个实数根。题型八.未能准确确定不等式组的解集导致错误25．若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程4﹣有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．16 B．10 C．8 D．326．若关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3（x－2）>－2，,\f(a＋x,2)<x))有解，关于y的分式方程eq\f(ay－1,4－y)＋eq\f(3,y－4)＝－2有整数解，则符合条件的所有整数a的和为()A．0B．1C．2D．527．若整数a使关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2)≤\f(11＋x,3)，,4x－a>x＋1))有且只有45个整数解，且使关于y的方程eq\f(2y＋a＋2,y＋1)＋eq\f(60,1＋y)＝1的解为非正数，求整数a的值．参考答案：题型一．分式值为0时求值，忽略分母不为01．若分式的值为0，则x的值为（）A．-1 B．0 C．1 D．±1【答案】A【解答】由题意得：|x|−1＝0，∴x=1或-1，又∵x2−3x+2≠0，∴x≠1所以x＝-1，故答案为：A.2．若eq\f(|x|－1,x－1)的值为0，则x的值为()A．1B．0C．±1D．－1解：由题意得：|x|−1＝0，∴x=1或-1，又因为分母x-1≠0，所以∴x≠1所以x＝-1，故选D3.若分式﹣1的值是正数、负数、0时，求x的取值范围．解：当x＞2或x＜﹣2时，分式的值为正数；当﹣2＜x＜2时，分式的值为负数；当x=2时，分式的值为0．题型二．确定自变量取值范围时忽略分母不能为04.在函数y=1x+3+4−x中，自变量x<4 B.x≥4且x≠−3 C.x>4 【答案】D.解：由题意得4−x≥0且x+3≠0，∴x≤4且x≠−3，5.函数y=x+2x−1中自变量x的取值范围是（）A.x≥−2且x≠1 B.x≥−2 C.x≠1 D.−2≤x<1【答案】A解：由题意得x+2≥0且x-1≠0，∴x≥−2且x≠1，故选A

6.当x取何值时，式子有意义？当x取什么数时，该式子值为零？解：由得或所以，当和时，原分式有意义由分子得当时，分母当时，分母，原分式无意义。所以当时，式子的值为零题型三．求使分式值为整数时未知数的整数值7．若x取整数，则使分式的值为整数的x值有（）A.3个B.4个C.6个D.8个解：==3+当2x﹣1=±6或±3或±2或±1时，是整数，即原式是整数．当2x﹣1=±6或±2时，x的值不是整数，当等于±3或±1是满足条件．故使分式的值为整数的x值有4个，是2，0和±1．故选B．8.使分式的值为整数的整数x的值是_____________．解：若使分式表示一个整数，则x﹣1一定是2的约数，2的约数有±2，±1共4个，当x﹣1=±2时，x=﹣1或3；当x﹣1=±1时，x=0或2；经检验，x=2、0、3、﹣1均可使分式有意义；故答案为：2或0或3或﹣1．9.若关于x的分式方程有整数解，m的值是___________．解：，∴mx﹣1﹣1=2（x﹣2），∴x=﹣，而分式方程有整数解，∴m﹣2=1，m﹣2=﹣1，m﹣2=2，m﹣2=﹣2，但是m﹣2=﹣1时，x=2，是方式方程的增根，不合题意，舍去∴m﹣2=1，m﹣2=2，m﹣2=﹣2，∴m=4，m=3，m=0．故答案为：m=4，m=3，m=0．10.先化简分式，然后请你从-2、-1、0、1、2、3选取一个合适的x的值，使分式的值为一个整数．解：==∵x不能等于-1、1、0∴x=3时，分式=1．题型四．自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为011.先化简，再求值：（x2−2x+1x2−x+x2−4x2+2x）÷1x，且x为满足-3＜x＜2的整数．

【答案】解：原式=[(x−1)2x(x−1)+(x−2)(x+2)x(x+2)]÷1x

=（x−1x+x−2x）•x

=x-1+x-2

=2x-3，

由于x为满足-3＜x＜2的整数．x≠0且x≠1且x≠-2，

所以x=-1，

原式=-2-3=-5.

12.先化简（1+2x−3）÷x2−1x2−6x+9，再从不等式组−2x<43x<2x+4的整数解中选一个合适的x的值代入求值．

解：原式=x−3+2x−3×(x−3)2(x+1)(x−1)=x−3x+1，

解不等式组−2x<43x<2x+4得-2＜x＜4，

∴其整数解为-1，0，1，2，3，

∵要使原分式有意义，

∴x≠3且x≠±1，

∴x可取0，2．

∴当x=0

时，原式=-3，

（或当x=2

时，原式=-13）．

13.先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x－2)＋\f解：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x－2)＋\f(4,x2－4x＋4)))÷eq\f(x,x－2)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（x＋2）（x－2）,（x－2）2)＋\f(4,（x－2）2)))·eq\f(x－2,x)＝eq\f(x2,（x－2）2)·eq\f(x－2,x)＝eq\f(x,x－2).∵－1＜x≤2且x为整数，∴x＝0，1，2，∵当x≠0且x≠2时，分式有意义．∴当x＝1时，原式＝eq\f(1,1－2)＝－1.题型五．解分式方程不验根导致易错14.解方程．①解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．15.解方程．解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）．整理得0x＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．16.当a为何值时，关于x的方程会产生增根？解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．题型六．分式方程无解与增根混淆不清17.当a为何值时，关于x的方程无解？解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10若原方程无解，则有两种情形：（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．18．已知关于x的方程x−4mx2−4A．m=12，m=−2 B．m=−12，m=2解：关于x的方程x−4mxx﹣4m+m（x+2）＝x﹣2，整理得，mx＝2m﹣2，由于关于x的方程x−4mx所以m＝0，或产生增根x＝±2，当x＝2时，m的值不存在，当x＝﹣2时，m=1因此m＝0或m=1故选：D．19．关于x的分式方程无解，则字母a的值是（）A．a≠5且a≠0 B．a＝0 C．a＝5 D．a＝5或a＝0解：，去分母得：5（x−2）＝ax，∴（5−a）x＝10，∵关于x的分式方程程无解，∴5−a＝0，x＝0或x＝2，即a＝5，2（5﹣a）＝10，解得a＝0，∴a的值为5或0．故选：D．题型七、已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值20．若关于x的方程m−3x−1=1的解为正数，则A．m＞2 B．m＞2且m≠3 C．m＞4 D．m＞4且m≠5解：解关于x的方程m−3x−1=1得，x＝又因为关于x的方程m−3x−1所以m﹣2＞0，即m＞2，而x＝1是分式方程的增根，因此m﹣2≠1，即m≠3，因此m的取值范围为m＞2且m≠3，故选：B．21．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（）A． B．C．且 D．且【答案】C解：∵

解得：

∵分式方程的解为非负数，

∴

解得：故答案为：C.22．若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4【答案】D解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝，∵关于x的分式方程+2＝有正数解，∴＞0，∴m＞﹣5，又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3∴m≠﹣3，∵有意义，∴2﹣m≥0，∴m≤2，因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，∵m为整数，∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，故答案为：D．23．已知，关于x的分式方程＝1．（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1解为整数时，求b的值．解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程中，得，方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），2x²+3x﹣13＝2x²﹣7x﹣15，10x＝﹣2，x＝，检验：把x＝代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x＝．答：分式方程的解是x＝．（2）把a＝1代入分式方程得，方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，（11﹣2b）x＝3b﹣10，①当11﹣2b＝0时，即，方程无解；②当11﹣2b≠0时，，时，分式方程无解，即，b不存在；x＝5时，分式方程无解，即，b＝5．综上所述，或b＝5时，分式方程无解．（3）把a＝3b代入分式方程中，得：方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），整理得：（10+b）x＝18b﹣15，∴，∵，且b为正整数，x为整数，∴10+b必为195的因数，10+b≥11，∵195＝3×5×13，∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，但1、3、5小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．对应地，b只可以取3、29、55、185，所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．24.当k的值为_________（填出一个值即可）时，方程只有一个实数根。解：原方程可化为：要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：（1）当方程<1>有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由得k=－1。当k=－1时，方程<1>的根为，符合题意。（2）方程<1>有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由，得k>－1。又原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入<1>得k=0，或k=3，均符合题意。综上所述：可填“－1、0、3”中的任何一个即可。题型八.未能准确确定不等式组的解集导致错误25．若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程4﹣有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．16 B．10 C．8 D．3解：不等式组整理得：，解得：﹣2≤x＜a﹣1，∵不等式组至少有4个整数解，∴a﹣1＞1，解得：a＞2，分式方程去分母得：4（y﹣1）﹣ay＝﹣6，解得：y＝，∵分式方程有整数解，∴a﹣4＝±1，a﹣4＝﹣2，解得：a＝5或a＝3或a＝2（舍去），则符合条件的所有整数a的和为5+3＝8．故选：C．26．若关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3（x－2）