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文档简介

《函数与方程》达标检测[A组]—应知应会1.函数的零点所在的区间为A. B. C. D.【分析】先判断函数的单调性,再求特殊点对应的函数值即可求解结论.【解答】解:在区间上是增函数,且(1),(2),的零点.故选:.2.方程的实根个数为A.0 B.1 C.2 D.3【分析】法一:构造函数,利用函数的图象的交点,判断方程的根的个数即可.法二:构造函数,利用函数的导数,判断函数的单调性,然后求解即可.【解答】解:法一:方程的实根即函数和的图象交点的横坐标,在同一坐标系中,作出和的图象如图,由图可知,有1个交点,也就是方程实根的个数为1.法二:由法一,可知时,有一个零点,令,,可得,,可知是减函数,函数是增函数;的最小值为,所以,,是增函数,,所以函数,,没有零点.即方程在时没有实数根.所以零点个数为1.故选:.3.已知关于的方程有四个不同的实数解,则实数的取值范围为A. B. C. D.【分析】设,,则方程化为函数,在上有两个不相等的实数根.利用根与系数的关系,列出不等式组求解即可.【解答】解:设,,则方程化为函数,在上有两个不相等的实数根.令,因为,所以,可得,解得可得.故选:.4.已知函数,则若在区间,上方程只有一个解,实数的取值范围为A.,或 B.,或 C. D.,或【分析】分别求出当时,当时,有一解时的集合,,若在区间,上方程只有一个解,实数的取值范围为在中的补集.【解答】解:当时,,有一解即,有一解,有一解,令,在,上单调递减,所以,(1),所以,当时,有一解,即,有一解,即,有一解,令,在,上单调递增,所以,,所以,所以若在区间,上方程只有一个解,所以或,故选:.5.已知定义在上的函数满足:且,,则方程在区间,上的所有实根之和为A.14 B.12 C.11 D.7【分析】分析两函数的性质,在同一坐标系内画出两函数图象,利用数形结合的方法可求.【解答】解:,函数为周期为2的周期函数,函数,其图象关于点对称,如图,函数的图象也关于点对称,函数与在,上的交点也关于对称,设,,,,,,分别为,,,,,.,,由图象知另一交点横坐标为,,故两图象在,上的交点的横坐标之和为,即函数在,上的所有根之和为11.故选:.6.已知函数若函数恰有4个零点,则的取值范围是A.,, B.,, C.,, D.,,【分析】问题转化为有四个根,与有四个交点,再分三种情况当时,当时,当时,讨论两个函数是否能有4个交点,进而得出的取值范围.【解答】解:若函数恰有4个零点,则有四个根,即与有四个交点,当时,与图象如下:两图象只有两个交点,不符合题意,当时,与轴交于两点,图象如图所示,两图象有4个交点,符合题意,当时,与轴交于两点,在,内两函数图象有两个交点,所以若有四个交点,只需与在,还有两个交点,即可,即在,还有两个根,即在,还有两个根,函数,(当且仅当时,取等号),所以,且,所以,综上所述,的取值范围为,,.故选:.7.(多选)已知函数,利用零点存在性法则确定各零点所在的范围.下列区间中存在零点的是A. B. C. D.【分析】此类选择题可用代入法计算出函数值,利用函数零点判定定理即可求解【解答】解:经计算,,,(1),,根据零点判定定理可得区间,,,上存在零点,故选:.8.已知函数的零点在区间,上,则.【分析】利用函数零点的判定定理,结合是整数,转化求解即可得出结论.【解答】解:(3),(4),(3)(4)函数的零点在之间,函数的零点在区间,上,,故答案为:3.9.已知对于任意实数,函数满足.若方程有2019个实数解,则这2019个实数解之和为.【分析】由已知结合偶函数的对称性可知函数的所有零点也关于轴对称,从而可求.【解答】解:因为函数满足,所以为偶函数,图象关于轴对称,若方程有2019个实数解,函数图象关于轴对称,则这2019个实数解之和为0.故答案为:010.已知函数若关于的方程恰有5个不同的实根,则的取值范围为.【分析】利用,求出函数的值,结合函数的图象,通过数形结合求解的范围即可.【解答】解:方程得方程或,作出函数的图象,如图所示,由图可知,有两个根,故有三个根,故.故答案为:.11.已知函数则函数的不同零点的个数为.【分析】先求得的实根,然后令,整理得:或,再令,求解方程与的实根即可.【解答】解:由题设条件可知:的实根为或.令,则有:或,即或.令,则有或,可解得:,,,,,函数的不同零点的个数为5.故答案为:5.12.若函数恰有两个零点,则的取值范围为.【分析】对于分段函数分别讨论每一段上零点的情况,再找到恰有两个零点时,的取值范围.【解答】解:当时,若,则,那么,即,当时,若,则,①若,即时,无解,②若,即时,,不符合,无解,③若,即时,(舍,,若时,,不符合,无解,若时,,符合,有一解,所以若函数有两个零点,则.综上所述,的取值范围为,.故答案为:,.13.已知是定义在上的奇函数,且满足,当,时,,则函数在区间,上所有零点之和为.【分析】根据条件判断函数的周期是4,求出函数在一个周期上解析式,利用函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题,利用数形结合进行求解即可.【解答】解:因为为奇函数,则,故,则,即函数是周期为4的周期函数,是上的奇函数,当,时,,,时,,,时,,,时,,,则,(2)由得,当时,,不成立,即,则,作出函数和的图象如图:则两个函数关于点对称,两个图象有4个交点,两两关于对称,则函数在区间,上所有零点之和为,故答案为:8.14.已知奇函数的定义域为,.(1)求实数,的值;(2)若,,方程恰有两解,求的取值范围.【分析】(1)由奇函数的定义域关于原点对称可得,的关系,再由奇函数中求出的值,进而求出,的值;(2)由(1)得的解析式即所给的区间范围,要使方程有两解,既是函数有交点,换元可得为二次函数,根据函数的单调性求出最值.进而求出的取值范围.【解答】解:(1)由函数为奇函数可得:,即定义域关于原点对称,即,可得:,①,由在定义域内,又是奇函数,所以,所以可得:,解得,将代入①可得:,所以,;(2)由(1)得:,若,,即,,在,单调递增,所以,,设,;所以方程:有解,可得,,有解,令,,,开口向上的抛物线,对称轴,.函数先减后增,且离对称轴较远,所以,最小且为:,时,最大,且为,且,综上所述:方程恰有两解,的取值范围为:,.15.设,函数.(1)若函数在,为单调函数,求的取值范围;(2)根据的不同取值情况,确定函数在定义域内零点的个数.【分析】(1)函数定义域为,分类讨论,,函数的单调情况即可;(2),可得或,令.分类讨论,,,根的情况即可得到的零点个数.【解答】解:显然,当时,,,在,为增函数,在,为增函数.当时,.显然在,为增函数.当时,此时,为的零点,又是的零点,不单调.综上,实数的取值范围为,;(2),由,可得或,①①式可化为.设.Ⅰ.若,有两个根0,1.故函数有2个零点;Ⅱ.若,,对称轴,且△.故有两个不同正根,即函数有3个零点.Ⅲ.若,△,故函数只有1个零点. [B组]—强基必备1.已知函数,方程有四个不同的实数根,记最大的根的取值集合为,若函数,有零点,则的取值范围是.【分析】先分析函数性质,进而画出图象,结合图象得方程有四个不同的实数根时,的取值范围,进而得,点坐标,集合,若函数,有零点,与,有交点,结合图象求出的取值范围.【解答】解:在上单调递减,在上单调递增,在上单调递增,在上单调递减,(1),,,画出图象如下:若方程有四个不同的实数根,则有四个不同的实数根,即与有四个交点,所以,令,解得或,,解得或,得,,,所以最大的根的取值集合为,若函数,有零点,则与,有交点,,设切点,,,,,解得,所以,所以实数的取值范围为,,故答案为:,.2.已知函数,若,则函数有个零点;若函数有3个零点,则实数的取值范围是.【分析】判断函数单调性,根据零点存在性定理判断零点个数;分离参数,讨论方程的根的情况,根据有3个零点和的范围得出函数的范围.【解答】解:(1)当时,,显然是的一个零点,令,则,故在上单调递增,又,,在上有1个零点,故有2个零点.(2)令可得,令,则,当时,,当时,,当时,取得最大值(1),又当时,,当时,,令,则当或时,关于的方程只有1解,当时,关于的方程有2解,当时,关于的方程无解.令且,则在和,上单调递增,有3个零点,关于的方程在和,上各有1解,又(1),,.故答案为:2,.3.已知函数的定义域为区间,若对于内任意、,都有成立,则称函数是区间的“函数”.(1)判断函数是否是“函数”?说明理由;(2)已知,求证:函数是“函数”;(3)设函数是,上的“函数”,(a),(b),且存在,使得(c),试探讨函数在区间,上零点个数,并用图象作出简要的说明(结果不需要证明).【分

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