2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题04基本不等式及其应用学生版

专题04基本不等式及其应用一、【知识梳理】【考纲要求】1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.【考点预测】1.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.【常用结论】1.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2).3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.【方法技巧】1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)的最值”的问题，先将eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq\f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.5.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.6.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围.7.根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.8.解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.9.在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.二、【题型归类】【题型一】用配凑法求基本不等式的最值【典例1】设0<x<eq\f(3,2)，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为()A.eq\f(9,4) B．4C.eq\f(9,2) D．9【典例2】若x<eq\f(2,3)，则f(x)＝3x＋1＋eq\f(9,3x－2)有()A．最大值0 B．最小值9C．最大值－3 D．最小值－3【典例3】函数y＝x+5x+2x+1(【题型二】用常数代换法求基本不等式的最值【典例1】已知首项与公比相等的等比数列{an}中，满足amaeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,4)(m，n∈N＋)，则eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)的最小值为()A.1B.eq\f(3,2)C.2D.eq\f(9,2)【典例2】已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,2b)的最小值是()A．1 B．2C.eq\f(9,4) D.eq\f(9,2)【典例3】已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．【题型三】用消元法求基本不等式的最值【典例1】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．【典例2】若实数x>1，y>eq\f(1,2)且x＋2y＝3，则eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,2y－1)的最小值为________．【典例3】已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝eq\f(2a＋3b,a＋b)()A.有最大值eq\f(14,5) B.有最小值eq\f(14,5)C.有最小值3 D.有最大值3【题型四】基本不等式的常见变形应用【典例1】《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)D.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)【典例2】已知0<a<1，b>1，则下列不等式中成立的是()A．a＋b<eq\f(4ab,a＋b)B.eq\r(ab)<eq\f(2ab,a＋b)C.eq\r(2a2＋2b2)<2eq\r(ab)D．a＋b<eq\r(2a2＋2b2)【典例3】若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2【题型五】利用基本不等式求参数范围【典例1】已知a>0，b>0，若不等式eq\f(m,3a＋b)－eq\f(3,a)－eq\f(1,b)≤0恒成立，则m的最大值为()A．4 B．16 C．9 D．3【典例2】已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，则实数m的取值范围为________．【典例3】已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8【题型六】基本不等式与其他知识交汇的最值问题【典例1】在△ABC中，点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝neq\o(AC,\s\up6(→))(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为()A.3B.4C.eq\f(8,3)D.eq\f(10,3)【典例2】如果函数f(x)＝eq\f(1,2)(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上单调递减，那么mn的最大值为()A．16 B．18 C．25 D.eq\f(81,2)【典例3】在△ABC中，A＝eq\f(π,6)，△ABC的面积为2，则eq\f(2sinC,sinC＋2sinB)＋eq\f(sinB,sinC)的最小值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3\r(3),4)C.eq\f(3,2)D.eq\f(5,3)【题型七】基本不等式的实际应用【典例1】某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60m，AB＝40m，且△EFG中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10m，EF＝20m，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G作一直线分别交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN＝x(m)．(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；(2)当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．【典例2】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)?【典例3】如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？三、【培优训练】【训练一】(多选)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是()A.a＋b＋c≤eq\r(3) B.(a＋b＋c)2≥3C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(3) D.a2＋b2＋c2≥1【训练二】已知a＞0，b＞0，且ab＝1，求eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(8,a＋b)的最小值；(2)若a，b∈R，ab>0，求eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值.【训练三】若x>0，y>0且x＋y＝xy，则eq\f(x,x－1)＋eq\f(2y,y－1)的最小值为________．【训练四】设a>b>0，则a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)的最小值是________．【训练五】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2eq\r(ab)－4a2－b2的最大值．【训练六】如图所示，已知树顶A离地面eq\f(21,2)米，树上另一点B离地面eq\f(11,2)米，某人在离地面eq\f(3,2)米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．四、【强化测试】【单选题】1.若x>0，y>0，则“x＋2y＝2eq\r(2xy)”的一个充分不必要条件是()A.x＝y B.x＝2yC.x＝2且y＝1 D.x＝y或y＝12.函数f(x)＝eq\f(x2＋4,|x|)的最小值为()A.3B.4C.6D.83.若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为()A.8B.6C.4D.24.已知正数a，b满足a＋b＝1，则eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A.eq\f(5,3)B.3C.5D.95.已知函数f(x)＝ex在点(0，f(0))处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2a＋2－b的最小值是()A.4B.2C.2eq\r(2)D.eq\r(2)6.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0，2] B．[－2，0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]7.设a>0，若关于x的不等式x＋eq\f(a,x－1)≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()A．16 B．9C．4 D．28.已知x>0，y>0，且eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,2)，则x＋y的最小值为()A．3 B．5C．7 D．9【多选题】9.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a＋b≥2eq\r(ab) B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(1,\r(ab))C．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2 D．a2＋b2≥2ab10.给出下面四个推断，其中正确的为()A．若a，b∈(0，＋∞)，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2B．若x，y∈(0，＋∞)，则lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)C．若a∈R，a≠0，则eq\f(4,a)＋a≥4D．若x，y∈R，xy<0，则eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≤－211.已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则()A．a2＋b2≥eq\f(1,2)B．2a－b>eq\f(1,2)C．log2a＋log2b≥－2D.eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)12.设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是()A．a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2) B.eq\f(2ab,a＋b)>eq\r(ab)C.eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b D．(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4【填空题】13.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S7－S5＝3(a4＋a5)，则4a3＋eq\f(9,a7)的最小值为________.14.设P(x，y)是函数y＝eq\f(2,x)(x>0)图象上的点，则x＋y的最小值为________．15.函数y＝eq\f(x2,x＋1)(x>－1)的最小值为________．16.若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为________．【解答题】17.(1)当x<eq\f(3,2)时，求函数y＝x＋eq\f(8,2