2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题20导数与不等式的证明学生版

专题20导数与不等式的证明一、【知识梳理】【方法技巧】1.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式.2.若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)恒成立.3.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与lnx要分离，常构造xn与lnx，xn与ex的积、商形式.便于求导后找到极值点.4.某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式ex≥x＋1，1－eq\f(1,x)≤lnx≤x－1等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明.5.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．6.在证明过程中，“隔离”化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．7.换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a，再结合所证问题，巧妙引入变量c＝eq\f(x1,x2)，从而构造相应的函数．其解题要点为：联立消参利用方程f(x1)＝f(x2)消掉解析式中的参数a抓商构元令c＝eq\f(x1,x2)，消掉变量x1，x2，构造关于c的函数h(c)用导求解利用导数求解函数h(c)的最小值，从而可证得结论二、【题型归类】【题型一】移项构造函数证明不等式【典例1】已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R).(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞lneq\f(3,e)，且x＞0时，eq\f(ex,x)＞eq\f(3,2)x＋eq\f(1,x)－3a.【典例2】证明：当x>1时，eq\f(1,2)x2＋lnx<eq\f(2,3)x3.【题型二】换元构造法【典例1】已知函数f(x)＝lnx－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．求证：x1x2>e2.【典例2】已知函数f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2＋x，a∈R.(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；(2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥eq\f(\r(5)－1,2).【题型三】将不等式转化为函数的最值问题【典例1】已知函数g(x)＝x3＋ax2.(1)若函数g(x)在[1,3]上为单调函数，求a的取值范围；(2)已知a>－1，x>0，求证：g(x)>x2lnx.【典例2】已知函数f(x)＝1－eq\f(lnx,x)，g(x)＝eq\f(ae,ex)＋eq\f(1,x)－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直．(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥eq\f(2,x).【典例3】已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，证明：f(x)≥eq\f(2a－1,a).【题型四】将不等式转化为两个函数的最值进行比较【典例1】已知函数f(x)＝alnx＋x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝1时，证明：xf(x)<ex.【典例2】已知函数f(x)＝ex2－xlnx．求证：当x>0时，f(x)<xex＋eq\f(1,e).【典例3】已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.【题型五】分拆函数法证明不等式【典例1】证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞eq\f(1,ex)－eq\f(2,ex)成立.【典例2】已知函数f(x)＝elnx－ax(x∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.【题型六】放缩后构造函数证明不等式【典例1】已知函数f(x)＝aln(x－1)＋eq\f(2,x－1)，其中a为正实数．证明：当x>2时，f(x)<ex＋(a－1)x－2a.【典例2】已知函数f(x)＝aex－1－lnx－1.(1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)≥0.【典例3】已知x∈(0，1)，求证：x2－eq\f(1,x)＜eq\f(lnx,ex).三、【培优训练】【训练一】已知函数f(x)＝xlnx－ax.(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1>eq\f(1,ex＋1)－eq\f(2,e2x)成立．【训练二】已知函数f(x)＝λlnx－e－x(λ∈R)．(1)若函数f(x)是单调函数，求λ的取值范围；(2)求证：当0<x1<x2时，e1－x2－e1－x1>1－eq\f(x2,x1).【训练三】已知函数f(x)＝eq\f(1,x)－x＋alnx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<a－2.【训练四】已知函数f(x)＝xex－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>0时，f(x)－lnx≥1.【训练五】已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).(1)讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)证明：ex－e2lnx＞0.【训练六】已知函数f(x)＝lnx－eq\f(2（x－1）,1＋x)，g(x)＝eq\f(ex－1,2x－3).(1)求函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值；(2)设b>a>0，证明：eq\f(b－a,lnb－lna)<eq\f(a＋b,2).四、【强化测试】【解答题】1.已知函数f(x)＝aex－lnx－1(e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)设x＝2是函数f(x)的极值点，求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥eq\f(1,e)时，f(x)≥0.2.已知函数f(x)＝1－eq\f(x－1,ex)，g(x)＝x－lnx.(1)证明：g(x)≥1；(2)证明：(x－lnx)f(x)>1－eq\f(1,e2).3.已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，证明：f(x)≥eq\f(2a－1,a).4.已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.5.已知函数f(x)＝ax－lnx－1.(1)若f(x)≥0恒成立，求a的最小值；(2)证明：eq\f(e－x,x)＋x＋lnx－1≥0.6.已知函数f(x)＝xex－1－ax＋1，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线l的斜率为3e－2.(1)求a的值及切线l的方程；(2)证明：f(x)≥0.7.设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.8.已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.9.已知函数f(x)＝eq\f(lnx,x＋a)(a∈R)，曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y＝eq\f(1,e).(1)求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(2)求证：当x>0时，f(x)≤x－1.10.已知函数f(x)＝ax＋xlnx在x＝e－2(e为自然对数的底数)处取得极小值．(1)求实数a的值；(2)当x>1时，求证：f(x)>3(x－1)．11.已知f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的极值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>eq\f(1,ex)－eq\f(2,ex)成立．12.已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)证明：ex－e2lnx>0恒成立．13.已知函数f(x)＝lnx－eq\f(alnx,x2).(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(2)若a＝0，x∈(0，1)，证明：x2－eq\f(1,x)<eq\f(f（x）,ex).14.已知函数f(x)＝1－eq\f(lnx,x)，g(x)＝eq\f(ae,ex)＋eq\f(1,x)－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直.(1)求a，b的值