12、微专题：积化和差与和差化积公式及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：积化和差与和差化积公式及其应用1、积化和差公式；；；；2、和差化积公式；；；.【典例】题型1、利用积化和差与和差化积公式给角求值例1、（1）求值：sin20°sin40°sin60°sin80°【提示】；【答案】；【解析】（2）求sin220°＋cos250°＋sin20°·cos50°的值；并根据角之间的联系，推广为三角恒等式“sin2α＋cos2（30°+α）＋sinα·cos（30°+α）=？”，试加以证明；【提示】【答案】；【解析】；推广得：sin2α＋cos2（30°+α）＋sinα·cos（30°+α）=eq\f(3,4)（试：参考以上求解加以证明）；【说明】通过本题说明：给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角比相约或相消，从而化为特殊角的三角比进行计算；题型2、利用积化和差与和差化积公式给值求值例2、已知cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，求sin(α＋β)的值；题型3、与解决三角形问题的交汇例3、（1）在△ABC中，求证：sinA＋sinB－sinC＝4sineq\f(A,2)sineq\f(B,2)coseq\f(C,2)；（2）在△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＝4coseq\f(A,2)·coseq\f(B,2)coseq\f(C,2)；题型4、利用积化和差与和差化积公式进行探究例4、在中，，且，能否利用求出和的大小?若能，请求出;若不能，请说明理由.【归纳】1、积化和差公式；；；；2、积化和差公式的推导由，，得， ①. ②由.，得， ③. ④上面的①②③④四个式子统称为积化和差公式.3、积化和差公式的特点（1）同名函数之积化为两角和与差的余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差的正弦的和(差)的一半；（2）等式左边为单角α、β，等式右边是它们的和(差)角；（3）如果左端两函数中有余弦函数，那么右端系数为正，无余弦函数，系数为负；4、和差化积公式；；；.5、和差化积公式的推导在积化和差公式中，设，则有，，把代入①②③④，就得到； ⑤； ⑥； ⑦. ⑧上面的⑤⑥⑦⑧四个式子统称为和差化积公式.注意公式推导过程中换元思想与方程思想的应用.6、和差化积公式的特点（1）余弦函数的和或差化为同名函数之积；（2）正弦函数的和或差化为异名函数之积；（3）等式左边为单角α和β，等式右边为eq\f(α＋β,2)与eq\f(α－β,2)的形式；（4）只有最后一组的符号为负，其余均为正；7、积化和差与和差化积公式的记忆方法（1）积化和差公式的记忆口诀前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差；（2）和差化积公式的记忆口诀正加正，正在前；余加余，余并肩；正减正，余在前；余减余，负正弦；【即时练习】1、将cos2x－sin2y化为积的形式，结果是()A．－sin(x＋y)sin(x－y)B．cos(x＋y)cos(x－y)C．sin(x＋y)cos(x－y) D．－cos(x＋y)sin(x－y)2、在△ABC中，若sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，则△ABC是()A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形3、把cos3a＋cos5a化为积的形式，其结果为____________．4、若cosxcosy＋sinxsiny＝eq\f(1,2)，sin2x＋sin2y＝eq\f(2,3)，则sin(x＋y)＝5、已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(\r(3),4)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，则sinθ＋cosθ的值是________．6、已知，，则__________.7、下列四个关系式中错误的个数__________.①；②；③；④.8、(一题两空)已知sinα＋sinβ＝eq\f(1,2)，cosα＋cosβ＝eq\f(1,3)，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.9、已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝taneq\f(A,2)＋eq\f(2cos\f(A,2),sin\f(A,2)＋cos\f(B－C,2))，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？并证明你的结论．10、已知cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，（1）求sin(α＋β)的值；（2）求cos(α＋β)的值；【教师版】微专题：积化和差与和差化积公式及其应用1、积化和差公式；；；；【说明】规律1：公式右边中括号前的系数都有；规律2：中括号中前后两项的角分别为和；规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数；2、和差化积公式；；；.【说明】1、和差化积公式的适用条件是：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．2、和差化积公式的适用条件是：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式；【典例】题型1、利用积化和差与和差化积公式给角求值例1、（1）求值：sin20°sin40°sin60°sin80°【提示】注意：利用公式产生“特殊角”；【答案】eq\f(3,16)；【解析】原式＝cos10°cos30°cos50°cos70°＝eq\f(\r(3),2)cos10°cos50°cos70°＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(cos60°＋cos40°)·cos70°))＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),4)cos40°cos70°＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),8)(cos110°＋cos30°)＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),8)cos110°＋eq\f(3,16)＝eq\f(3,16).（2）求sin220°＋cos250°＋sin20°·cos50°的值；并根据角之间的联系，推广为三角恒等式“sin2α＋cos2（30°+α）＋sinα·cos（30°+α）=？”，试加以证明；【提示】在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系；【答案】eq\f(3,4)；【解析】原式＝eq\f(1－cos40°,2)＋eq\f(1＋cos100°,2)＋eq\f(1,2)(sin70°－sin30°)＝1＋eq\f(1,2)(cos100°－cos40°)＋eq\f(1,2)sin70°－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)(－2sin70°sin30°)＋eq\f(1,2)sin70°＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)sin70°＋eq\f(1,2)sin70°＝eq\f(3,4)；推广得：sin2α＋cos2（30°+α）＋sinα·cos（30°+α）=eq\f(3,4)（试：参考以上求解加以证明）；【说明】通过本题说明：给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角比相约或相消，从而化为特殊角的三角比进行计算；题型2、利用积化和差与和差化积公式给值求值例2、已知cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，求sin(α＋β)的值；【提示】注意：利用和差化积公式，对所求式子进行变形，并利用所给条件求解；【答案】eq\f(12,13)；【解析】因为，cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，所以，－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)＝eq\f(1,2).①又因为，sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，所以，2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)＝－eq\f(1,3).②再因为，sineq\f(α－β,2)≠0，再由①②，得－taneq\f(α＋β,2)＝－eq\f(3,2)，即taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(3,2).所以，sin(α＋β)＝eq\f(2sin\f(α＋β,2)cos\f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cos2\f(α＋β,2))＝eq\f(2tan\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq\f(2×\f(3,2),1＋\f(9,4))＝eq\f(12,13)；【说明】通过本题说明：对于给值求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止；题型3、与解决三角形问题的交汇例3、（1）在△ABC中，求证：sinA＋sinB－sinC＝4sineq\f(A,2)sineq\f(B,2)coseq\f(C,2)；（2）在△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＝4coseq\f(A,2)·coseq\f(B,2)coseq\f(C,2)；【提示】利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π；【解析】（1）左边＝sin(B＋C)＋2sineq\f(B－C,2)·coseq\f(B＋C,2)＝2sineq\f(B＋C,2)coseq\f(B＋C,2)＋2sineq\f(B－C,2)coseq\f(B＋C,2)＝2coseq\f(B＋C,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(B＋C,2)＋sin\f(B－C,2)))＝4sineq\f(A,2)sineq\f(B,2)coseq\f(C,2)＝右边，所以，原等式成立；（2）由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)，即eq\f(C,2)＝90°－eq\f(A＋B,2)，所以，coseq\f(C,2)＝sineq\f(A＋B,2).则sinA＋sinB＋sinC＝2sineq\f(A＋B,2)·coseq\f(A－B,2)＋sin(A＋B)＝2sineq\f(A＋B,2)·coseq\f(A－B,2)＋2sineq\f(A＋B,2)·coseq\f(A＋B,2)＝2sineq\f(A＋B,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(A－B,2)＋cos\f(A＋B,2)))＝2coseq\f(C,2)·2coseq\f(A,2)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(B,2)))＝4coseq\f(A,2)coseq\f(B,2)coseq\f(C,2)，所以，原等式成立；【说明】证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证；特别注意：1、解决与三角形有关问题时应注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等；2、在△ABC中有一些重要的三角关系：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)；sin(2A＋2B)＝－sin2C；cos(2A＋2B)＝cos2C；题型4、利用积化和差与和差化积公式进行探究例4、在中，，且，能否利用求出和的大小?若能，请求出;若不能，请说明理由.【提示】注意：限制条件“在中”与等价转化；【解析】在中，因为，所以.因为，所以.因为，所以.所以.又因为，所以.由①②，得；【说明】本题三角恒等变换与对数的简单交汇；用到了待定系数法与等价转化思想；【归纳】1、积化和差公式；；；；2、积化和差公式的推导由，，得， ①. ②由.，得， ③. ④上面的①②③④四个式子统称为积化和差公式.3、积化和差公式的特点（1）同名函数之积化为两角和与差的余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差的正弦的和(差)的一半；（2）等式左边为单角α、β，等式右边是它们的和(差)角；（3）如果左端两函数中有余弦函数，那么右端系数为正，无余弦函数，系数为负；4、和差化积公式；；；.5、和差化积公式的推导在积化和差公式中，设，则有，，把代入①②③④，就得到； ⑤； ⑥； ⑦. ⑧上面的⑤⑥⑦⑧四个式子统称为和差化积公式.注意公式推导过程中换元思想与方程思想的应用.6、和差化积公式的特点（1）余弦函数的和或差化为同名函数之积；（2）正弦函数的和或差化为异名函数之积；（3）等式左边为单角α和β，等式右边为eq\f(α＋β,2)与eq\f(α－β,2)的形式；（4）只有最后一组的符号为负，其余均为正；7、积化和差与和差化积公式的记忆方法（1）积化和差公式的记忆口诀前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差；（2）和差化积公式的记忆口诀正加正，正在前；余加余，余并肩；正减正，余在前；余减余，负正弦；【即时练习】1、将cos2x－sin2y化为积的形式，结果是()A．－sin(x＋y)sin(x－y)B．cos(x＋y)cos(x－y)C．sin(x＋y)cos(x－y) D．－cos(x＋y)sin(x－y)【答案】B；【解析】cos2x－sin2y＝eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1－cos2y,2)＝eq\f(1,2)(cos2x＋cos2y)＝cos(x＋y)cos(x－y)；2、在△ABC中，若sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，则△ABC是()A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形【答案】B；【解析】由sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，得eq\f(1,2)cos(A－B)－eq\f(1,2)cos(A＋B)＝eq\f(1＋cosC,2)，∴eq\f(1,2)cos(A－B)＋eq\f(1,2)cosC＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cosC，即cos(A－B)＝1，∴A－B＝0，即A＝B；∴△ABC是等腰三角形；3、把cos3a＋cos5a化为积的形式，其结果为____________．【答案】2cos4acosa；【解析】cos3a＋cos5a＝2coseq\f(3a＋5a,2)coseq\f(5a－3a,2)＝2cos4acosa．4、若cosxcosy＋sinxsiny＝eq\f(1,2)，sin2x＋sin2y＝eq\f(2,3)，则sin(x＋y)＝【答案】eq\f(2,3)；【解析】因为cosxcosy＋sinxsiny＝eq\f(1,2)，所以coseq(\a\vs4\al\co1(x－y))＝eq\f(1,2)，因为sin2x＋sin2y＝eq\f(2,3)，所以2sineq(\a\vs4\al\co1(x＋y))coseq(\a\vs4\al\co1(x－y))＝eq\f(2,3)，所以2sineq(\a\vs4\al\co1(x＋y))·eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)，所以sin(x＋y)＝eq\f(2,3)；5、已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(\r(3),4)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，则sinθ＋cosθ的值是________．【答案】－eq\f(\r(2),2)；【解析】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2θ))＝eq\f(1,2)cos2θ＝eq\f(\r(3),4).所以cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，所以2θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，所以sin2θ＝－eq\f(1,2)，且sinθ＋cosθ<0，所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).所以sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(2),2)；6、已知，，则__________.【答案】【解析】，，故答案为：7、下列四个关系式中错误的个数__________.①；②；③；④.【提示】根据三角函数和差化积公式，可直接判断①②③，对于④先将转化为，再根据三角函数的和差化积公式，化成积的形式，即可判断是否正确.【答案】3个【解析】由和差化积公式，可知：对于①，，故①正确；对于②，，故②错误；对于③，，故③错误；对于④，，故④错误.故答案为3个.8、(一题两空)已知sinα＋sinβ＝eq\f(1,2)，cosα＋cosβ＝eq\f(1,3)，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.【答案】－eq\f(12,5)；－eq\f(59,72)；【解析】由sinα＋sinβ＝eq\f(1,2)，cosα＋cosβ＝eq\f(1,3)，得2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)＝eq\f(1,2)，2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)＝eq\f(1,3)，两式相除得taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(3,2)，则tan(α＋β)＝eq\f(2tan\f(α＋β,2),1－tan2\f(α＋β,2))＝eq\f(2×\f(3,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2))＝－eq\f(12,5).(sinα＋sinβ)2＝sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝eq\f(1,4)，(cosα＋cosβ)2＝cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝eq\f(1,9)，则cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－eq\f(59,72)；9、已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝taneq\f(A,2)＋eq\f(2cos\f(A,2),sin\f(A,2)＋cos\f(B－C,2))，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？并证明你的结论．【证明】∵A，B，C是△ABC的三个内角，∴A＋B＋C＝π，eq\f(A,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(B＋C,2).∴y＝taneq\f(A,2)＋eq\f(2sin\f(B＋C,2),cos\f(B＋C,2)＋cos\f(B－C,2))＝taneq\f(A,2)＋eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(B,2)cos\f(C,2)＋cos\f(B,2)sin\f(C,2))),2cos\f(B,2)cos\f(C,2))＝taneq\f(A,2)＋taneq\f(B,2)＋taneq\f(C,2).因此，任意交换两个角的位置，y的值不变．10、已知cos