立体几何 01平行与垂直、体积与距离 突破专项训练-2022届高三数学解答题

临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练立体几何01（平行与垂直、体积与距离）1．如图，已知四棱锥中，，，分别是，的中点，底面，且．（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积．2．如图，直三棱柱中，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求到平面的距离．3．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，点，分别是棱，上的点，点是线段上一点，．（1）若为中点，证明：平面；（2）若，求．4．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，，顶点在底面上的投影为，侧棱与底面所成角的正切值为．（1）证明：平面．（2）若为的中点，求到平面的距离．5．如图，四棱锥中，是正方形，平面，，分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）已知，为棱上的点，，求三棱锥的体积．6．如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，连接，交于点，为的重心．（1）证明：平面；（2）若平面底面，平面底面，，，，求四棱锥的体积．7．如图，面，四边形是边长为1的为正方形；点在线段上，．（1）若面，求值；（2）若面，棱锥体积取得最大值，求四棱锥的高．8．如图，四边形是平行四边形，，，，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求点到平面的距离．9．如图，在直三棱柱中，，为上的一点，，．（1）若，求证：平面．（2）平面将棱柱分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求的值．10．已知四棱锥，其中，，，，平面平面，点是上一点，．（1）求证：平面；（2）11．如图1，在平面四边形中，，，且为等边三角形．设为中点，连结，将沿折起，使点到达平面上方的点，连结，，设是的中点，连结，如图2．（1）证明：平面；（2）若二面角为，设平面与平面的交线为，求与平面所成角的正弦值．参考答案1．（1）证明：在四棱锥中，是的中点，是的中点，所以是的中位线，即，又平面，平面，所以平面，因为且，所以四边形是平行四边形，有，因为平面，平面，所以平面，而，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）连接，，如图所示：由，所以的面积为，又，所以三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为．2．（1）证明：连接交于点，连接，在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则点为的中点，又因为为的中点，所以，又平面，平面，故平面；（2）设点到平面的距离为，在直三棱柱中，平面，则为三棱锥的高，所以，因为平面，则，所以，又因为平面，平面，则，又，，，平面，则平面，又平面，所以，因为，则，，由等体积法，则，解得，所以点到平面的距离为．3．（1）证明：取中点，连接，，则且，又因为且，所以，且，所以四边形为平行四边形，从而．又平面，平面，所以平面．（2）作交于，则为中点．所以平面，因为是边长为2的正三角形，且．所以．则，所以．又因为，所以．4．（1）证明：因为四棱锥的底面是的菱形，且，所以是等边三角形；因为，所以三棱锥是正三棱锥，所以顶点在底面上的投影为为正的中心；又，所以；因为，，所以平面；（2）由（1）可得就是侧棱与底面所成的角，因为侧棱与底面所成角的正切值为．，．四棱锥的底面是边长为的菱形，且，，顶点在底面上的投影为，，，如图、连结交于，．．又，为直角三角形斜边上的中点，，，，可得，等腰三角形的面积．设到平面的距离为．由，可得，解得．5．（1）证明：如图，取中点，连接，，由，分别为，的中点，知，，又为的中点，故，，即，且，四边形是平行四边形，即，又平面，平面，平面；（2）如图，连接．平面，平面，，又，，平面，平面，平面，又平面，，即，，即，又，，又，则，且，三棱锥的体积．6．（1）证明：延长，交于点，连接是的重心，是的中点，且，，，，，又平面，平面，平面．（2）平面平面，平面平面，且，平面，平面，平面，，同理，，，，平面，平面，为的中点，则到平面的距离，又为的重心，点到平面的距离满足，解得．四边形的面积，四棱锥的体积．7．（1）设．面，面面，面，，．（2）法一：以为坐标原点，，，所成直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，0，，有，1，，设，则，，，面，，，得：，因为的底面不变，故即到面的距离取最大值．到面的距离，当仅当，即时取最大值．故四棱锥的高为．法二：设．中，作，交于．面，面，就是到面的距离，因为的底面不变，所以求四棱锥的高，即求最大时的值．面，面，．故在以为直径的半圆上，当取最大值时，为圆的半径，为圆心．此时，．8．（1）证明：取中点，连接，因为，分别为，的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为，，平面，而，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，（2）证明：在中，，，，所以，故，，在中，，从而，，因为，平面，平面，所平面；（3）连接交于点，则为的中点，所以点与点到平面的距离相等，令该距离为，所以有即，由（2）知平面，，，所以，在中，，所以，所以所以点到平面的距离．9．（1）证明：如图，取中点，连接，，在直三棱柱中，，，，又，且，四边形是平行四边形，，又由题意为正三角形，侧棱，，两两平行且都垂直于平面，，，又，平面，，平面，又，平面．（2）正三棱柱的底面积，则体积．下面一个几何体为四棱锥，底面积，因为平面平面，过点作边上的高线，如图，在平面与平面垂直的性质可得垂直于平面，故四棱锥的高等于．则，从而，．10．（1）证明：因为，，则，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，则平面；（2）因为点到直线的距离为，当时，点到直线的距离最大，此时，由（1）可知，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又为等边三角形，所以，在中，，，则，故，所以，又因为，故，所以四棱锥的体积为1．11．（1）证明：在平面中，设、的延长线交于点，连结，在中，设，则，，，且，，且为中点，是中点，，又平面，平面，平面．（2）在图1中，是中点，即，，在图2中，，，，、平面，平面，又平面，平面平面，且是二面角的平面角，二面角为，，，设为中点，