思想专题之特殊与一般思想（3）-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习思想专题之特殊与一般思想③教学目标理解特殊与一般的思想，掌握由特殊到一般再由一般到特殊研究方法，通过对个例的认识和研究，形成对事物的认识。【解读：掌握特殊值求解题目的技巧，能够根据题目所给条件归纳猜想，给出一个合理的结论】知识梳理由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一，通过对个例认识与研究，形成对事物的认识，由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。对数学而言，这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研究的特殊与一般的思想。在高考中，会设计一些构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程，由特殊到一般进行归纳法猜想和类比法猜想的试题。【解读：本部分内容主要体现在特殊性上，老师可以根据情况给学生举一个实例，体现特殊法的优越性：快速、准确】典例精讲例1．（★★）若，则下列代数式中值最大的是（）A．B．C．D．分析：本题比较大小，可以取特殊值，也可以作差比较，还可以用基本不等式或排序不等式。解法一：特殊值法.取，通过计算比较最大。选A解法二：解法三：根据排序不等式知、、中，最大，再取特值比较与答案：A.【本题中有多种做法，其中取特殊值法最简单，最直接】例2.（★★）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线对称，那么a=.解：因为是函数y=sin2x+acos2x的一条对称轴，且该函数定义域为R，所以当x=0和时函数值相等，即，易得a=1.

【一个结论在一定范围内成立时，那么这个结论对这个范围内的所有值都成立，这时特殊值是有效的】例3.（★★★）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______．解法一由a、b∈R+，由基本不等式得a+b≥2，则ab=a+b+3≥2+3，即≥≥≥3，∴ab≥9．解法二由已知得a(b-1)=b+3，显然b>1，∴，≥，即ab≥9．解法三由基本不等式的思想，变量相等时取得最值。由本题条件看出，a与b在条件和结论中“地位等价”，故a,b相等时取得最值，即a=b=3时取得最值，得ab最值为9，然后再令a=2得b=5，这时ab=10,故可知9为ab的最小值.【当两个变量在条件中可以互换，结论中互换而对题目不产生影响的前提下，我们可以认为两个字母“等价”，最值是在两变量相等时取到。“等价”思想可以解决很多复杂的问题，特别是在选择填空题中，帮我们快速准确找到答案。如2012年理科填空题14题】例4.（★★★）已知函数则①；②.分析：①可以直接代入计算，也可以整体处理；②寻找规律，整体处理.解析：，经计算，得，.【通过题目要求的值，发现规律，然后推广到一般，这是解决探索规律题的一般方法。这种思想在解答题中也有明显的体现：前几问往往是给后面的问题做铺垫。当没有解题思路是，可以考虑从前面的问题方向思考】例5.（★★★）7位同学站成一排，（1）甲在最左端的排法共有多少种？（2）甲不在两端的排法共有多少种？（3）甲、乙在两端的排法共有多少种？（4）甲、乙不在两端的排法共有多少种？（5）甲不在左端，乙不在右端的排法共有多少种？解：（1）先把甲固定在最左端，其他人任意排，（2）先把甲排在中间5个中的一个，其他任意排，（3）先把甲乙在两端排好，，然后其他人任意排，，所以答案是（4）先把甲乙在中间排好，，然后其他人任意排，，所以答案是（5）排除法，总的情况减掉甲在左端的，再减乙在右端的情况，再加上多间的部分（重复的）故答案是【特殊优先是排列组合问题中非常重要的方法，特殊元素或位置要优先考虑。另外，排除法也是对特殊情况的排除】课堂检测（★★）已知成等比数列，是的等差中项，是的等差中项，则.解：特殊法，取，（★★★）若为奇函数，则最小正数的值为.解：由函数为奇函数，且定义域为R可知，，可求得,即，可得，然后对k取值，使为正，可知当k=1时，符合条件，这时.（★★★）设x，y均为正实数，且，则xy的最小值为.解：方法一由可化为xy=8+x+y,x，y均为正实数xy=8+x+y（当且仅当x=y等号成立）即xy-2-8可解得,即xy16故xy的最小值为16。方法二由x,y“地位等价”，故当x=y时取得最值，带入条件得x=y=4，故xy的最值为16.（★★★★）已知两正数x,y满足x+y=1,则z=的最小值为。解：方法一z===，令t=xy,则，由在上单调递减,故当t=时有最小值,所以当时z有最小值。方法二由条件可知x与y“地位等价”，所以时z有最小值5.（★★★）已知为等差数列的前项和，.⑴求；⑵求；⑶求.分析利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.解，当时，，当时，，当时，，.由，得，当时，；当时，.⑴；⑵；⑶当时，，当时，【本题中第（1）（2）问是为第（3）做铺垫，在答题时注意借鉴前面几问的结论和方法】6.（★★★）给出四个函数图象分别满足：①②③④与下列函数图象对应的是（）A．①②③④B.①②③④C.①②③④D.①②③④解:D；显然满足①的函数应是这种类型，故图象应是；满足②应该是指数函数，故图象应是；满足③的应是对数函数，故图象应是；满足④的应是幂函数，就本题而言，其图象应是7.（★★★）设非零向量=，=，且的夹角为钝角，求的取值范围解:的夹角为钝角,解得或(1)又由共线且反向可得(2)由(1),(2)得的范围是回顾总结1.特殊与一般的思想方法是广泛适用的一种重要的数学思想方法，对于一般性问题、抽象问题、运动变化问题和不确定问题都可考虑运用特殊与一般的思想方法去探求解题途径.2.对于递推数列问题，采用“归纳——猜想——证明”的方法去解决问题，首先通过特例探索，发现一般规律，然后再用这个规律来解决其它特殊问题，这是特殊与一般思想最常见的应用之一.3.对于某些特殊的问题，如求值、比较大小等，要注意研究其数量特征，发现一般模型，再由一般解决特殊.4.抽象函数问题