第四章指数函数与对数函数 检测题（综合卷）【新教材】2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章指数函数与对数函数单元检测题（综合版）一、单选题1．若，则（）A． B． C． D．2．函数的定义域为（）A． B．C． D．3．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．2021年6月22日下午宁夏A市发生里氏3.1级地震，2020年9月2日宁夏市发生里氏4.3级地震，则市地震所散发出来的能量是市地震所散发出来的能量的（）倍．A．2 B．10 C．100 D．10004．函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．5．“”是“函数在上为增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．函数的图像大致是（）A． B．C． D．7．正实数，，均不等于1，若，，则的值为（）A． B． C． D．8．已知函数，若，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、多选题9．下列函数中与函数是同一函数的是（）A． B． C． D．10．下列函数在定义域内既是奇函数又是减函数的有（）A． B．C． D．11．已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（）A．为偶函数 B．在上单调递减C．关于对称 D．12．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.下列判断正确的有（）A． B．C． D．三、填空题13．求值：__________．14．已知函数的定义域为，对任意，，当时，，则______．15．已知函数．若存在，使得，则实数的取值范围是_____________．16．若函数，对任意，总存在，使，则实数的取值范围___________四、解答题17．已知函数.(1)求函数的定义域;(2)判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论.18．已知函数（且），．（1）若，求的取值范围；（2）求不等式的解集．19．已知函数（且）.（1）若的图象如图①所示，求、的取值范围；（2）若的图象如图②所示，有且仅有一个实数解，求的取值范围.20．某种生物身体的长度（单位：米）与其生长年限（单位：年）大致关系如下：（其中为自然对数的底，该生物出生时）．（1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）；（2）该生物出生年后的一年里身长生长量可以表示为，求的最大值（精确到0.01）．21．已知函数是奇函数.（1）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围：（2）若不等式的解集为，且，求实数的值.22．已知函数.（1）当时，求函数的值域；（2）如果对任意的不等式恒成立，求实数m的取值范围.参考答案1．C【分析】根据指数函数的性质计算可得；【详解】解：因为函数在定义域上单调递增又，因为，所以故选：C2．A【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为.故选：A.3．C【分析】根据给定的公式，结合对数的运算性质直接求两者之间的倍数关系即可.【详解】设自贡地震所散发出来的能量为，余江地震所散发出来的能量，则，故两式作差得，故，.故选：C.4．A【分析】利用换元法求解，先求出函数的定义域，然后换元，令，则，求出函数的单调区间，再利用“同增异减”可求得答案【详解】解：由，得，得或，令（或），则，因为二次函数在单调递减，在上单调递增，而在定义域内单调递增，所以的单调递减区间为，故选：A5．A【分析】由指数函数的性质可得在上为增函数的等价条件，再由充分、必要条件的定义即可得解.【详解】若在上为增函数，则，即，因为是的充分不必要条件，所以“”是“函数在上为增函数”的充分不必要条件.故选：A．6．A【分析】根据函数的零点为2、4,并结合时的函数值即可得答案.【详解】因为2、4是函数的零点，所以排除B、C；因为时，所以排除D,故选:A7．A【分析】由对数的运算性质和换底公式可得，结合可得结果.【详解】依题意，解得.故选：A.8．B【分析】利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可【详解】，所以为上的偶函数当时，由都再在上单调递增，得在上单调递增因为为上的偶函数，且在上单调递增，所以由，可得，解得．故选：B9．BD【分析】根据同一函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数的定义为，因为函数的定义域为，所以两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B中，函数与函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；对于C中，函数与函数的对应法则不同，不是同一函数；对于D中，函数与函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数.故选：BD.10．BC【分析】根据基本初等函数函数的单调性与奇偶性判断可得；【详解】解：对于A：定义域为的奇函数，函数在和上单调递减，故A错误；对于B：定义域为，且，即为奇函数，又函数与在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递减的奇函数，故B正确；对于C：定义域为为，且，故函数为奇函数，又单调递减，故C正确；对于D：定义域为为，，故函数为奇函数，又，函数在定义域上单调递增，函数在上单调递增，所以在定义域上单调递增，故D错误；故选：BC11．ACD【分析】由可得函数的周期性，再根据函数的对称性即可得到函数的奇偶性，根据函数在的函数解析式判断函数在上的单调性，最后根据周期性与奇偶性求出即可；【详解】解：对于A，因为的定义域为，其函数图象关于直线对称所以，又，所以所以，即，所以函数为偶函数，故A正确；对于B：因为，所以，即所以函数是周期为的周期函数，当时，，因为当时，函数在上单调递增，所以当时，，函数在上单调递增，故B错误；对于C：因为函数图象关于直线对称，所以，又函数是偶函数，所以，即，，所以，所以关于对称，故C正确；对于D：，又时，，所以，故D正确；故选：ACD12．ABD【分析】对求导即可判断A；利用双曲正余弦函数的性质，应用指数幂的运算求、、、、判断B、C、D的正误.【详解】A：，正确；B：，正确；C：，错误；D：，而，正确.故选：ABD13．【分析】利用指数、对数的运算性质化简可得结果.【详解】.故答案为：.14．【分析】由可得，化简，计算即可.【详解】由题意知，因为，令，则，令，则，所以，即的周期为14，所以.故答案为：15．【分析】方程用分离参数法变形转化为求函数值域．【详解】，则，题意说明在上有解．易知函数在上是增函数，在上是减函数，所以在上是增函数，，，即时，．所以的范围是．16．或【分析】求出两个函数的值域，根据给定的信息，问题转化为在的值域包含于的值域即可作答.【详解】因在上单调递增，则有，于是得在上的值域是，设的值域为A，“对任意，总存在，使”等价于“在上的值域包含于的值域”，从而得，时，为减函数，此时，时，，此时，当，即时，成立，于是可得，当，即时，要成立，必有，满足，即，从而可得，综上得或，所以实数的取值范围是或.故答案为：或17．（1）（2）是奇函数，证明见解析【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断．【详解】(1)由,解得,∴,∴函数的定义域.(2)函数是奇函数.证明:由(1)知定义域关于原点对称.因为函数.∵，所以函数是奇函数.【点睛】本题主要考查函数定义域，奇偶性的判断，利用定义法是解决本题的关键．18．（1）；（2）．【分析】（1）根据求出的值，由得出的范围，由对数函数的性质可得结果；（2）由对数的性质可得，进而可得的范围.【详解】（1）函数（且），，，函数．若，，故的取值范围为．（2）不等式，即，，解得，故不等式的解集为．19．（1），；（2）或.【分析】（1）根据函数的单调性及其在轴上的交点位置可求得实数、的取值范围；（2）作出函数的图象，根据已知条件可得出实数的取值范围.【详解】（1）由为减函数可得，又，解得；（2）图②中，函数的图象如图所示.由图象可知使有且仅有一解，则或.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.20．（1）约需要6.8年；（2）．【分析】（1）根据题意由，利用指数和对数互化求解；（2）由，令，转化为，利用基本不等式求解；【详解】（1）由题意得，即，解得：，因为，所以，因为，所以，又因为，所以，即约需要6.8年．（2），令，则因为，当且仅当即时，等号成立，所以，所以的最大值为．21．（1）；（2）.【分析】（1）根据奇函数可得，再根据方程整理得，讨论，和即可得解；（2）由题等价于，讨论，结合函数性质可得在有两个根为，且，进而根据韦达定理求解即可.【详解】（1）是奇函数，，，，则，，即当时，在上无解；当时，在上，，所以无解；当时，在上，，，开口向下的抛物线，必有解；综上：.（2）由题等价于，即，根据可知当时，在和上单调递减，在上也有解，不符合题意；当时，为“对勾函数”，由解集为可知，所以在有两个根为，所以，所以，解