湖南省株洲市震阳中学高三数学理下学期摸底试题含解析

湖南省株洲市震阳中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“平面α内的两条直线与平面β都平行”是“平面α与平面β平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据面面平行的判定定理结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若平面α与平面β平行，则平面α内的两条直线与平面β都平行，即必要性成立，若平面α内的两条直线与平面β都平行，若两条直线不相交，则平面α与平面β平行不一定成立，即充分性不成立，故“平面α内的两条直线与平面β都平行”是“平面α与平面β平行”的必要不充分条件，故选：B．2.复数等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.复数z1＝a+bi(a、b?R，i为虚数单位)，z2＝–b+i，且|z1|<|z2|，则a的取值范围是(▲)．(A)a＞1

(B)a＞0

(C)–l＜a＜1

(D)a＜–1或a＞1参考答案：C4.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为(

)cm2。

A．80

B．12

C．48

D．20参考答案：A略5.已知数列的前项和为，，且，则所有满足条件的数列中，的最大值为（

）A．3

B．6

C．9

D．12参考答案：B6.已知是的共轭复数，若（是虚数单位），则（

）A．

B．

C．

D．[来参考答案：D略7.下列命题：①在中，若，则；②已知，则在上的投影为；③已知，，则“”为假命题．其中真命题的个数为（

）（A）0

（B）1

（C）2

（D）3参考答案：C①根据正弦定理可知在三角形中。若，则，所以，正确。在上的投影为，因为，所以，所以②错误。③中命题为真，为真，所以为假命题，所以正确。所以真命题有2个选C.8.已知直线相切，那么a的值是

（

）

A．5 B．3 C．2 D．1参考答案：答案：B9.某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；则该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为(

)

参考答案：B10.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】抛物线的应用；直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据抛物线方程求得Q点坐标，设过Q点的直线l方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于等于0求得k的范围．【解答】解：∵y2=8x，∴Q（﹣2，0）（Q为准线与x轴的交点），设过Q点的直线l方程为y=k（x+2）．∵l与抛物线有公共点，有解，∴方程组即k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0有解．∴△=（4k2﹣8）2﹣16k4≥0，即k2≤1．∴﹣1≤k≤1，故选C．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理或判别式解决问题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即ab=,a,b是正实数，已知1=3,则函数的值域是

．参考答案：（1，+∞）12.直线的倾斜角a满足3sina=4cosa,且它在轴上的截距为2，则直线的方程是

．参考答案：4x-3y-8=013.如图，点（x,y）在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x-y的最小值为________．参考答案：1本题考查了线性规划知识以及利用数形结合求最值的能力，难度中等。

设，当最小时，对应的直线在轴上的截距最大，根据题意，当对应直线过A（1，1）点时，满足条件，代入得14.四棱锥P—ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为

.参考答案：15.双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点．设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为．参考答案：1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，c2=a2+b2=1，解得a=﹣1，双曲线的离心率e==1+．故答案为：1+．【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．16.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是

．参考答案：【考点】LR：球内接多面体．【分析】由球的球心在四棱锥P﹣ABCD的高上，把空间问题平面化，作出过正四棱锥的高作组合体的轴截面，利用平面几何知识即可求出高【解答】解：由题意，四棱锥P﹣ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PH上；过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图所示：其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点，设PH=h，由几何体可知，RT△PAO∽RT△PHF?∴，解得h=，故答案为：17.设，其中，表示k与n的最大公约数，则的值为=__

.参考答案：

520；

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数为自然对数的底数）．（1）若曲线在点（处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，求函数在区间[－1,1]上的最大值；（2）设函数，试讨论函数零点的个数．参考答案：（1）；（2）见解析.【分析】（1）分别求出y=f（x）与y=g（x）在x=0处的导数，利用斜率之积等于-1求得，得到f（x）解析式，再由导数判断f（x）在区间[-1，1]上单调递减，从而求得最大值；（2）函数在R上单调递增，仅在x=1处有一个零点，且x＜1时，g（x）＜0，再由导数分类判定f（x）的零点情况，则答案可求．【详解】（1）∵f′（x）=-3x2+a，g′（x）=ex，∴f′（0）=a，g′（0）=1，由题意知，，f（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴；（2）函数g（x）=ex-e在R上单调递增，仅在x=1处有一个零点，且x＜1时，g（x）＜0，又f′（x）=-3x2+a．①当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在R上单调递减，且过点（0，-），f（-1）=＞0．即f（x）在x≤0时，必有一个零点，此时y=h（x）有两个零点；②当a＞0时，令f′（x）=-3x2+a=0，解得＜0，＞0．则是函数f（x）的一个极小值点，是函数f（x）的一个极大值点．而f（-）=＜0，现在讨论极大值的情况：f（）=．当f（）＜0，即a＜时，函数f（x）在（0，+∞）上恒小于0，此时y=h（x）有两个零点；当f（）=0，即a=时，函数f（x）在（0，+∞）上有一个零点，，此时y=h（x）有三个零点；当f（）＞0，即a＞时，函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，一个零点小于，一个零点大于．若f（1）=a-＜0，即a＜时，y=h（x）有四个零点；f（1）=a=0，即a=时，y=h（x）有三个零点；f（1）=a-＞0，即a＞时，y=h（x）有两个零点．综上所述，当a＜或a＞时，y=h（x）有两个零点；当a=或a=时，y=h（x）有三个零点；当＜a＜时，y=h（x）有四个零点．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题．19.（本题满分10分）

设.(1)求的值；

(2)求的值.参考答案：解析：（1）令，得；

令，得，所以；

(4分)（2）令，得

，

①而

，

②①+②得

。

(6分)20.(本题满分13分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o，

四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1.(Ⅰ)求证：BC⊥平面ACFE；(Ⅱ)若点M在线段EF上移动，试问是否存在点，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45o，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案：解(Ⅰ)证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o，∴，，∴，∴，又平面ACFE⊥平面ABCD，AC是交线，平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AC、BC、CF两两垂直，以C为原点，AC、BC、CF所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图），则，，设，则，，设是平面AMB的法向量，则取x=1，得，显然是平面FCB的一个法向量，于是，化简得，此方程无实数解，

∴线段EF上不存在点M使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45o.21.要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可继续参加笔试的考试．已知听力和笔试各只允许有一次补考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为，笔试考试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．

（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；（2）求他恰好补考一次就获得证书的概率；（3）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求参加考试次数的分布列和期望值．

参考答案：解：设“听力第一次考试合格”为事件，“听力补考合格”为事件；“笔试第一次考试合格”为事件

“笔试补考合格”为事件．

---------------1分（1）不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，则．答：该考生不需要补考就获得证书的概率为．

-----------------3分（2）恰好补考一次的事件是

----------------4分

则P（）=P（）+P（）

===

-----------------6分（3）由已知得，，

--------------7分注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

----------------8分

----------------9分

---------------10分参加考试次数的期望值

----------12分

22.（2017?郴州三模）在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．（1）写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|?|PN|的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得直角坐标方程．把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得C的极坐标方程．（II）P（1，0）．把直