广东省佛山市顺德华侨中学高三数学文上学期期末试卷含解析

广东省佛山市顺德华侨中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数（其中），函数．下列关于函数的零点个数的判断，正确的是（A）当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有2个零点；当a＝0时，有无数个零点（B）当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有3个零点；当a＝0时，有2个零点（C）当a＞0时，有2个零点；当a≤0时，有1个零点（D）当a≠0时，有2个零点；当a＝0时，有1个零点参考答案：A略2.阅读右边程序框图，为使输出的数据为，则判断框中应填入的条件为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的两个零点为x1，x2，若|x1|+|x2|≤2，则（）A．|a|≥1 B．b≤1 C．|a+2b|≥2 D．|a+2b|≤2参考答案：B【分析】利用绝对值不等式，及a2﹣4b≥0，即可得出结论．【解答】解：由题意，|x1+x2|≤|x1|+|x2|≤2，∴|﹣a|≤2∵a2﹣4b≥0，∴4b≤a2≤4，∴b≤1，故选B．【点评】本题考查函数的零点，考查二次函数的性质，属于中档题．4.某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A． B．

C． D．参考答案：A略5.若复数z满足，则z的虚部为（

）A．i

B．－i

C．1

D．－1参考答案：D6.已知等比数列{an}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，则(

)A．a5+a7＞a4+a8 B．a5+a7＜a4+a8 C．a5+a7=a4+a8 D．|a5+a7|＞|a4+a8|参考答案：A【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】等比数列{an}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，知此等比数列是一个负项数列，各项皆为负，观察四个选项，比较的是a5+a7，a4+a8两组和的大小，可用作差法进行探究，比较大小【解答】解：∵a6＜0，q＞0∴a5，a7，a8，a4都是负数∴a5+a7﹣a4﹣a8=a4（q﹣1）+a7（1﹣q）=（q﹣1）（a4﹣a7）若0＜q＜1，则q﹣1＜0，a4﹣a7＜0，则有a5+a7﹣a4﹣a8＞0若q＞1，则q﹣1＞0，a4﹣a7＞0，则有a5+a7﹣a4﹣a8＞0∴a5+a7＞a4+a8故选A【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．7.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为

()A．4

B．8

C．12

D．24参考答案：A8.已知双曲线的两条渐近线均和圆

C:相切,则该双曲线离心率等于

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A9.已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且仅有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB得方程，由PF1⊥PF2，得?=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案．【解答】解：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AB的方程为：，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y）则bx=ay﹣ab，∴x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，∴?=（﹣c﹣x，﹣y）?（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，令f（y）=（）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴?=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e=．椭圆的离心率，故选：D．10.设圆C与圆

外切，与直线相切．则C的圆心轨迹为（

）A．抛物线

B．双曲线

C．椭圆

D．圆参考答案：A

本题考查了圆与圆外切、直线与圆相切的条件以及抛物线的定义，考查了学生对知识的掌握程度，难度中等。

因为圆C与圆外切，同时与直线y=0相切，所以点C到点（0,3）的距离比到直线y=0的距离大1，即点C到点（0,3）的距离与到直线y=—1的距离相等，由抛物线定义可知点C的轨迹是抛物线.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5，则a4=．参考答案：﹣5【考点】二项式系数的性质．【分析】将x5转化[（x+1）﹣1]5，利用二项式定理展开，使之与f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5进行比较可得所求．【解答】解：x5=[（x+1）﹣1]5=（x+1）5+（x+1）4（﹣1）+（x+1）3（﹣1）2+（x+1）2（﹣1）3+（x+1）1（﹣1）4+（﹣1）5而x5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，所以a4=×（﹣1）=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是利用x5=[（x+1）﹣1]5展开，是基础题目．12.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是___________．参考答案：13.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的四个表面中，面积的最大值为_______.参考答案：14.某些篮球队的12名成员来自高一、高二共10个班级，其中高一（3）班，高二（3）班各有2人，其余班级各有1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同班级的概率为____参考答案：【分析】先求基本事件总数，再求6人来自不同的班级包含的基本事件个数，即可求出这6人来自不同班级的概率。【详解】由题得从12名成员中选6人有种选法，即基本事件总数为，这6人来自不同班级有三种情况：a.两人分别来自高一（3）班和高二（3）班，余下4人来自其它4个不同班级，b.1人来自高一（3）班或高二（3）班，余下5人来自其它5个班级，c.6人来自除高一（3）班和高二（3）班各的其它6个班级，基本事件个数为，故6人来自不同班级的概率为.【点睛】本题考查利用计数原理求概率，在计算基本事件时运用了分类计数原理，解题关键是分清情况求6人来自不同班级的种数。15.在等比数列中，，则公比

，

参考答案：在等比数列中，所以，即。所以，所以，即数列是一个公比为2的等比数列，所以。16.设函数f（x）=sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立；②x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是．参考答案：考点： 正弦函数的图象．专题： 函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析： 直接利用题中的已知条件建立关系式先求出，对f（x）≤f（x0）成立，只需满f（x）≤f（x0）min即可．由于f（x）=sin（πx），所以：先求出f（x）的最小值，进一步求出：当x0最小，f（x0）最小时，函数x02+[f（x0）]2＜m2，解得：，最后求出结果．解答： 解：根据题意：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立由于：x0∈（﹣1，1）所以：对f（x）≤f（x0）成立，只需满足f（x）≤f（x0）min即可．由于f（x）=sin（πx），所以：由于②x02+[f（x0）]2＜m所以当x0最小，且求出：进一步求出：故答案为：点评： 本题考查的知识要点：三角函数的值域，函数的恒成立问题和存在性问题，属于基础题型．17.若在等腰Rt△ABC中，||=||=2，则?=

．参考答案：﹣4【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由向量的加减运算和向量的垂直的条件，以及向量的平方即为模的平方，即可得到．【解答】解：在等腰Rt△ABC中，||=||=2，且AB⊥AC，即有?=?（﹣）=?﹣=0﹣22=﹣4．故答案为：﹣4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明以DE∥平面PBC，只需证明DE∥PC；（Ⅱ）证明BC⊥平面PAB，根据线面垂直的判定定理，只需证明PA⊥BC，AB⊥BC；（Ⅲ）当点F是线段AB中点时，证明平面DEF∥平面PBC，可得平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE∥PC．又因为DE?面PBC，PC?面PBC，所以DE∥平面PBC．

…．（Ⅱ）证明：因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA?平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥面ABC，因为BC?平面ABC，所以PA⊥BC．又因为AB⊥BC，且PA∩AB=A，所以BC⊥面PAB．

…．（Ⅲ）解：当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB中点F，连EF，连DF．由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC．又因为EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC．又因为DE∩EF=E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．

…．19.已知函数，曲线在处的切线为l：．

（1）若时，函数有极值，求函数的解析式；

（2）若函数，求的单调递增区间（其中）．参考答案：解：（1）由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′（x）＝3x2＋2ax＋b．

当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0．

①当x＝时，y＝f（x）有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0．

②由①、②解得a＝2，b＝－4．由于l上的切点的横坐标为x＝1，∴f（1）＝4．

∴1＋a＋b＋c＝4．

∴c＝5．

则f（x）＝x3＋2x2－4x＋5．

…6分（2）由（1）得，，．则．①当时，恒成立，在R上单调递增；②当时，令，解得或，的单调递增区间是和；③当时，令，解得或的单调递增区间是和．

……12分略20.

如图，在直三棱柱中，，，点D是AB的中点.（1）求证：；（2）求证：∥平面;（3）求异面直线与所成角的余弦值.参考答案：解法一：（Ⅰ）直三棱柱，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

，又是直三棱柱，所以，

………2分面，面

；…….4分（Ⅱ）设与和交点为E，连结DE，D是AB的中点，E是的中点，…….7分

平面，平面，平面；…9分（Ⅲ），为与所成的角…11分，在中，，，，异面直线与所成角的余弦值为………..14分解法二：直三棱柱，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，，且在平面ABC内的射影为BC，；….3分AC，BC，两两垂直。………………4分如图，以C为坐标原点，直线AC，BC，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，…6分21.（本小题满分13分）设函数是自然对数的底数，.（1）求的单调区间，最大值；（2）讨论关于x的方程根的个数.参考答案：解答：（1），令得，，当所以当时，函数取得最的最大值（2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到c，而函数|l