第二章电磁场的基本规律

1

第2章电磁场的基本规律2

2.1电荷守恒定律2.2真空中静电场的基本规律2.3真空中恒定磁场的基本规律2.4媒质的电磁特性2.5电磁感应定律和位移电流2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边界条件本章讨论内容3三大实验定律库仑定律安培定律法拉第电磁感应定律两个基本假设有旋电场位移电流描述宏观电磁现象的总规律麦克斯韦方程组

为分析电磁场，本章在宏观理论的假设和实验的基础上，介绍电磁场中的基本物理量和实验定律。4●在静止和稳定的情况下，确立分布电荷与分布电流的概念物理量；在电荷守恒的假设前提下，确立电流连续性方程。●

在库仑实验定律和安培力实验定律的基础上建立电场强度E和磁感应强度B的概念。●

在电荷分布和电流分布已知的条件下，提出计算电场与磁场的矢量积分公式。52.1

电荷守恒定律本节讨论的内容：电荷模型、电流模型

电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。电荷电流电场磁场（运动）

源量为电荷

和电流

，分别用来描述产生电磁效应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。电荷守恒定律与电流连续性方程

6•

电荷是物质基本属性之一。

•1897年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现了电子。

•1907—1913年间，美国科学家密立根(R.A.Miliken)通过油滴实验，精确测定电子电荷的量值为

e=1.60217733×10-19(单位：C)确认了电荷的量子化概念。换句话说，e是最小的电荷，而任何带电粒子所带电荷都是e的整数倍。

•宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷e的集合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。2.1.1电荷与电荷密度71.电荷体密度

单位：C/m3

(库/米3

)

根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域V中的电荷体密度，则区域V中的总电荷q为

电荷连续分布于体积V内，用电荷体密度来描述其分布

理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式：

点电荷、体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷在电荷空间V内，任取体积元，其中电荷量为8

若电荷分布在薄层上，当仅考虑薄层外、距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的电荷可用电荷面密度表示。

2.电荷面密度单位:C/m2

(库/米2)

如果已知某空间曲面S上的电荷面密度，则该曲面上的总电荷q为在面电荷上，任取面积元，其中电荷量为9

若电荷分布在细线上，当仅考虑细线外、距细线的距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。线分布的电荷可用电荷线密度表示。

3.电荷线密度

如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电荷q为

单位:C/m(库/米)在线电荷上，任取线元，其中电荷量为10

对于总电荷为q

的电荷集中在很小区域V的情况，当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积V中的电荷可看作位于该区域中心、电荷为q

的点电荷。点电荷的电荷密度表示4.点电荷

点电荷：当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点电荷可看作是电量q无限集中于一个几何点上。112.1.2

电流与电流密度说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定电流，用I表示。

存在可以自由移动的电荷存在电场单位:A

（安）电流方向:正电荷的流动方向电流

——电荷的定向运动而形成，用i表示，其大小定义为：单位时间内通过某一横截面S

的电荷量，即形成电流的条件：12

电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流，用电流密度矢量来描述。单位：A/m2（安/米2）

。

一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。在电磁理论中，常用体电流、面电流和线电流来描述电流的分布状态。

1.体电流

体电流密度矢量正电荷运动的方向引入电流密度矢量

描述空间电流分布状态。设正电荷沿方向流动，则在垂直方向上取一面元，若在时间内穿过面元的电荷量为，则：13讨论：1)式中：为空间中电荷体密度，为正电荷流动速度。2)流过任意曲面S的电流142.面电流

电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称为面电流，用面电流密度矢量来描述其分布面电流密度矢量d0单位：A/m（安/米）

。正电荷运动的方向电流在曲面S上流动，在垂直于电流方向取一线元，若通过线元的电流为，则定义151）的方向为电流方向（即正电荷运动方向）讨论：2）若表面上电荷密度为，且电荷沿某方向以速度运动，则可推得此时面电流密度为：注意：体电流与面电流是两个独立概念，并非有体电流就有面电流。3）通过薄导体层上任意有向曲线的电流为：16如图：在垂直于电流方向取线元。很明显，在时间内，距离内的电荷都将流过。由电流定义，通过的电流为：由电流密度定义，有：证明：17流过任意的电流而所以流过曲线l的电流为：证明：183、线电流与电流元电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。电流元：长度为无限小的线电流元。192.1.3

电荷守恒定律（电流连续性方程）电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移到另一个物体。电荷是守恒的，它既不能被创造，也不能被消灭，在一个与外界没有电荷交换的系统内，正、负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变，这就是电荷守恒定律。电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。20电流连续性方程

时间内，V内流出S的电荷量为电荷守恒定律：时间内，V内电荷改变量为由电流强度定义：电流连续性方程微分形式电流连续性方程积分形式散度定理，

21讨论：1）对于恒定电流，有故：恒定电流的电流连续性方程为2）对于面电流，电流连续性方程为：意义：流入闭合面S的电流等于流出闭合面S的电流。对时变面电流对恒定面电流22电流连续性方程积分形式微分形式流出闭曲面S的电流等于体积V内单位时间所减少的电荷量恒定电流的连续性方程恒定电流是无源场，电流线是连续的闭合曲线，既无起点也无终点小结23例题：一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以均匀角速度绕一直径旋转。求：球内的电流密度。解：建立球面坐标系。24电荷

与

电荷密度作业

2.32.6252.2真空中静电场的基本规律1.库仑（Coulomb）定律(1785年)

2.2.1库仑定律电场强度静电场：由静止电荷产生的电场。重要特征：对位于电场中的电荷有电场力作用。真空中静止点电荷q1对q2的作用力:式中：为真空中介电常数。26

，满足牛顿第三定律。

大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；方向沿q1和q2连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；电场力特性27电场力服从叠加定理

真空中的N个点电荷（分别位于）对点电荷（位于）的作用力为qq1q2q3q4q5q6q728电场：在电荷周围形成的一种物质。电场的重要特性：对处于其中的电荷产生力的作用，称为电场力。用电场强度矢量表示电场的大小和方向。电场强度矢量q为试验电荷电量实验证明：电场力大小与电荷所在位置电场强度大小成正比，即292.电场强度

空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力，即——描述电场分布的基本物理量

电场强度矢量说明：1）对q取极限是避免引入试验电荷影响原电场；2）电场强度的方向与电场力的方向一致；3）电场强度的大小与试验电荷q的电量无关。——试验正电荷电量——为试验电荷所受电场力。电场强度的单位是30真空中静止点电荷q

在P点处产生的电场强度：

特殊地，当点电荷q位于坐标原点时，31如果电荷是连续分布呢？点电荷系统和分布电荷产生的电场（1）多点电荷系统产生的电场式中:真空中，N个点电荷：电荷量：电荷位置：由矢量叠加原理：32小体积元中的电荷产生的电场面密度为的面分布电荷的电场强度线密度为的线分布电荷的电场强度体密度为的体分布电荷产生的电场强度33（2）体分布电荷系统处理思路：

1)无限细分区域

2）考查每个区域

3）矢量叠加原理设体电荷密度为，图中小体积元中dV的电荷在P点产生的电场为：则整个体积V内电荷在P点处产生的电场为：34面密度为的面分布电荷的电场强度线密度为的线分布电荷的电场强度353.几种典型电荷分布的电场强度（无限长）（有限长）均匀带电直线段均匀带电直线段的电场强度：36均匀带电圆环无限大均匀带电面外任意一点电场强度：均匀带电圆环轴线上的电场强度：37——电偶极矩+q电偶极子zol－q电偶极子的场图等位线电场线

电偶极子是由相距很近、带等值异号的两个点电荷组成的电荷系统，其远区电场强度为

电偶极子的电场强度：38

例2.2.1

计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。

解：如图所示，环形薄圆盘的内半径为a、外半径为b，电荷面密度为。在环形薄圆盘上取面积元

，其位置矢量为，它所带的电量为。而薄圆盘轴线上的场点的位置矢量为，因此有P(0,0,z)brRyzx均匀带电的环形薄圆盘dSa故由于39例题求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间中产生E分析可知：电场方向沿半径方向电场大小只与场点与球心的距离相关解：在球面上取面元ds，该面元在P点处产生的电场径向分量为：式中：40说明：与位于球心的点电荷Q在空间中产生的电场等效41库仑定律电场强度作业2.7，2.9422.2.2静电场的散度与旋度高斯定理表明：静电场是有源场，电力线起始于正电荷，终止于负电荷。电场散度仅与电荷分布相关静电场的散度（微分形式）1.静电场散度与高斯定理静电场的高斯定理（积分形式）环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径无关。静电场的旋度（微分形式）2.静电场旋度与环路定理静电场的环路定理（积分形式）静电场的基本方程43静电场环路定律证明当A点和B点重合时：物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力做功为零——静电场为保守场。（电力线不构成闭合回路）静电场环路定律斯托克斯公式44小结：真空中静电场的基本方程微分形式积分形式静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。静电场的源：电荷讨论：对静电场，恒有：

为标量函数静电场可以由一标量函数的梯度表示。45

在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。

3.利用高斯定理计算电场强度具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：

球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。均匀带电球体带电球壳多层同心球壳46

无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。

轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。(a)(b)47例题一求电荷密度为的无限大面电荷在空间中产生的电场。解：取如图所示高斯面。由高斯定律，有分析：电场方向垂直表面。在平行电荷面的面上大小相等。S48例题二求无限长线电荷在真空中产生的电场。解：取如图所示高斯面。由高斯定律，有分析：电场方向垂直圆柱面。电场大小只与r有关。49

例2.2.2

求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为a

，电荷密度为

0。

解：（1）球外某点的场强（2）求球体内一点的场强ar

0rrEa(r≥a)（r<a）分析：电场方向垂直于球面。电场大小只与r有关。50小结：利用高斯定理求解静电场关键：高斯面的选择。高斯面的选择原则：用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。1）场点位于高斯面上；2）高斯面为闭合面；3）在整个或分段高斯面上，或为恒定值。51静电场的散度与旋度作业2.112.132.15522.3真空中恒定磁场的基本规律1.

安培力定律

安培对电流的磁效应进行了大量的实验研究，在1821—1825年之间，设计并完成了电流相互作用的精巧实验，得到了电流相互作用力公式，称为安培力定律。

实验表明，真空中的载流回路C1对载流回路C2的作用力

载流回路C2对载流回路C1的作用力安培力定律2.3.1安培力定律磁感应强度

满足牛顿第三定律53其中：为真空中磁导率。C1上电流元对C2上电流元磁场力为：式中：为真空中介电常数。对比：542.磁感应强度

电流在其周围空间中产生磁场，描述磁场分布的基本物理量是磁感应强度，单位为T（特斯拉）。

磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷（电流）产生力的作用，称为磁场力。载流回路C1对载流回路C2的作用力是回路C1中的电流I1产生的磁场对回路C2中的电流I2的作用力。在磁场空间中，若电荷q0以速度运动：说明：的方向与电荷受磁场力为零时的运动方向相同。55则，电流元在磁场中受到的磁场力为：若由电流元产生，则由安培力定律可知，电流元产生的磁感应强度为：毕奥－萨伐尔定律说明：、、三者满足右手螺旋关系。56真空中任意电流回路产生的磁感应强度进一步推导573、磁感应强度矢量积分公式（1）、体电流（2）、面电流（3）、载流为I的无限长线电流在空间中产生磁场584.几种典型电流分布的磁感应强度

载流直线段的磁感应强度：

载流圆环轴线上的磁感应强度：（有限长）（无限长）载流直线段载流圆环59例题求半径为a的电流环在其轴线上产生的磁场。分析：在轴线上，磁场方向沿z向。电流分布呈轴对称。解：建立如图柱面坐标系。在电流环上任取电流元，令其坐标位置矢量为。易知：60可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁感应强度的径向分量相互抵消。当场点P远离圆环，即z>>a时，因，故

在圆环的中心点上，z=0，磁感应强度最大，即61安培力定律磁感应强度作业2.162.18622.3.2恒定磁场的散度和旋度真空中恒定磁场基本方程一、磁场的基本量1、源量：2、磁感应强度矢量（磁通密度矢量）由安培力定律，知电流元产生的为：则整个电流回路产生的为：63说明:也为磁通密度矢量。由密度的定义：式中：为垂直于磁力线的面元；

为穿过ds面元的磁通量。穿过闭合曲面S的磁通量为：3、磁场强度矢量

磁场强度矢量表征磁场对电流或者永久磁体产生磁力作用的能力。64二、真空中恒定磁场的散度

在恒定磁场中，磁感应强度矢量穿过任意闭合面的磁通量为0，即：上式表明：磁力线在空间任意位置是连续的。磁通连续性定律（积分形式）上式表明：恒定磁场是无源场

由矢量场的散度定理，可推得：孤立磁荷不存在说明：，故可用一矢量函数的旋度来表示。65三、真空中恒定磁场的旋度安培环路定律

在恒定磁场中，磁场强度矢量沿任意闭合路径的环量等于其与回路交链的电流之和，即：安培环路定律(积分形式)说明:(1)指回路C所围电流的代数和；(2)指回路C上的总磁场强度(由C内外电流共同产生）。66由斯托克斯定理：安培环路定律(微分形式)上式表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场。电流为磁场的漩涡源。小结：恒定磁场性质恒定磁场为有旋无源场，非保守场67四、总结真空中恒定磁场基本方程1.

恒定磁场的散度与磁通连续性原理磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁感应线是无起点和终点的闭合曲线。恒定场的散度（微分形式）磁通连续性原理（积分形式）安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁场的旋涡源。恒定磁场的旋度（微分形式）2.恒定磁场的旋度与安培环路定理安培环路定理（积分形式）68五、利用安培环路定律求解空间磁场分布1、建立方程直接求解

若已知空间电流分布，则可建立方程：

直接求解法在理论上可以求出空间磁场分布，但一般不采用此法(难于求解)，而利用辅助函数求解。692、利用安培环路定律求解

当电流呈轴对称分布时，可利用安培环路定律求解空间磁场分布。

若存在一闭合路径C，使得在其上整段或分段为定值，则可以用安培环路定律求解。70

解：分析场的分布，取安培环路如图根据对称性，有，故

在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算磁感应强度。

例2.3.2

求电流面密度为的无限大电流薄板产生的磁感应强度。71例题：半径为a的无限长直导体内通有电流I，计算空间磁场强度分布。分析：电流均匀分布在导体截面上，呈轴对称分布。解：根据安培环路定律

当r>a时

当r<a时72例2.3.3

求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。题意分析：建立同轴电缆的结构模型示意图－半径为a的内导体圆柱、外壳为半径分别是b、c的无限长中空导体圆柱，内导体沿轴向有恒定的均匀传导电流I，外导体壳有恒定的均匀传导电流－I

。求空间各点的磁感应强度分析：电流均匀分布在导体截面上，呈轴对称分布。建立柱坐标系73

解选用圆柱坐标系，则应用安培环路定理，得取安培环路，交链的电流为根据安培环路定律74应用安培环路定律，得752.212.222.3.2恒定磁场的散度和旋度真空中恒定磁场基本方程作业762.4媒质的电磁特性

1.电介质的极化现象

电介质的分子分为无极分子和有极分子。在电场作用下，介质中无极分子的束缚电荷发生位移，有极分子的固有电偶极矩的取向趋于电场方向，这种现象称为电介质的极化。通常，无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。2.4.1

电介质的极化电位移矢量无极分子

有极分子无外加电场

媒质对电磁场的响应可分为三种情况：极化、磁化和传导。

描述媒质电磁特性的参数为：

介电常数、磁导率和电导率。无极分子有极分子有外加电场

E77极化媒质宏观上表现出电特性电场作用782.极化强度矢量

极化强度矢量

是描述介质极化程度的物理量，定义为

——分子的平均电偶极矩

的物理意义：单位体积内分子电偶极矩的矢量和。

极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、各向同性的电介质中，与电场强度成正比，即

——电介质（媒质）的电极化率（或极化系数）

En表示分子密度79

由于极化，正、负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净余的极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷。3.极化电荷（束缚电荷）(1)

极化电荷体密度介质被极化后，每个分子可以看作是一个电偶极子，其电偶极矩为在电介质内任意作一闭合面S，只有电偶极矩穿过S的分子对S内的极化电荷有贡献。在闭合面S所围体积内取小体积元

E

S穿出dS面的电荷量为：80穿出整个S面的电荷量为：由电荷守恒和电中性性质，S面所围电荷量为说明：若媒质均匀极化（与空间位置无关），则介质无体极化电荷。均匀媒质被极化后，一般不存在体极化电荷。81(2)

极化电荷面密度

紧贴电介质表面取如图所示的闭合曲面，则穿过面积元的极化电荷为故得到电介质表面的极化电荷面密度为

式中：为媒质极化强度为媒质表面外法向单位矢量82说明：1)极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷2)由电荷守恒定律，极化电荷总量为零；3)极化媒质分界面上一般存在极化电荷；4)若极化媒质内存在自由电荷，则在自由电荷处一般存在极化电荷。5）两种介质分界面上的极化电荷83空间中原电场：介质被极化－>极化电荷：介质空间中电场：介质空间外加电场，实际电场为，变化与介质性质有关。引入电位移矢量作为描述空间电场分布的辅助量.844.电位移矢量介质中的高斯定理

介质的极化过程包括两个方面：外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服从同样的库仑定律和高斯定理。自由电荷和极化电荷共同激发的结果

介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，应用高斯定理得到：85任意闭合曲面电位移矢量D的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和

引入电位移矢量（单位：C/m2)将极化电荷体密度表达式代入，有则有

其积分形式为

式中：为真空中的介电常数为媒质的极化强度为外加电场强度86在这种情况下其中称为介质的介电常数，称为介质的相对介电常数（无量纲）。*

介质有多种不同的分类方法，如：均匀和非均匀介质各向同性和各向异性介质时变和时不变介质线性和非线性介质确定性和随机介质5.电介质的本构关系

极化强度与电场强度之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，

和

有简单的线性关系87小结：静电场是有源无旋场：

1）电介质中的基本方程为

（积分形式）

（微分形式），

2）真空中点电荷产生的电位移矢量为：3）真空中静电场的基本方程：88驻极体：外场消失后，仍保持极化状态的电介质体。解：在驻极体内：驻极体在表面上：例题一

求半径为a，永久极化强度为的球形驻极体中的极化电荷分布。已知：89例题二半径为a的球形电介质体，其相对介电常数若在球心处存在一点电荷Q，求极化电荷分布。解：由高斯定律，可以求得在媒质内：体极化电荷分布:面极化电荷分布:在球心点电荷处：90例题三

在线性均匀媒质中，已知电位移矢量的z分量为，极化强度求：介质中的电场强度和电位移矢量。解：由定义，知：910、分子电流模型电子绕核运动，形成分子电流。分子电流将产生微观磁场。分子电流的磁特性可用分子极矩表示。式中：为电子运动形成的微观电流；为分子电流所围面元；2.4.2磁介质的磁化磁场强度921.磁介质的磁化

介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，形成分子磁矩无外加磁场外加磁场B

在外磁场作用下，分子磁矩定向排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介质的磁化。

无外磁场作用时，分子磁矩不规则排列，宏观上不显磁性。93B2.磁化强度矢量

磁化强度是描述磁介质磁化程度的物理量，定义为单位体积中的分子磁矩的矢量和，即单位为A/m。一般介质被磁化的程度与外加磁场强度成正比，即：式中：为磁介质的磁化率（磁化系数）943.磁化电流

磁介质被磁化后，在其内部与表面上可能出现宏观的电流分布，称为磁化电流（束缚电流）。

考察穿过任意围线C所围曲面S的电流。只有分子电流与围线相交链的分子才对电流有贡献。与线元dl相交链的分子，中心位于如图所示的斜圆柱内，所交链的电流BC穿过曲面S的磁化电流为（1）磁化电流体密度95由，即得到磁化电流体密度

在紧贴磁介质表面取一长度元dl，与此交链的磁化电流为（2）磁化电流面密度则即的切向分量96说明：1、若媒质被均匀磁化，无体磁化电流；2、磁化介质表面一般存在磁化电流；3、磁化电流仍然遵循电流守恒关系；4、若在磁介质内部存在自由线电流，则在自由电流处存在磁化线电流。974.磁场强度介质中安培环路定理

分别是传导电流密度和磁化电流密度。

将极化电荷体密度表达式代入，有,即

外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应强度B应是所有电流源激励的结果：定义磁场强度为：98则得到介质中的安培环路定理为：磁通连续性定理为小结：恒定磁场是有源无旋场，磁介质中的基本方程为

（积分形式）

（微分形式）99其中，称为介质的磁化率（也称为磁化系数）。这种情况下其中称为介质的磁导率，称为介质的相对磁导率（无量纲）。顺磁质抗磁质铁磁质磁介质的分类5.磁介质的本构关系

磁化强度

和磁场强度

之间的关系由磁介质的物理性质决定，对于线性各向同性介质，与之间存在简单的线性关系：100磁场强度磁化强度磁感应强度

例2.4.1

有一磁导率为µ

，半径为a的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流I，圆柱外是空气（µ0），试求圆柱内外的、和的分布。

解磁场为平行平面场,且具有轴对称性，应用安培环路定律，得1012.4.3媒质的传导特性恒定电场的本构关系

对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢量J和电场强度E成正比，表示为这就是欧姆定律的微分形式。式中的比例系数称为媒质的电导率，单位是S/m（西/米）。晶格带电粒子

存在可以自由移动带电粒子的介质称为导电媒质。在外场作用下，导电媒质中将形成定向移动电流。

102恒定电场的本构关系的推导导电媒质电导率体积元内存在：由欧姆定律：导电媒质中恒定电场本构关系。式中：为导电媒质电导率。103讨论：1）在理想导体内，恒定电场为0；恒定电场可以存在于非理想导体内。2)在导电媒质内，恒定电场和的方向相同导电媒质中能量损耗关系小体积元内，产生的焦耳热功率为：所以，单位体积功率损耗为：导电媒质焦耳功率损耗密度。1042.5电磁感应定律和位移电流

电磁感应定律

——揭示时变磁场产生电场。

位移电流

——揭示时变电场产生磁场。

重要结论：在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一的电磁场。105电磁感应现象与楞次定律实验表明：当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中会出现感应电流。——电磁感应现象楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回路自身的磁通，去反抗引起感应电流的磁通量的改变。1062.5.1电磁感应定律

自从1820年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究相反的问题，即磁场能否产生电流。

1881年法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变化有密切关系，由此总结出了著名的法拉第电磁感应定律。107负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。1.

法拉第电磁感应定律的表述

设任意导体回路C围成的曲面为S，其单位法向矢量为，则穿过回路的磁通为

当通过导体回路所围面积的磁通量

发生变化时，回路中产生的感应电动势

in的大小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量的改变，即108

导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场，回路中的感应电动势可表示为

感应电场是由变化的磁场所激发的电场。感应电场是有旋场。

感应电场不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外的空间。对空间中的任意回路（不一定是导体回路）C，都有因而有

对感应电场的讨论：109相应的微分形式为(1)

回路不变，磁场随时间变化这就是推广的法拉第电磁感应定律。

若空间同时存在由电荷产生的电场,则总电场应为与之和，即。由于，故有2.引起回路中磁通变化的几种情况磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有法拉第电磁感应定律微分形式110称为动生电动势，这就是发电机工作原理。(2)

导体回路在恒定磁场中运动(3)

回路在时变磁场中运动111

（1），矩形回路静止；xbaoyx均匀磁场中的矩形环L

（3），且矩形回路上的可滑动导体L以匀速运动。

解：(1)均匀磁场

随时间作简谐变化，而回路静止，因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故

例2.5.1

长为a、宽为b的矩形环中有均匀磁场

垂直穿过，如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。

（2），矩形回路的宽边b=常数，但其长边因可滑动导体L以匀速运动而随时间增大；112(3)矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L在磁场中运动产生的，故得(2)均匀磁场

为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体L在磁场中运动产生的，故得或113

（1）线圈静止时的感应电动势；

解:

（1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故

（2）线圈以角速度ω

绕x

轴旋转时的感应电动势。

例2.5.2

在时变磁场中，放置有一个的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量与成α角，如图所示。试求：xyzabB时变磁场中的矩形线圈114

假定时，则在时刻t时，与y

轴的夹角，故

方法一：利用式计算

（2）线圈绕x轴旋转时，的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种方法计算。115

上式右端第一项与(1)相同，第二项xyzabB时变磁场中的矩形线圈12234

方法二：利用式计算。116

在时变情况下，安培环路定理是否要发生变化？有什么变化？即问题：随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场是否会产生磁场？2.5.2位移电流

静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即

这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含了重要的物理事实，即时变磁场可以激发电场。（恒定磁场）

（时变场）1171.全电流定律安培环路定律的局限性

如图：以闭合路径为边界的曲面有无限多个，取如图所示的两个曲面S1,S2。结论：恒定磁场中推导得到的安培环路定律不适用于时变场的问题。对S2面：则对S1面：118位移电流假说

在电容器极板间，不存在自由电流，但存在随时间变化的电场。

为了克服安培环路定律的局限性，麦克斯韦提出了位移电流假说。他认为：在电容器之间，存在着另外一种形式的电流，其量值与回路中自由电流相等。

由电流连续性方程，知在极板间，有119上式中：为传导电流，即自由电荷运动形成的电流。若定义：为位移电流，为全电流，则

若用全电流代替安培环路定律中的自由电流,则安培环路定律在时变场中仍然适用。全电流遵循电流守恒定律120广义安培环路定律微分形式上式物理意义：随时间变化的电场能产生磁场。说明：位移电流理论最初只是一种假说。但在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波的存在，而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在，从而反过来证明了位移电流理论的正确性。三、安培环路定律广义形式

一般情况下，时变场空间同时存在真实电流(传导电流)和位移电流，则121

解决办法：对安培环路定理进行修正由将修正为：矛盾解决

时变电场会激发磁场而由时变情况下，电荷分布随时间变化，由电流连续性方程有

发生矛盾在时变的情况下不适用随时间变化的电场能产生磁场时变场的观点122全电流定律：——

微分形式——

积分形式

全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。1232.位移电流密度电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称“位移电流”。注意：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流。在理想导体中，无位移电流，但有传导电流。在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。124

例2.5.3

海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。

解：设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为其振幅值为传导电流的振幅值为故125式中的k为常数。试求：位移电流密度和电场强度。

例

2.5.4

自由空间的磁场强度为

解

自由空间的传导电流密度为0，故由式,得126

例2.5.5

铜的电导率、相对介电常数。设铜中的传导电流密度为。试证明：在无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。而传导电流密度的振幅值为通常所说的无线电频率是指f=300MHz以下的频率范围，即使扩展到极高频段（f=30～300GHz），从上面的关系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。

解：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为位移电流密度的振幅值为127电磁感应定律和位移电流作业2.252.262.271282.6麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组

——宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场的基本方程。

麦克斯韦在引入位移电流假说的基础上，总结前人研究成果，将揭示电、磁场基本性质的几个方程结合在一起，构成了麦克斯韦方程组。微分形式积分形式限定形式129

2.6.1麦克斯韦方程组的积分形式1302.6.2麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场－（推广的安培环路定律）麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场－（法拉第电磁感应定律）麦克斯韦第三方程，表明磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线－（磁通连续性定律）麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场－（高斯定律）注意：时变电磁场的源：1、真实源（变化的电流和电荷）2、变化的电场和变化的磁场。1312.6.3媒质的本构关系麦克斯韦方程组的限定形式代入麦克斯韦方程组中，有限定形式的麦克斯韦方程（均匀媒质）各向同性线性媒质的本构关系为与媒质特性相关132时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发。时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体——

电磁场。电场和磁场分别是电磁场的两个分量。在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。133在无源空间中，两个旋度方程分别为

可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。134麦克斯韦方程组的地位：揭示了电磁场场量与源之间的基本关系，揭示了时变电磁场的基本性质，是电磁场理论的基础。说明：静场只是时变场的一种特殊情况。135麦克斯韦方程组时变场静态场缓变场迅变场电磁场(EM)准静电场(EQS)准静磁场(MQS)静磁场(MS)小结：麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象。静电场(ES)恒定电场(SS)136

解：(1)导线中的传导电流为忽略边缘效应时，间距为d

的两平行板之间的电场为E=u/d

，则

例

2.6.1

正弦交流电压源连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。(1)证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为r

处的磁场强度。CPricu平行板电容器与交流电压源相接137与闭合线铰链的只有导线中的传导电流，故得(2)以r

为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故式中的S0为极板的面积，而为平行板电容器的电容。则极板间的位移电流为138

例2.6.2

在无源的电介质中，若已知电场强度矢量，式中的E0为振幅、ω为角频率、k为相位常数。试确定k与ω

之间所满足的关系，并求出与相应的其他场矢量。

解：是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦方程组可以确定k与ω

之间所满足的关系，以及与相应的其他场矢量。对时间

t积分，得139由以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的H和D代入式1402.7电磁场的边界条件

什么是电磁场的边界条件?

为什么要研究边界条件?媒质1媒质2

如何讨论边界条件?

实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间中可能是由多种不同媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。物理：由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。麦克斯韦方程组的微分形式在分界面两侧失去意义，必须采用边界条件。数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其