安徽省六安市汇文中学2023-2024学年上学期八年级第二次月考数学试卷

2023-2024学年度第一学期八年级第二次月考(数学)一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在平面直角坐标系中，若点A的坐标是a2+1,−1，则点A所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.函数y=3−x中，自变量x的取值范围是(

)A.x>3 B.x≤3 C.x<3 D.x≠33.下列四个图形中，画出△ABC的边AB上的高的是(

)A. B.

C. D.4.下面是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB=AC，点D、E分别是AB,AC的中点，DM、EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM=EM，则判定“△ADM≌△AEM”的依据是(

)

A.角边角 B.角角边 C.边边边 D.边边角5.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成6cm和12cm两部分，则等腰三角形的腰长为(

)A.4cm或8cm B.4cm C.8cm D.2cm或10cm6.下列选项中，可以用来说明命题“若a>b，则a2>b2A.a=−2，b=0 B.a=3，b=−2

C.a=−2，b=3 D.a=−2，b=−37.如图，在△ABC中，AD为高，AE平分∠BAC，∠B=50∘，∠C=80∘，则∠DAE的度数为.(

)A.15∘ B.20∘ C.25∘8.下列图中，表示一次函数y=ax+b与正比例函数y=abx(其中a、b为常数，且ab≠0)的大致图象，其中表示正确的是(

)A. B.

C. D.9.2023年5月21日，“锦绣太原⋅激情太马”2023太原马拉松赛成功举行，3.5万名选手沿汾河岸畔同场竞技，畅跑魅力并州．如图是甲、乙两人从起点出发一段时间内路程与时间的关系，则下列说法正确的是(

)

A.在这段时间内，甲的平均速度为150m/min

B.在这段时间内，乙的平均速度为100m/min

C.在这段时间内，甲休息了20min

D.10.如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，B，D三点在同一直线上．则下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③∠AHC=60∘；④BH平分∠AHD；⑤FG//AD.其中正确的有(

)

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.当1≤x≤5时，一次函数y=−3x+b的最小值为−12，则b=________.12.如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是第二象限内一点，△ABC为等腰直角三角形且∠C=90∘，则直线BC13.如图，△ABC中，BD=15BC，AE=14AD，CF=14.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，BD平分∠ABC，CE，BD相交于点O，点F是BE上一点，且满足∠OFB=∠ADB.1)若∠A=40∘，∠ABC=100∘2)若BC=6，CD=4.5，BE=2.5，则EF=______.三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分)已知关于x的一次函数y=ax+(1)若函数图象经过点0,3，求a的值；(2)若函数图象经过第一、三、四象限，求a的取值范围．16.(本小题8分)已知y=y1+y2，y1与x−1成正比，y2与x成正比．当(1)求y与x的函数关系式；(2)当x=−5时，求y的值；17.(本小题8分)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△A1B1(1)直接写出△ABC三个顶点的坐标；(2)在图中画出平移后的△A(3)求△A118.(本小题8分)如图，已知△ABF≌△CDE.(1)若∠B=40∘，∠DCF=30(2)若BD=10,EF=4，求BF的长．19.(本小题10分)如图，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90∘，E、F为BC、CD边上的点，若∠FAE=45∘，试探究线段BE、

20.(本小题10分)如图，已知在四边形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，AD=CD.求证：∠A+∠C=

21.(本小题12分)如图，直线y=kx+b过A、B两点，坐标分别为0,2,1,0，直线y=12x−3

(1)求交点E的坐标；(2)直接写出不等式kx+b>1(3)求四边形OBEC的面积．22.(本小题12分)为了提高学生体育中考成绩，某学校打算购买A，B品牌实心球用于学生训练，若一次购买A品牌10个和B品牌5个，需花费350元；若一次购买A品牌4个和B品牌7个，需花费290元．(1)求A品牌实心球和B品牌实心球的单价．(2)现学校决定一次性购买A，B品牌实心球共50个，要求A品牌实心球数量不超过B品牌实心球数量的32倍，问如何安排购买方案，使学校购买的总费用最少？最少为多少元？23.(本小题14分)如图1，在△ABC中，若AB=10，BC=8，求AC边上的中线BD的取值范围．(1)小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE=BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD.①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是__.(2)问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB=BM，BC=BN，∠ABM=∠NBC=∠90∘，连接MN.请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了点的坐标．解题的关键是掌握象限内的点的符号特点，注意a2加任意一个正数，结果恒为正数．牢记点在各象限内坐标的符号特征是正确解答此类题目的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−).先判断出点P的横坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点P所在象限即可．

【解答】

解：∵a2为非负数，

∴a2+1为正数，

∴点A的符号为(+,−)

∴2.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.根据二次根式的意义被开方数是非负数，可得3−x≥0，可得自变量x的取值范围.【解答】解：∵3−x≥0，解得：x≤3.故选B.3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查的是三角形的高，解题的关键是利用从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高进行判断.

根据三角形高的定义判断即可.

【解答】

解：A、该垂线段是BC边上的高，故不合题意;

B、该垂线段不是三角形的高，故不合题意;

C、该垂线段是AC边上的高，故不合题意;

D、该垂线段是AB边上的高，故符合题意;

故选：D.4.【答案】C

【解析】解：∵AB=AC，点D，E分别是AB，AC的中点，

∴AD=AE，

在△ADM和△AEM中，

AD=AEAM=AMDM=EM.

∴△ADM≌△AEM(SSS)，

故选：C.

根据全等三角形判定的“SSS”定理即可证得△ADM≌5.【答案】C

【解析】【分析】

此题主要考查等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用和三角形三边关系的综合运用.

设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为12cm，故应该列两个方程组求解，再结合三角形三边关系验证.

【解答】

解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm.

由题意得x+12x=612x+y=12或x+12x=1212x+y=6，

解得x=4y=10或x=86.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了命题与定理，属于基本题型，举出反例是判断一个命题为假命题的常用方法．根据当a>b时a2【解答】解：A.a=−2，b=0，不满足a>b，所以本选项不符合题意；B.a=3，b=−2，满足a>b，但32>(−2)C.a=−2，b=3，不满足a>b，所以本选项不符合题意；D.a=−2，b=−3时，满足a>b，a2故选D.7.【答案】A

【解析】解：∵在△ABC中，AD是高，∠B=50∘，∠C=80∘，

∴∠ADC=90∘，∠BAC=180∘−∠B−∠C=50∘，

∴∠CAD=10∘，

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE=25∘，

8.【答案】A

【解析】解：A.由一次函数y=ax+b图象可知a<0，b>0，则ab<0；正比例函数的图象可知ab<0不矛盾，故此选项正确，符合题意；

B.由一次函数y=ax+b图象可知a<0，b>0；正比例函数的图象可知ab>0，矛盾，故此选项错误，不符合题意；

C.由一次函数y=ax+b图象可知a>0，b>0；正比例函数的图象可知ab<0，矛盾，故此选项错误，不符合题意；

D.由一次函数y=ax+b图象可知a>0，b<0；正比例函数的图象可知ab>0，矛盾，故此选项错误，不符合题意；

故选：A.

根据一次函数的图象与系数的关系，由函数图象分析可得a、b的符号，进而可得ab的符号，从而判断y=abx的图象即可解答．

本题考查一次函数的性质，解题的关键是正确待定系数k与b的作用，本题属于基础题型．9.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂图象是解题的关键．根据速度=路程÷时间结合图象可求出甲、乙的平均速度；根据5min【解答】

解：由图象可知：甲的速度为：3000÷35=6007(m/min)，故A选项不正确；

乙的速度为：3000÷30=100(m/min)，故B选项正确；

在这段时间，甲休息的时间为：20−5=15(min)，故C选项错误；10.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了等边三角形的性质和判定及全等三角形的判定及性质，平行线的判定.

根据平角的性质得出∠EBF=60∘，结合AAS证明△BGD≌△BFE，再根据全等三角形的性质及等边对等角即可判断①②;根据全等三角形的性质及三角形外角性质即可判断③;过B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N，根据面积相等得BM=BN，再结合角平分线的性质即可判断④;根据等边三角形的判定及性质以及平行线的判定定理即可判断⑤.

【解答】

解：∵△ABC与△BDE为等边三角形，

∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60∘，

∴∠ABE=∠CBD=120∘，∠EBF=60∘，

在△ABE和△CBD中

AB=BC∠ABE=∠CBDBE=BD

∴△ABE≌△CBD(SAS)，

∴S△ABE=S△CBD，AE=CD，∠BDC=∠AEB，

在△BGD和△BFE中

∠BDC=∠BEFBD=BE∠DBG=∠EBF，

∴△BGD≌△BFE(ASA)，

∴BG=BF，∠BFG=∠BGF=60∘，

故①，②正确；

∵△ABE≌△CBD，

∴∠EAB=∠BCD，

∵∠CBA=60∘，

∴∠AHC=∠CDB+∠EAB=∠CDB+∠BCD=∠CBA=60∘，③正确；

过B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N，

∵SΔABE=SΔCBD，AE=CD，11.【答案】(1)3

(2)y=13x+4

(3)9

(4)1)【解析】(1)解：在y=−3x+b，−3<0，

∴y随x的增大而减小，

∵1≤x≤5时，一次函数y=−3x+b的最小值为−12，

∴x=5时，y=−3x+b的值为−12，即−12=−15+b，

解得b=3，

故答案为：3.

由一次函数的性质得y随x的增大而减小，可得−12=−15+b，即可解得答案.

本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握k<0时，y=kx+b的函数值随x的增大而减小.

(2)解：直线y=2x+4，

当x=0时，y=4，

当y=0时，2x+4=0，

∴x=−2，

∴A(−2,0)，B(0,4)，

∴OA=2，OB=4，

过点C作CE⊥x轴于E，过B作BD⊥y轴，交CE于点D，

易得∠D=90∘，

∵∠BCA=90∘，

∴∠BCD+∠ACE=90∘，

∵∠DBC+∠BCD=90∘，

∴∠DBC=∠ACE，

在△DBC与△ECA中，

∠D=∠CEA=90∘∠DBC=∠ECAAC=BC，

∴△DBC=△ECA(AAS)，

∴DC=AE，DB=CE，

设EA=x，EO=x+2=DB，

∴CE=DE−DC=4−x，

∴4−x=x+2，

解得：x=1，

∴C(−3,3)，

∵B(0,4)，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

则−3k+b=3b=4

解得：k=13b=4.

则直线BC的解析式为：y=13x+4;

故答案为：y=13x+4.

先分别令x=0和y=0确定B和A的坐标，作辅助线，利用全等三角形的判定和性质，可得EA的长度，最后利用待定系数法可得结论.

此题考查待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.

(3)解：∵BD=15BC，

∴CD=45BC，

∴S△ACD=45S△ABC=45×30=24，

∵AE=14AD，

∴DE=34AD，

∴S△CDE=34S△ACD=34×24=18，

∵CF=12CE，

∴EF=12CE，

∴S△DEF=12S△CDE=12×18=9.

故答案为9.

根据三角形的高相同时，面积比=底边的比，由BD=15BC，得出CD=45BC，得出S△ACD=45S△ABC，然后同理得出

S△CDE=34S△ACD，S△DEF=12S△CDE，从而算出结果.

本题考查三角形的面积.根据三角形的高相同时，面积比=底边的比，得出所求的三角形的面积与已知三角形的面积的关系是解题的关键.

(4)解：1)∵∠ABC=100∘，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=50∘，

∴∠ADB=180∘−∠A−∠ABD=180∘−40∘−50∘12.【答案】解：(1)将(0,3)代入得3=a−4，

解得a=7；

(2)∵函数图象经过第一、三、四象限，

∴a>0a−4<0，

解得【解析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，了解一次函数的性质是解答本题的关键.

(1)将(0,3)代入解析式求解即可；

(2)y=kx+b的图象经过一、三、四象限，k>0，b<0，据此列出不等式组求解即可．13.【答案】解：(1)设y1=k1(x−1)，设y2=k2x，则y=k1(x−1)+k2x，

根据题意得，k1+2k2【解析】(1)y1与x−1成正比例，可设y1=k1(x−1)，y2与x成正比例，设y2=k2x，利用待定系数法即可求解．

(2)直接把x的值代入(1)中的函数关系式即可．

此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握要求y与x14.【答案】解：(1)A(−2,4)，B(−5,2)，C(−4,5)；

(2)如图所示，

(3)S△【解析】(1)根据图形写出坐标即可；

(2)根据图形平移的性质画出图形即可；

(3)利用正方形的面积减去三个三角形的面积即可．

本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．15.【答案】解：(1)∵△ABF≌△CDE，∠B=40∘，

∴∠D=∠B=40∘，

∵∠DCF=30∘，

∴∠EFC=∠D+∠DCF=40∘+30∘=70∘.

(2)∵△ABF≌△CDE，

∴BF=DE，

∴BF−EF=DE−EF，

【解析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．

(1)根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；

(2)根据全等三角形的对应边相等计算．16.【答案】解：EF=BE+DF.

理由如下：

如图，将△DAF绕点A顺时针旋转90∘，得到△BAH，

∴△ADF≌△ABH，

∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，∠ABH=∠D=90∘，

∴∠FAH=90∘，点H，点B，点C三点共线，

∴∠EAF=∠EAH=45∘，

∵AF=AH，∠FAE=∠HAE，AE=AE

∴△FAE≌△HAE(SAS)，

∴EF=HE【解析】将△DAF绕点A顺时针旋转90∘，得到△BAH，可得∠DAF=∠BAH，AF=AH，∠FAH=90∘，由“SAS”可证△FAE≌△HAE，可得17.【答案】证明：如图，过点D作DE⊥BC于E，DF⊥BA延长线于点F.∵BD平分∠ABC，∴DE=DF.又∵AD=CD，

∴Rt△ADF≌Rt△CDE，

∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=

【解析】本题考查的角平分线的性质.全等三角形的判定与性质.

角平分线上的点到角的两边距离相等，过角的平分线上的点向角的两边作垂线是常用辅助线，可将角相等转化为线段相等.再利用全等三角形将∠C转换到∠FAD进行证明.18.【答案】解：(1)把A、B的坐标代入y=kx+b得：b=2k+b=0，

解得：k=−2，b=2，

所以直线AB的解析式是y=−2x+2，

解方程组y=−2x+2y=12x−3得：x=2y=−2，

所以点E的坐标是(2,−2)；

(2)由图象可知，x<2时，y=kx+b的图象在y=12x−3的图象的上方，

故不等式kx+b>12x−3的解集是x<2；

(3)y=12x−3，

当x=0时，y=−3，

当y=0时，x=6，

则点C的坐标是(0,−3)，点D的坐标是(6,0)，

∵B点坐标是(1,0)【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标等知识点，能求出点E、D、C的坐标是解此题的关键．

(1)先求出直线AB的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；

(2)根据E点的坐标和函数的图象得出即可；

(3)求出点C、D的坐标，再求出△DOC和△BDE的面积，即可求出答案．19.【答案】解：(1)设A品牌实心球和B品牌实心球的单价分别为a元、b元，

10a+5b=3504a+7b=290，得a=20b=30，

答：A品牌实心球和B品牌实心球的单价分别为20元、30元；

(2)设购买A品牌的实心球x个，则购买B品牌的实心球(50−x)个，费用为w元，

w=20x+30(50−x)=−10x+1500，

∵A品牌实心球数量不超过B品牌实心球数量的32倍，

∴x≤32(50−x)，

解得，x≤30，

∴当x=30时，w取得最小值，此时w=1200，50−x=20，

答：当购买A品牌实心球30个，B【解析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．