河北省保定市第十七中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)

2023-2024保定十七中八年级下期中测试一、选择题（每小题2分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．2023年10月26日11时14分，神舟十七号载人飞船发射任务取得圆满成功，展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（

）A． B． C． D．3．在、、、、、中，分式的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．下列各式从左到右的变形是因式分解的是()A． B． C． D．5．已知则下列结论错误的是(

)A． B． C． D．6．下列各式中，正确的是(

)A． B． C． D．7．下列多项式中，能分解因式的是（

）A．-a2+b2 B．-a2-b2 C．a2-4a-4 D．a2+ab+b28．要使得分式有意义，则x的取值应满足（

）A． B． C． D．9．如图，于点D，于点F，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（）

A． B． C． D．10．函数（、为常数，）的图象如图，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．11．如图，在平面直角坐标系中，若将绕点逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是（

）A． B． C． D．12．已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（

）.

A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上13．反证法证明命题：“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”应先假设A．AB=AC B．∠B=∠C C．AB>AC D．AB<AC14．下列说法正确的是（

）A．若能用完全平方公式分解因式，则的值一定等于B．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为C．等腰三角形有一个角等于，则另外两个内角一定都等于D．若关于的不等式组无解，则的最大值是15．若，则a+b的值为（

）A．±5 B．5 C．±4 D．416．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了(

)

A．75° B．45° C．60° D．15°17．如图，在三角形中，．将三角形沿所在直线向右平移，所得图形对应为三角形，若要使成立，则平移的距离是（

）

A．6 B．9 C．6或12 D．9或1218．如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF＝（）A．5 B．10 C．15 D．2019．如图，在中，，下列尺规作图，不能得到的是（

）A． B． C． D．20．如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（

）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共12分）21．若分式的值为0，则的值为．22．如图所示的图案，可以看作是一个四边形（阴影部分）按顺时针方向通过5次旋转得到的，每次旋转的角度是．23．如图，直线与直线在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于的不等式的解集为．24．已知等边的边长为4，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，点在边上运动过程中，（1）的度数始终保持不变，度．（2）的最小值是．三、解答题（共68分）25．按要求解答下列各题：(1)分解因式：(2)分解因式：(3)计算：(4)解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．(5)解不等式组．26．已知：，先化简，再从中取一个合适的整数代入，求的值．27．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：(1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出平移过程中边扫过的面积为___________．(2)将绕点按顺时针方向旋转得到，作出；旋转过程中点转过的路径长为___________．(3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标___________．28．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，，，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”，请解答下列问题．(1)设两个连续偶数是和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是8的倍数吗？用所学的知识证明你的结论．(2)请判断：400_________“智慧数”，44_________“智慧数”．（填“是”或“不是”）(3)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数……，按此规律拼叠到正方形，其边长为200，请直接写出阴影部分的面积是_________．29．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件，且购进100件服装的总费用不超过15000元．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元．(1)求与之间的函数关系式，并求出的取值范围；(2)请用一次函数的性质求购进甲种服装多少件时，获得的利润最大？最大利润为多少元？(3)由于市场需求发生变化，该服装店对甲种服装以每件优惠（）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少4元，售价不变，若此时最大利润为4000元，请直接写出的值．30．（1）如图1，分别以的边，为腰往外部作等腰三角形，使，，且，连接，，找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）如图2，中，，，，分别以的边，为腰往外部作等腰直角三角形，使，，且，连接，，直接写出的度数和的长；（3）如图3，，是的垂直平分线上一点，，，，，直接写出的长．

参考答案与解析

1．B【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选B．2．B【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，解题关键是注意：大于向右，小于向左，在数轴上，包含这个点表示的数用实心圆表示，不包含这个点表示的数用空心圆表示．把已知不等式的解集在数轴上表示出来，然后观察各个选项进行解答即可．【详解】解：不等式的解集在数轴上表示时，数轴上表示2的点用实心点，然后选择数轴上表示2是点的左边的区域，如下图所示：，故选：B．3．B【分析】本题考查了分式的定义，根据两个整式相除且分母中含有字母逐一判断即可．【详解】由分式的定义得：，是分式，故选B．4．B【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．【详解】解：A、从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C、等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D、等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．5．C【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，可得答案，熟练掌握不等式的性质是关键．【详解】解：A、不等式的两边都加，不等号的方向不变，得到，故此选项正确，不符合题意；B、不等式的两边都加1，不等号的方向不变，得到，故此选项正确，不符合题意；C、不等式的两边都除以b，不知道b的符号，无法判定与的大小，故此选项错误，符合题意；D、不等式的两边都先乘以，不等号的方向改变，得到，故此选项正确，不符合题意；故选：C．6．C【分析】分别对各选项进行计算，由此即可解答．【详解】选项A，由可得选项A错误；选项B，当x≠0时，，可得选项B错误；选项C，由，选项C正确；选项D，不能够化简，选项D错误.故选C.【点睛】本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是可以对各个选项中的式子进行化简．7．A【详解】A选项可利用平方差公式进行因式分解,,故A能进行因式分解,B选项不符合平方差公式的特征,故B选项不能因式分解,C选项不符合完全平方公式的特征,也没有公因式,也不能十字相乘,故C选项不能因式分解,D选项不符合完全平方公式的特征,也没有公因式,也不能十字相乘,故D选项不能因式分解,故选A.8．D【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0求解即可．【详解】解：∵分式有意义，∴，则，故选：．9．B【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断即可．【详解】解：∵于点D，于点F，∴，∵，∴当添加时，根据“”即可判断．故选：B．【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键．10．D【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题关键．直接利用图象得出答案．【详解】解：如题图所示：不等式的解集为：．故选：D11．C【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的判定和性质，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键．过B作于C，过作轴于D，构建，即可得出答案．【详解】解：如图，过B作于C，过作轴于D，，，由旋转的性质可知，，，，；在和中，，又，即，，，．故选C．12．A【分析】根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案．【详解】如图，

∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，∴M在∠BAC的角平分线上，故选：A．【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．13．A【分析】根据反证法的一般步骤解答即可．【详解】用反证法证明命题“在△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC”，第一步应是假设AB=AC，故选A．【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．14．D【分析】根据乘法公式，分式有意义，二次根式有意义的条件，等腰三角形的性质，不等式无解的意义即可求解．【详解】解：、若能用完全平方公式分解因式，则的值等于，故选项错误，不符合题意；、若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为且，故选项错误，不符合题意；、等腰三角形有一个角等于，则另外两个内角等于或，故选项错误，不符合题意；、若关于的不等式组无解，则的最大值是，故选项正确，符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查概念及性质，掌握乘法公式进行因数分解，分式有意义，二次根式有意义的条件，等腰三角形的性质，不等式无解的取值方法是解题的关键．15．A【分析】两式相加，构造，求25的平方根即可【详解】解：∵，∴，∴，∴a+b=±5，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键．16．C【分析】首先根据题意寻找旋转后的重合点，根据重合点来找到旋转角.【详解】根据题意△ABC是等边三角形可得B点旋转后的点为C旋转角为故选C.【点睛】本题主要考查旋转角的计算，关键在于根据重合点来确定旋转角.17．C【分析】根据平移的性质可得，则，然后分点E在线段上和点E在线段的延长线两种情况，分别求解即可．【详解】解：根据平移的性质可得，∵，∴，又∵，∴当点E在线段上时，，当点E在线段的延长线上时，有，解得：，∴，∴平移的距离是或，故选：C．【点睛】本题考查了平移的性质，正确分类讨论是解题的关键．18．B【分析】先设BD=x,则CD=20-x，根据△ABC是等边三角形，得出∠B=∠C=60°，再利用直角三角形性质求出BE和CF的长，即可得出BE+CF的值．【详解】解：设BD＝x，则CD＝20﹣x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∵DE⊥AB，∴∠BDE=30°，∴BE＝BD＝，同理可得，CF＝，∴BE+CF＝.故选：B.【点睛】本题考查的是等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，能求出CF和BE的长是解此题的关键．19．D【分析】A、根据等边对等角即可得出；B、利用角平分线及三角形外角的定义即可证明；C、利用垂直平分线的性质及三角形外角的性质即可证明；D、由作图方法无法得出相应结果．【详解】解：A、由作图得，，∴，不符合题意；B、由作图得，，∵，∴，∴，不符合题意；C、由作图得，，∴，∴，不符合题意；D、由作图无法得出，∴不一定成立，符合题意；故选：D．【点睛】题目主要考查角平分线及垂直平分线的性质，等边对等角的性质及三角形外角的定义，理解题干中的作图方法是解题关键．20．B【分析】本题考查了点坐标规律探索，平移的性质；根据平移方式先求得的横坐标，找到规律，即点的横坐标为，进而可求得的横坐标．【详解】解：点的横坐标为，点的横坐为标，点的横坐标为，点的横坐标为，…∴点的横坐标为，∴点的横坐标为，故选：B．21．3【分析】本题考查的是分式为零的条件．根据若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0进行解答即可．【详解】解：由分式的值为零的条件得且，由，得，由，得，，故答案为：3．22．##60度【分析】图中的图案有6个菱形组成，则每次旋转60度；一共旋转了5次．【详解】解：每次旋转了．故答案为：．【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．23．x<-1【分析】求关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集就是求能使函数y=k1x+b的图象在函数y=k2x的上边的自变量的取值范围．【详解】由图象可以看出，在交点的左侧，相同的x值，l1的函数值较大，∴不等式k1x+b＞k2x的解集为x＜﹣1，故答案为x＜﹣1．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值的大小的问题是解决本题的关键．24．【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．（1）根据旋转的性质及等边三角形的性质即可得到，（2）当时，的长最小，再根据勾股定理，即可得到的最小值．【详解】解：（1）由旋转可得，是等边三角形，，，（2）如图，，点Q在射线上运动，当时，的长最小，点是边的中点，，，，，的最小值是，故答案为（1）；（2）．25．(1)(2)(3)(4)，在数轴上画图见解析(5)【分析】本题考查分式的混合运算、因式分解及解不等式（组），解决本题的关键是熟练掌握有关运算法则，本题属于基础题型．（1）先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可求出答案；（2）根据平方差公式即可求出答案；（3）根据分式的除法法则进行计算即可；（4）不等式左右两边同时乘以6去分母后，去括号合并整理后，将的系数化为1，求出不等式的解集，将解集表示在数轴即可；（5）分别解不等式，进而得出不等式组的解集．【详解】（1）原式，；（2）原式．（3）原式（4）原不等式去分母得：，去括号得：，整理得：，解得：，在数轴上表示如下：（5），解①得：，解②得：，不等式组的解集为：．26．，当时，原式．【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再从中取一个合适的值代入进行计算即可．【详解】解：．，，当时，．27．(1)见解析，15(2)见解析，(3)【分析】本题考查作图旋转变换、平移变换，弧长公式，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键．（1）根据平移的性质作图，，再用割补法求出边扫过的面积，可得出答案．（2）根据旋转的性质作图，再用弧长公式计算点转过的路径长，可得出答案．（3）连接，，，再分别作出线段，，的垂直平分线，交点即为所求的旋转中心，可得出答案．【详解】（1）如图所示．边扫过的面积为，故答案为：15；（2）如图所示．，点转过的路径长为，故答案为：；（3）如图，点即为所求的旋转中心，旋转中心的坐标为．故答案为：28．(1)不是8的倍数，理由见解析(2)不是，是；(3)20200【分析】本题考查了因式分解的应用，利用（2）的结论求（3）是解题的关键．（1）根据新定义列代数式．再进行因式分解；（2）根据“智慧数”的定义进行判定；（3）根据题意列代数式．再依据（1）的结论进行计算求解．【详解】（1）不是，理由如下：，这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的