基础过关练习题

圆锥曲线部分级基础过关题一、椭圆部分基础题1.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.(2)其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：①若a＞c，则集合P为椭圆；②若a＝c，则集合P为线段；③若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b21.椭圆及其标准方程1.如果椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1【答案】14【解析】【分析】根据椭圆的定义PF1+PF2=2a及椭圆x2100+【详解】解：根据椭圆的定义PF又椭圆x2100+y236=1∴6+PF2故答案：14.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单性质，相对简单.2.已知经过椭圆x225+y216=1的右焦点F2作垂直于（1）求ΔAF（2）如果AB不垂直于x轴,ΔAF【答案】（1）20；（2）不变，理由见解析【解析】【分析】根据椭圆的定义ΔAF1B【详解】（1）由椭圆的定义得：AF所以ΔAF1B（2）不变，由椭圆的定义ΔAF1B的周长为AF1+A【点睛】本题主要考查椭圆的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3..已知A，B两点的坐标分别是(−1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？【答案】点M的轨迹是直线x=−3，并去掉点−3,0【解析】【分析】设出点M的坐标，求出直线AM,BM斜率，由kAMk【详解】设点M的坐标为x,y，则kAM=y当y≠0时，kAMkBM所以点M的轨迹是直线x=−3，并去掉点−3,0.4.曲线与曲线的A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．【详解】解：曲线表示焦点在轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为8．对照选项，则正确．故选：．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．5.如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式x2+(y−3)【答案】椭圆，理由见解析，x【解析】【分析】由x2+【详解】点M的轨迹是椭圆，由M(x,y)满足x2动点M(x,y)到定点(0,3),(0,−3)的距离之和为10，且10>6，所以动点的轨迹为椭圆.由2a=10,2c=6可得，b2焦点(0,3),(0,−3)在y轴上，所以椭圆的标准方程为：x2.椭圆的简单几何性质1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．【答案】（1）x236【解析】【详解】试题分析：（1）由离心率公式，求得c，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程；（2）由离心率公式，求得a，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程试题解析：（1）a=6，e=，即，解得c=2，b2=a2﹣c2=32，则椭圆的标准方程为：=1；（2）c=3，e=，即，解得，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣9=16．则椭圆的标准方程为：=1．考点：椭圆方程及性质2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过P(−3,0)，Q(0,−2)两点；（2）长轴长等于20，离心率等于35【答案】（1）x29+y24=1【解析】【分析】（1）设出椭圆方程,根据椭圆经过点A−3,0,B0,−2,得出a=3b=2（2）由条件可得2a=20ca=35,【详解】解:（1）设椭圆方程为:x2a2+y2A−3,0,B0,−2分别为左顶点和下顶点,所以得所以椭圆标准方程为x2（2）椭圆的长轴长等于20,离心率等于3依题意:2a=20ca=35,所以所以椭圆标准方程为:x2100+3.比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？（1）9x2+（2）x2+9y【答案】（1）x216+【解析】【分析】探究可得离心率e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆.所以只需比较离心率的大小即可得出结果.【详解】因为椭圆的离心率e=c所以e越大，ba越小，椭圆越扁；e越小，ba（1）椭圆9x2+y2=36即x2因为e2<e4.已知P是椭圆x25+y24=1上的一点，且以点P及焦点F【答案】152,1，−152,1【解析】【分析】设Px,y是椭圆上一点，由面积可得y=1，代入椭圆可得x【详解】由椭圆方程可得F1设Px,y则S△PF1F2所以点P的坐标为152,1，−152,15.一动圆与圆x2+y【答案】x2【解析】【分析】利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程．【详解】设动圆圆心为M(x,y)，半径为R，设圆x2+y2+6x+5=0和圆x将圆的方程分别配方得：圆O1:x+3当动圆M与圆O1相外切时，有O当动圆M与圆O2相内切时，有O将①②两式相加，得O1∴动圆圆心M(x,y)到点O1(−3,0)和O2所以点M的轨迹是焦点为点O1(−3,0)、O2设该椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c；∴2c=6,2a=12，∴c=3,a=6∴b2∴动圆圆心轨迹方程为x2【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键．1.动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=254的距离的比是常数45解：如图，设d是点M到直线l:x=25根据题意，动点M的轨迹就是集合P=M由此得(x−4)2将上式两边平方，并化简，得9x即x2所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆．2.如图，已知直线l:4x−5y+m=0和椭圆C:x225+y29=1．m为何值时，直线l与椭圆图分析：直线l与椭圆C的公共点的个数与方程组4x−5y+m=0,解的个数相对应．所以，我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答．解：由方程组4x−5y+m=0,消去y，得25x2+8mx+方程①的根的判别式Δ=64m由Δ>0，得−25<m<25．此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点．由Δ=0，得m1=25，m2=−25．此时方程①有两个相等的实数根，直线由Δ<0，得m<−25，或m>25．此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点．3..经过椭圆x22+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于【答案】8【解析】【分析】求出椭圆的左焦点F1(−1,0)，根据点斜式设出AB方程，联立直线方程与椭圆方程消去y，利用根与系数的关系和弦长公式即可算出弦【详解】∵椭圆方程为x2∴焦点分别为F1(−1,0)，∵直线AB过左焦点F1倾斜角为60°∴直线AB的方程为y=3将AB方程与椭圆方程消去y，得7设A(x1，y1)，x1+∴|因此，|AB|=1+3故答案为：8【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.4.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？【答案】椭圆，理由见解析【解析】【分析】如图，连接QA，由题得|QA|+|QO|=r，且r>|OA|,即得点【详解】如图，连接QA，则|PQ|=|QA|所以r−|OQ|=|QA|,所以|QA|+|QO|=r，且所以当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是椭圆.【点睛】本题主要考查轨迹问题，考查椭圆的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.点Mx,y与定点F2,0的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2，求点【答案】x2【解析】【分析】用坐标表示已知条件，列出方程并化简可得点M的轨迹方程．【详解】设d是点M到直线x=8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P=M由此得x−22将上式两边平方，并化简，得3x即点M的轨迹方程为：x26.如图，DP⊥x轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且|DM||DP|=32，当点P在圆【答案】点M的轨迹方程为x24+y2【解析】【分析】设点M的坐标为x,y，点Px0,y0【详解】设点M的坐标为x,y，点Px0,则由题可得x=x0y=∵点P在圆x2∴x即点M的轨迹方程为x24+y297.已知椭圆x225+（1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？（2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？【答案】（1）存在点P−4,95到直线距离最小，最小值为154141；（2【解析】【分析】设椭圆上点P(5cosθ,3【详解】设椭圆上点P(5cos则点P到直线l距离d==554（1）当cos(θ+φ)=−1时，d此时θ+φ=π+2kπ,k∈Z，即θ=π−φ+2kπ,k∈Z，所以cosθ=cos(π−φ+2kπ)=−所以存在点P−4,95（2）当cos(θ+φ)=1时，d此时θ+φ=2kπ,k∈Z，即θ=−φ+2kπ,k∈Z，所以cosθ=cos(−φ+2kπ)=所以存在点P4,−958.已知点是椭圆上一点，且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线斜率为，求的面积.【答案】【解析】【分析】将椭圆的方程转化为标准形式，求出两个焦点的坐标，利用点斜式求出直线的方程，将椭圆方程与直线的方程联立求出交点的坐标，利用三角形的面积底乘高除以2求出三角形的面积．【详解】椭圆16x2+25y2＝1600化成标准形式为．∴F1、F2是椭圆的左、右焦点，∴F1（﹣6，0），F2（6，0），设P（x，y）是椭圆上一点，则消去y，得19x2﹣225x+650＝0，∴x1＝5或x2．当x2时，代入②得与③矛盾，舍去．由x＝5，得y＝4．∴△PF1F2的面积S24．【点睛】本题已知椭圆上一点与右焦点连线的斜率，求该点与椭圆两个焦点构成三角形的面积，着重考查了椭圆的标准方程与简单性质、直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题．9.从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且，，求此椭圆方程.【答案】【解析】【分析】根据椭圆方方程可确定点坐标，利用可构造方程求得，结合和椭圆的关系可构造方程求得，进而得到椭圆方程.【详解】由椭圆方程可知：，，设椭圆焦点，又，则，，，，整理可得：，又，，，，，此椭圆的方程为：.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解问题，解题关键是能够根据直线平行得到斜率相等关系，属于基础题.10.已知的两个顶点A，B的坐标分别是，且AC，BC所在直线的斜率之积等于，试探求顶点C的轨迹.【答案】答案见解析【解析】【分析】设动点C的坐标，依题列关系，再对参数进行讨论得到轨迹即可.【详解】设点C的坐标为，由已知得：直线AC的斜率，直线BC的斜率，由题意知，整理得，当时，顶点C的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点；当时，顶点C的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点；当时，顶点C的轨迹是圆，并除去两点；当时，顶点C的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点.【点睛】本题考查了圆锥曲线轨迹方程问题，属于中档题.11.已知椭圆x24+（1）这组直线何时与椭圆相交？（2）当它们与椭圆相交时，证明这些线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上．【答案】（1）纵截距在(−32，32)时【解析】【分析】（1）设出平行直线的方程：y=32x+m，代入椭圆方程，消去y，由判别式大于0（2）运用中点坐标公式和参数方程，消去m，即可得到所求的结论．【详解】（1）设一组平行直线的方程为y=3代入椭圆方程，可得9x即为18x由判别式大于0，可得144m解得−32则这组平行直线的纵截距在(−32，3（2）证明：由（1）直线和椭圆方程联立，可得18x即有x1代入直线方程可得截得弦的中点为(−13m由x=−13my=1则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线y=−3二、双曲线部分基础题1.双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.(2)其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①若a<c，则集合P为双曲线；②若a＝c，则集合P为两条射线；③若a>c，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b21.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，，；（2）焦点在x轴上，经过点，（3）焦点为，，且经过点．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据条件，代入方程，即可得答案；（2）根据焦点在x轴上，设双曲线方程为，将点坐标代入，联立求解，即可得，即可得答案；（3）根据焦点坐标，可得c值及焦点在y轴，根据双曲线定义，可得a值，根据a，b，c的关系，可得，即可得答案.【详解】（1）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为，因为，，所以双曲线方程为；（2）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为，因为经过点，，代入可得，令，可得，解得，所以，所以双曲线方程为：；（3）因为焦点为，，所以c=6，且交点在y轴，因为过点且经过点，根据双曲线定义可得，解得，又，所以双曲线方程为：；2.已知方程表示双曲线，求m的取值范围．【答案】【解析】【分析】根据方程表示双曲线即可得到，解得即可；【详解】解：因为方程表示双曲线，所以，解得或，即3.双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值．【答案】9【解析】【分析】根据焦距，可得c值，根据a，b，c的关系，可得a值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案.【详解】由题意得，焦距，可得，在双曲线中，所以，解得，根据双曲线定义可得，所以，解得或，当时，不满足题意，故舍去，当时，，满足题意，所以4.双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为_________.【答案】17.【解析】【详解】试题分析：首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点到另一个焦点的距离为17.考点：双曲线的定义.5.求适合下列条件的双曲线的标准方程．（1）焦点在轴上，，经过点；（2）经过、两点．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）可设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求得的值，即可得出双曲线的标准方程；（2）设双曲线的方程为，将点、的坐标代入双曲线方程，求出、的值，即可求得双曲线的标准方程.【详解】（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，因此，双曲线的标准方程为；（2）设双曲线的方程为，将点、的坐标代入双曲线方程可得，解得，因此，双曲线的标准方程为.1.求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，；（2）焦点在y轴上，焦距是16，．【答案】（1）；（2）1．【解析】【分析】（1）利用两顶点间的距离及离心率求得，从而求得双曲线方程；（2）利用焦距和离心率求得，从而求得双曲线方程．【详解】解：（1）顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，e，则a＝4，c＝5，b＝3，∴双曲线的标准方程为；（2）焦点在y轴上，焦距是16，e，则c＝8，a＝6，b2，∴双曲线的标准方程为1．2.对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，求双曲线的标准方程和渐近线方程．【答案】；【解析】【分析】根据焦点坐标及题意，设方程为，根据焦点坐标，可求得，即可得答案.【详解】因为一个焦点是，所以，且焦点在x轴，所以设等轴双曲线方程为，所以，解得，所以双曲线标准方程为，渐近线方程为.3.双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，求双曲线的标准方程．【答案】或【解析】【分析】若双曲线焦点在x轴，设方程为，根据题意可得，即可求得a，b的值，即可得答案；若双曲线焦点在y轴，设方程，根据题意，可得，即可求得a，b的值，即可得答案.【详解】若双曲线焦点在x轴，设方程为，则渐近线方程为，所以，解得，所以双曲线标准方程为：；若双曲线焦点在y轴，设方程，则渐近线方程为，所以，解得，所以双曲线标准方程为：；所以双曲线标准方程为或4.求适合下列条件的双曲线的标准方程.（1）焦点在x轴上，实轴长10，虚轴长8.（2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长8.（3）离心率，经过点.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意，得到的值，结合双曲线焦点所在轴，求得双曲线的标准方程；（2）根据题意，得到的值，利用双曲线中的关系，求得的值，根据双曲线焦点所在轴，求得双曲线的标准方程；（3）根据题意，得到双曲线为等轴双曲线，设出方程，利用点在曲线上，点的坐标满足曲线的方程，求得结果.【详解】（1）根据题意，所求双曲线的实轴长10，虚轴长8，可得，则有，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为：；（2）根据题意，双曲线的焦距是10，虚轴长为8，可得，则，所以，又因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为：；（3）根据题意，双曲线的离心率，即，则有，所以，所以该双曲线为等轴双曲线，设其方程为，又因为双曲线经过点，则有，则，所以双曲线的标准方程为：.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的标准方程的求法，属于基础题目.5.求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．【答案】.【解析】【分析】根据等轴双曲线可设为，点代入直接求解即可.【详解】设所求的等轴双曲线的方程为：，将代入得：，即，所以等轴双曲线的标准方程：6.m，n为何值时，方程表示下列曲线：（1）圆；（2）椭圆；（3）双曲线？【答案】（1）；（2），，且；（3）【解析】【分析】（1）若方程表示圆，则，即可得答案.（2）若方程表示椭圆，则，，且，即可得答案；（3）若方程表示双曲线，则，即可得答案.【详解】（1）若方程表示圆，则，所以当时，方程为圆；（2）若方程表示椭圆，则，，且，所以当，，且时，方程为椭圆；（3）若方程表示双曲线，则，所以当时，方程为双曲线.7.求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程.【答案】【解析】【分析】根据题意双曲线方程可设为，可得关于a，b的方程组，进而求出a，b的数值即可求出双曲线的方程.【详解】依题意，双曲线的焦点坐标是，，故双曲线方程可设为，又双曲线的离心率，∴解之得，故双曲线的方程为.【点睛】思路点睛：该题考查圆锥曲线的综合，解题方法如下：（1）根据椭圆方程，求得椭圆的焦点；（2）设出双曲线的方程，根据双曲线的离心率，以及椭圆中的关系，列出方程组，求出a，b的值；（3）最后写出双曲线的方程.8.当m变化时，指出方程表示的曲线的形状．【答案】，当时，表示轴；当时，表示轴；时，方程表示以原点为圆心的单位圆；或时，方程表示双曲线；且时，方程表示椭圆；【解析】【分析】根据题意，分类讨论求解即可得答案；【详解】解：对于方程，当时，方程为，即，表示轴；当时，方程为，即，表示轴；当且时，方程为，若，即时，方程为圆，，表示以原点为圆心的单位圆；若，即或时，方程表示双曲线；若且时，即且时，方程表示椭圆；综上，当时，表示轴；当时，表示轴；时，方程表示以原点为圆心的单位圆；或时，方程表示双曲线；且时，方程表示椭圆；9.相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程．【答案】炮弹爆炸点在双曲线上，方程为.【解析】【分析】在适当位置建系，根据题意，可得，根据双曲线定义，可得a，c，进而可得b，即可得点M的方程.【详解】以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则，设爆炸点为，则，根据双曲线的定义可得，M在双曲线上，且，所以，所以，所以点M的轨迹方程为：.1.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹．解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，由此得．将上式两边平方，并化简，得，即．所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线（图）．图2.如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求．图解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为，．因为直线的倾斜角是30°，且经过右焦点，所以直线的方程为．①由消去y，得．解方程，得，．将，的值分别代入①，得，于是，A，B两点的坐标分别为，．所以．3.已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状．【答案】点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点.【解析】【分析】设，根据斜率之积是即可得出方程，判定形状.【详解】设，因为，所以，整理得，故点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点.4.直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，求离心率e．【答案】.【解析】【分析】联立，设，，由得.进而可得离心率.【详解】联立，得，设，，则，解得.所以，离心率.5.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？【答案】点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线，证明见解析.【解析】【分析】连接QA，由题意可得，所以，根据双曲线的定义，即可得答案.【详解】连接QA，如图所示：因为l为PA的垂直平分线，所以，所以为定值，又因为点A在圆外，所以，根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线.6.设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．【答案】动点M的轨迹方程为，为焦点在x轴，长轴为2a，短轴为2b的椭圆.【解析】【分析】设动点，设d为点M到直线l的距离，根据题意可得，化简整理，令，即可得动点M的轨迹方程，即可得答案.【详解】设动点，设d为点M到直线l的距离，由题意得，即，左右同时平方，化简可得，所以，令，所以，即，所以动点M的轨迹方程为，为焦点在x轴，长轴为2a，短轴为2b的椭圆.7.M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程．【答案】.【解析】【分析】首先利用点到直线的距离求，，利用面积为3，列式求轨迹方程.【详解】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域，所以点到直线的距离，到直线的距离，即所以动点M的轨迹方程：.8.从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且，，求此椭圆方程.【答案】【解析】【分析】根据椭圆方方程可确定点坐标，利用可构造方程求得，结合和椭圆的关系可构造方程求得，进而得到椭圆方程.【详解】由椭圆方程可知：，，设椭圆焦点，又，则，，，，整理可得：，又，，，，，此椭圆的方程为：.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解问题，解题关键是能够根据直线平行得到斜率相等关系，属于基础题.9.设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围．【答案】，【解析】【分析】根据题意，可得范围，进而可得的范围，根据椭圆、双曲线离心率的公式，化简整理，即可得答案.【详解】设椭圆和双曲线的焦半径分别为，由题意得双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以，10.已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？【答案】不能，证明见解析.【解析】【分析】当直线l垂直x轴时，可得直线l方程，经检验不符合题意；当直线l不垂直x轴时，设，利用点差法，假设点为线段AB的中点，可得直线l的斜率，进而可得直线l的方程，与双曲线联立，判别式，方程无解，l不存在，综合即可得答案.【详解】当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为x=1，又双曲线，右顶点为（1,0）在直线l上所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意；当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且，因为A、B在双曲线上，所以，两式相减可得，所以，若点为线段AB的中点，则，即，代入上式，所以，则直线l的斜率，所以直线l的方程为，即，将直线l与双曲线联立，可得，，故方程无解所以不存在这样的直线l，综上，点P不能是线段AB的中点.11.已知双曲线与直线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？【答案】答案见解析【解析】【分析】联立直线与双曲线方程，利用可得，求得点坐标，得出过点M且与l垂直的直线方程，即可表示出点，得出轨迹方程.【详解】联立方程可得，因为有唯一公共点且，则，整理得，可解得点坐标为，即，其中，于是，过点M且与l垂直的直线为，可得，即，则，即，其中，所以点的轨迹方程是（），轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点），如果将此题推广到一般双曲线，直线，其它条件不变，可得点的轨迹方程是，轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为的双曲线（去掉两个顶点）.三、抛物线部分的基础题1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点FF叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1）焦点是；（2）准线方程是；（3）焦点到准线的距离是．【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标可写出抛物线的标准方程；（2）根据抛物线的准线方程可写出抛物线的标准方程；（3）根据抛物线的焦点到准线的距离可写出抛物线的标准方程.【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，则，可得，所以，抛物线的标准方程为；（2）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，则，可得，因此，抛物线的标准方程为；（3）抛物线的焦点到准线的距离为，所以，抛物线的标准方程为或.2.填空（1）抛物线上一点M与焦点的距离是，则点M到准线的距离是________，点M的横坐标是________；（2）抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．【答案】①.a②.③.或【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义可得点M到准线的距离，写出准线方程即可得解；(2)写出抛物线的准线方程，设出所求点的坐标，列式即可作答.【详解】(1)由已知结合抛物线定义得点M到准线的距离是a；抛物线的准线方程为，设的横坐标，于是有，即，所以点M到准线的距离是a；点M的横坐标是；(2)抛物线的准线，设所求点坐标为，由(1)知，此时，即，所以所求点坐标这或.故答案为：(1)a；；(2)或3.填空题（1）准线方程为的抛物线的标准方程是________．（2）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）利用抛物线的性质得，得，从而求得抛物线方程.（2）利用焦半径公式求得该点坐标.【详解】解：（1）准线方程为，则，得，且焦点在轴上，故抛物线方程为；（2）设所求的点坐标为，抛物线上与焦点的距离等于6，则，得，代入抛物线方程得，故所求点坐标为.1.求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）关于x轴对称，并且经过点；（2）关于y轴对称，准线经过点；（3）准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4；（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线．【答案】(1).(2).(3).(4).【解析】【分析】(1)设出抛物线方程代入点的坐标即可求得抛物线方程.(2)先求得准线方程，利用准线方程求得的值，求得抛物线方程.(3)利用抛物线的几何性质求得，求得抛物线方程.(4)利用焦半径公式及抛物线的几何性质求解即可.【详解】(1)由题可设抛物线的标准方程为,.∵抛物线过点M(5,4),∴，则抛物线的标准方程为.(2)∵抛物线关于y轴对称,且准线过点E(5,5),∴抛物线的焦点在y轴正半轴上,设抛物线的标准方程为，由题知，抛物线的准线方程为,所以，得，抛物线的标准方程为.(3)抛物线的准线在y轴右侧，∴可设抛物线的方程为,∵抛物线顶点到准线的距离是4,所以，得，∴抛物线的标准方程为.(4)抛物线的焦点F在y轴负半轴，∴可设抛物线的方程为,∵抛物线经过横坐标为16的点,∴又FP平行于准线，∴∴∴抛物线的标准方程为.2.过点作斜率为1的直线l，交抛物线于A，B两点，求AB．【答案】【解析】【分析】直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式，计算求值.【详解】直线与抛物线方程联立，得，，设，得，，所以.3.垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，且，求直线AB的方程．【答案】x＝3【解析】【分析】先根据弦长求得A，B的坐标，代入抛物线方程可得．【详解】解：∵垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于A、B两点，且|AB|＝4，∴A（x，2），B（x，），代入抛物线方程可得：12＝4x，x＝3∴直线AB的方程为x＝3.4.已知抛物线上一点M与焦点F的距离，求点M的坐标.【答案】【解析】【分析】利用抛物线的定义可M点的横坐标，代入抛物线方程求出M的坐标，再利用斜率公式求解即可.【详解】因为抛物线上一点M与焦点F的距离，所以，所以，进而有，所以点M的坐标为：当点M的坐标为时，直线MF的斜率为当点M的坐标为时，直线MF的斜率为综上可知直线线MF的斜率为或.故答案为：或5.从抛物线上各点向x轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线.【答案】；顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线.【解析】【分析】设出抛物线上的点M(x0，y0)及它向x轴所作垂线段的中点P的坐标，再探求出它们的关系即可作答.【详解】设抛物线上的点M(x0，y0)，过M作MQ⊥x轴于Q，设线段MQ中点P(x，y)，于是有，而，即，从而得，当M为抛物线顶点时，可视为过M作x轴垂线的垂足Q与点M重合，其中点P与M重合，坐标也满足上述方程，所以垂线段的中点的轨迹方程是，它是顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线.6.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()上，求这个正三角形的边长.【答案】【解析】【分析】设另外两个顶点的坐标分别为、，由图形的对称性可以得到，解此方程得到的值，从而可得结果.【详解】设正三角形的顶点、在抛物线上，且设点、，则，，又，∴，即，∴，又∵，，，∴，由此可得，即线段关于轴对称，∵轴垂直于，且，∴，∵，∴，∴.7.已知抛物线的方程为，直线l绕点旋转，讨论直线l与抛物线的公共点个数，并回答下列问题：（1）画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况？（2）与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？【答案】(1)相切或相交于一点；(2)相等.【解析】【分析】(1)在同一坐标系下，作出抛物线，再作过点P的一系列直线，观察所画图形即可得解；(2)联立直线l与抛物线的方程组，讨论方程组解的情况与观察图形所得交点个数比对即可得解.【详解】(1)直线l与抛物线的位置关系有相交、相切、相离三种，如图：其中相交时有相交于两个公共点和相交只有一个公共点(图中直线l0)，观察图形知，直线l与抛物线只有一个公共点时，直线l与抛物线相切(图中直线l1，l2)和相交于一个公共点(图中直线l0与x轴平行)；(2)直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，方程为，即，由消去x得：，k=0时，y=1，，方程组只有一个解，由图知直线l与抛物线相交，只有一个公共点，直线l的斜率为0；时，，或时，方程组有两个相同的实数解，由图知直线l与抛物线相切，只有一个公共点，直线l的斜率分别为；时，方程组有两个不同的实数解，由图知直线l与抛物线交于两点，直线l的斜率；时，方程组没有实数解，由图知直线l与抛物线相离，没有公共点，直线l的斜率；直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2，显然方程组没有实数解，由图知直线l与抛物线相离，没有公共点，直线l的斜率不存在，所以抛物线与直线l的方程组成的方程组解的个数与抛物线与直线l公共点的个数相等.1.经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线平行于抛物线的对称轴．分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可．图证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为，①点A的坐标为，则直线的方程为，②抛物线的准线方程是．③联立②③，可得点D的纵坐标为．因为焦点F的坐标是，当时，直线的方程为．④联立①④，消去x，可得，即，可得点B的纵坐标为，与点D的纵坐标相等，于是平行于x轴．当时，易知结论成立．所以，直线平行于抛物线的对称轴．2.如图，已知定点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，D，于点E，与相交于点P，求点P的轨迹方程．图336解：设点，，其中，则点E的坐标为．由题意，直线的方程为．①因为点M在上，将点M的坐标代入①，得，②所以点P的横坐标x满足②．直线的方程为；③因为点P在上，所以点P的坐标满足③．将②代入③，消去m，得，即点P的轨迹方程．3..点在抛物线上，F为焦点，直线MF与准线相交于点N，求．【答案】15【解析】【分析】先求出点M坐标，再求出直线MF方程，进而求出点N坐标即可得解.【详解】因点在抛物线上，则，即，而焦点，直线MF：