【解析】浙江省绍兴市柯桥中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

柯桥中学2019学年第二学期高二期中考试数学试卷一、选择题，则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求解集合，然后求.【详解】，解得，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查集合的交集，重点考查不等式的解法，属于基础题型.（是虚数单位），则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据完全平方和除法计算公式计算结果.【详解】原式.故选：A【点睛】本题考查复数的化简求值，属于基础计算题型.3.设{}为等差数列，公差，为其前n项和，若，则=（）A.18 B.20 C.22 D.24【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公差d表示出第11项，让其等于0列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值．解：由s10=s11，得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11即a11=0，所以a12（111）=0，解得a1=20．故选B考点：等差数列的性质点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数的周期为 B.函数为奇函数C.函数在上单调递增 D.函数的图象关于点上对称【答案】B【解析】【分析】由图像可知，再将点的坐标代入函数中求出的值，然后求解其周期、单调区间、对称中心可得答案.【详解】解：由图像可知，因为函数图像过点，所以，由得，因为，所以或，由图像可知图像向左平移超过了，即，所以，则由五点对应法得，得，所以，则的周期为，所以A错误；为奇函数，所以B正确；由，得，此时不是增函数，所以C错误；因为，所以不是函数的图像的对称中心，所以D错误，故选：B【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，根据条件确定函数的解析式是解决此题的关键，综合性较强，属于中档题.5.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】首先判断的单调性，再根据单调性判断充分必要条件.【详解】，函数是奇函数，并且在R上单调递增，所以时，，反过来，若满足时，根据函数是单调递增函数，所以，所以”是“”的充要条件.故选：C【点睛】本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型.（其中e为自然对数的底数）的图象可能是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判断函数零点，并判断零点左右的正负，排除选项，得到正确答案.【详解】由函数可知函数有两个零点，和，当时，，且时，，故排除B,C,D.满足条件的是A.故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，重点考查函数性质的灵活应用，属于基础题型，一般函数图象的识别，首先考查函数的定义域，零点，单调性，极值，特殊值等，一般都是排除选项，得到正确答案.，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，满足，连接交轴于点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得垂直于轴，，为的中点，运用直角三角形斜边中线为斜边的一半，结合双曲线的方程可得，再由勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】解：由题意可得垂直于轴，，因为为的中点，则为的中点，可得，由可得，即有，在直角三角形中，可得，即有，可得，即，由可得，，解得舍去），故选：C.点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质，注意运用直角三角形的性质和勾股定理，考查化简整理的运算能力．，，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得，可得函数是奇函数，并且可得函数在时单调递增，因此在上单调递增，利用单调性与奇偶性可得结果.【详解】，函数是奇函数，设在单调递增，设恒成立，在上是增函数，所以函数在上单调递增，是奇函数在上单调递增，在处连续，因此在上单调递增，，，，即.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性应用的，以及对数的运算、对数函数的性质、不等式的性质，意在考查推理能力与计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.满足，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由可知，再根据这个不等关系判断选项正误．【详解】由题得，则有，，故选C．【点睛】本题考查数列的递推关系，用到了放缩的方法，属于难题．与向量的夹角为钝角，，且当时，取最小值．向量满足，则当取最大值时，等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】设，，，如图：∵向量，的夹角为钝角，∴当与垂直时，取最小值，即．过点B作BD⊥AM交AM延长线于D，则BD，∵||＝MB＝2，∴MD＝1，∠AMB＝120°，即与夹角为120°．∵，∴（）＝0，∴||•||•cos120°||2＝0，∴||＝2，即MA＝2，∵，∴的终点C在以AB为直径的圆O上，∵O是AB中点，∴2，∴当M，O，C三点共线时，取最大值，∵AB2，∴OB＝0C，∵MA＝MB＝2，O是AB中点，∴MO⊥AB，∴∠BOC＝∠MOA＝90°，∴||＝BCOB．故选：A．考点：向量运算、两个向量垂直．【思路点晴】本题考查了平面向量在几何中的应用，根据题目的已知条件，结合向量运算的几何意义作出符合条件的图形是解题的关键.作出图象后，寻找在什么位置取得最小值，计算出向量的夹角，及.由可知的终点在以为直径的圆上，结合图象，找出当取得最大值时的位置，由此求得结果.二、填空题的焦距为__________；渐近线方程为__________．【答案】(1).(2).【解析】由双曲线可知，故,焦距,渐近线:,故答案为(1)，(2).的前项和为，若，，且，，成等比数列，则________，________．【答案】(1).(2).12【解析】【分析】根据条件，，求出等差数列的通项公式，再求出前项和，再根据，，成等比数列求出.【详解】设等差数列的公差为，则由得，即，解得，则，．由，，成等比数列得，即，解得．故答案为：；12【点睛】本题考查等差数列的概念与求和公式及等比数列的性质，根据题意确定等差数列的通项是解题的关键．为的外心，角，，的对边分别为，，.若，的值为______，______.【答案】(1).；(2).0.【解析】【分析】设三角形的外接圆半径为，将已知的等式变形后，左右两边平方，由为三角形的外心，得到，再利用平面向量的数量积运算法则计算，可得出的值；由，利用平面向量的数量积运算，即可求出的值.【详解】解：设外接圆半径为，则，由，得：，平方得：，则，即则；因为，.即.故答案为：；0.【点睛】本题考查平面向量的数量积运算和利用平面向量的数量积求夹角，以及向量在几何中的运用，考查化简运算能力．，若，则______.若有六个不同的单调区间，则的取值范围为______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用定义判断出函数为偶函数，可求得的值，令，可知函数在上有两个极值点，即函数在上有两个不同的零点，利用二次函数的零点分布可得出的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】，该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，则.令，则，由于函数有六个不同的单调区间，则函数在上有两个极值点，即函数在上有两个不同的零点，且，由二次函数的零点分布得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：；.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，同时也考查了利用函数的单调区间求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】由可推出，即，故利用基本不等式，结合“乘1法”即可求出的最值.【详解】由题可知，则由角平分线性质和三角形面积公式可得：，化简得，即，所以，当且仅当即时取等号.故答案为：.【点睛】本题考查了三角形和基本不等式的综合应用，属于中档题，在应用基本不等式时，注意遵循“一正二定三相等”原则.的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则______.【答案】【解析】【分析】可设，，根据双曲线的定义及是以为直角顶点的等腰直角三角形，得，，，求得.再在中，用勾股定理，得到关于的方程，运用离心率公式计算即可.【详解】解：设，，由，，又，，又，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，即，，在中，，，即，.故答案为：.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、方程和性质、考查离心率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题.是函数的导函数，若函数在区间上单调递减，则实数的范围是______.【答案】【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导函数研究原函数的单调区间，再二次求导得，从而得到的单调区间，由导函数在区间，上单调递增求出其值域，将函数的单调性把问题转化为，即可列出不等式即可求出的范围.【详解】解：由函数，得，由，得或，函数的增区间为，，由，得，函数单调减区间为，由，则时，；时，，得的单调增区间为，单调减区间为，函数在上单调递增，函数在上的值域为，又函数在区间上单调递减，也就是函数在区间上单调递减，因此要满足条件，即，解得：，实数的范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据复合函数的单调性求参数取值范围，考查转化思想和运算能力，属中档题.三、解答题18.（1）（2）在中，已知，，且角，，满足.求角的大小和边的长；【答案】（1）2；（2），.【解析】【分析】（1）先切化弦，再用辅导角公式，分母用倍角公式等三角恒等变换化简求值；（2）对利用倍角公式，降次公式化简，可得，从而求得，再求余弦定理可求得的长.【详解】解：（1）=

（2）由，得，又，得，得，得，由，得，又，得，，得，即，【点睛】本题考查了三角恒等变换的化简与求值，辅助角公式，二倍角公式，降次公式，余弦定理，还考查了学生分析推理能力，运算能力，属于中档题.19.已知：二次函数的图象过点，且对任意实数均有成立.（1）求的表达式；（2）若奇函数的定义域和值域都是区间，且时，，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据函数过点和计算得到答案.（2）根据奇函数得到函数解析式，讨论和两种情况，计算得到答案.【详解】（1），，故，对任意实数均有成立.，故，即，故，，即.（2）当时，，，当时，，故，当时，函数在上单调递减，故，，解得；当时，，故，即，解得，验证满足.综上所述：或.【点睛】本题考查了求二次函数解析式，根据函数的值域求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，分类讨论是解题的关键.20.已知等差数列的公差为，前项和为，且．（1）求数列的通项公式与前项和；（2）将数列的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前三项，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）求等差数列通项公式，一般利用待定系数法，本题已知公差，因此只需确定一项即可：由利用等差数列性质得，，再根据等差数列广义通项公式得：，最后利用等差数列和项公式求前项和，（2）先根据题意确定数列的前四项抽取的是哪一项，再根据剩下三项，利用待定系数法求等比数列通项，然后利用错位相减法求数列的前项和为，对存在性问题及恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：，为二次函数，可根据对称轴求其最大值，需注意，而的最值，需根据数列单调性确定.试题解析：解：（1）为等差数列，且，，即，又公差，，．，．（2）由（1）知数列的前项为，，，，等比数列的前项为，，，，，，①，②①②得．，．，，且，时，．又，时，，存在，使得对任意，总有成立．，，实数的取值范围为．考点：等差数列通项及求和，错位相减法求和【名师点睛】一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意．(2)在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．21.如图，已知为抛物线上一点，斜率分别为，的直线PA，PB分别交抛物线于点A，B（不与点P重合）.（1）证明：直线AB的斜率为定值；（2）若△ABP的内切圆半径为.（i）求△ABP的周长（用k表示）；（ii）求直线AB的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）首先设直线PA的方程为，与抛物线联立，求得点的坐标，将，求得点的坐标，再求直线的斜率；（2）（ⅰ）利用弦长公式，分别求三角形三边长，（ⅱ）首先求点到直线的距离，再利用等面积公式转化方程求，最后求直线的方程.【详解】（1）设直线PA的方程为，与抛物线联立，得，易知，，所以直线AB的斜率（定值）.（2）由（1）得直线AB的方程为，所以点P到直线AB的距离.，，.（ⅰ）求的周长；（ⅱ）设的内切圆半径为r，则，，即，解得.所以直线AB的方程为.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，坐标法解决几何问题的思想，属于中档题型，本题的关键是利用方程联立求出点的坐标..（1）求函数的单调递增区间；（2）若方程有非负实数解，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，直接求函