数学第二单元一元一次方程

第二章一元一次方程

本章视点

视点1本章概述

本章知识在中学数学学习过程中起着不可替代的承上启下的作用，它既是对已学习的实

数、整式、一次方程（组）、分式方程等知识的巩固和深化，又是今后要学习的函数、指数、

对数和其他数学知识的重要基础.本章首先通过具体实例引入一元二次方程的概念和•股形

式，然后探索一元二次方程的解法一直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，以及

利用计算器估计一元二次方程的近似解的范围，最后重点探究了实际问题中的…元：二次方

程和利用一元二次方程解决具体问题.

视点2本章学习重难点

【本章重点】一元二次方程的解法，列一元二次方程解决实际问题.

【本章难点】根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程.

【学习本章应注意的问题】

1.注意观察、分析、归纳探究等能力的培养，在本章知识的学习中，遵循了“问题情

境一建立模型一拓展、应用”的模式.

2.注意数学知识与现实，生活的联系，无论是对一元二次方程的概念的理解，还是解

方程的技能训练都力求与实际问题的解决融为一体.

3.注意转化、归纳等数学思想方法的应用，解方程的过程就足一个沟通已知和未知的

过程，其本质是化归思想.

视点3中考透析

方程贯穿于初中数学内容的始终，它与实数的运算、代数式变形、函数等有关内容紧密

相关.方程知识是中考命题的热点，有关一元二次方程的概念问题，以填空题和选择题为

主.配方法是一种重要的数学方法，各地的考题都将其作为对数与代数部分考查的一个重点

内容，考查时通常以填空题或选择题的形式单独出现.但在中考中用配方法解一元一次方程

的题的出现较少.对于用公式法解一元二次方程，在近儿年中考中，多以列方程解应用题、

函数等知识为背景进行考查.而用因式分解法解一元二次方程单独成题，在近儿年中考中，

多以选择、填空题的形式出现.一元二次方程的应用是中考命题的热点.命题形式比较灵活,

既可单独成题，又可综合函数来命题，与经济有关的应用题（如增长、利润等问题）是近几

年中考的热点，题型包括填空题、选择题、解答题，解答题中许多题题与函数相关，综合性

较高，应用题主要考查收集和处理信息的能力、分析和解决问题的能力及创新实践的能力.

第1节花边有多宽

新课导读情景导入

【生活链接】《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所

立，甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行卜步而斜东北与乙会.问

甲乙行各几何

大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7,乙

的速度为3,乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向

走了一段后与乙相遇，那么相遇时.，甲、乙各走了多远?I

【问题探究】如右图所示，如果设二人从出发到相遇所用的时间为X那么利用勾股理

就可以列出方程：Gk2.

【点拨】解方程得x=3.5(x=0舍去).

教材解读精华要义

知识点1一元二次方程的概念重点；理解、掌握

定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.

知识拓展由一元二次方程的定义可知，只有同时满足以下三个条件：是整式方程；含

有一个未知数；未知数的最高次数是2.这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一

个条件的方程都不是一元二次方程.

探究交流下列方程哪些是•元二次方程？

I।2

0—x2-0；(2)—7——--1；③2x:-5xy+2y2=0；@x2+2x-3-x(x+1)；

2xx

⑤\[2x+1=x2

点拨①⑤符合定义，是一元二次方程；②分母中有未知数，不是整式方程；③含有

两个未知数；④去括号、移项、合并同类项后可变为x3=0,是一元一次方程.

知识点2一元二次方程的一般形式难点；灵活运用

一元二次方程的一般形式是4》2+公+。=0.它的特征是：等式左边是一个关于未知

数的二次多项式，等式右边是零.其中o?叫做二次项，。叫做二次项系数；以叫做一次

项，b叫做一次项系数;C叫做常数项.

知识拓展对于一元二次方程的一般形式应注意以下四点：

(1)“。#0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，因为方程a，+bx+c=0

只有当时•，才叫做一元二次方程.当〃=0,时，它是一元一次方程.反之，如

果明确指出方程。f+b+c=o是一元二次方程，那么就隐含了aWO这个条件.

(2)任何一个一元二次方程经过整理都可以化成一般形式.

(3)二次项系数、一次项系数和常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一

元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式.

(4)要分清二次项与二次项系数、一次项与一次项系数.

规律•方法小结类比思想：学习本节知识，可类比一元一次方程的概念和一般

形式，两者的联系与区别如下：

一元一次方程一元二次方程

•般形式ax+b=Oax1+bx~i~c=O(aWO)

相同点是整式方程，只含一个未知数

不同点未知数的最高次方数是1未知数的最高次方数是2

知识点3估计一元二次方程解的取值范E国重点；理解

在得到一元二次方程后，我们最关心的是它的解及其取值范围.可利用列表取值法判断

一元二次方程解的取值范围，具体步骤如下：(可使用计算器)

(1)列表，利用未知数的取值分别计算方程ax2+bx+c=0(a#0)中ax2+bx+c=0

的值；

(2)在表中找出使af+bx+c的值可能等于0的未知数符合要求的范围：

(3)进一步在(2)中的范围内列表、计算、估计范围，直到符合题中精确度要求为止.

知识拓展在估计一元二次方程解的取值范围时，当a¥+A+c(〃W0)的值由正变负

或由负变正时，x的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使ax2+bx+c=0

成立的x的值，即方程的解.

探究交流为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14m,而面

积是3300m2,求绿化后操场的宽的取值范围.(精确到十分位)

点拨设绿化后操场的宽为xm,根据题意，得x(x+14)=3300,整理得x2+14x

—3300=0.

列表：

X5050.1…50.850.951

-10088.59…8.163.4115

X2+4X-330

宽的取值范围是50.8a<50.9.

典例剖析触类旁通

基本概念题

例1下列关于x的方程：

@ax2+bx+c=0i②炉+5k+6=0：③且x?一变％一'=0；

342

2

④(m?+3)X+.\/3X-2=0；⑤*2一2%+'=0；⑥(x+l)(x-1)=x(2x+l)；

x

⑦L(x—1)=(2r+l)(-x-1).

24

其中一定是关于x的一元二次方程的是.(只填序号)

分析本题考查一元二次方程的定义及一-般形式.可根据一元二次方程的定义或一般形

式来分析关于x的方程，即方程中只有x是未知数，而其他字母都看成已知数.①不一定是

一元二次方程，因为当。=0时.，它不是一元二次方程.②没有未知数x,不是关于x的一

元二次方程.③中x的最高次数为3,不是一元二次方程.④中/+3>0,所以④为一元二

次方程.⑤分母中有未知数，方程不是整式方程，故不是一元二次方程.⑥化成一般形式为

+x+l=0,是一元二次方程.⑦化成一般形式为5x+4=0,不是一元二次方程.故填④⑥.

规律•方法判断方程是否为一元二次方程的方法有两种：

(1)根据定义判定.将方程进行去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，如果

能同时满足一元二次方程定义所包含的三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③

未知数的最高次数是2.那么这个方程就是一元二次方程，否则，这个方程就不是一元二次

方程.

(2)根据一般形式判定.将方程进行去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，

如果能化为一元二次方程的一般形式af+bx+c=O(aWO),那么这个方程就是一元二次方

程，否则，这个方程就不是一元二次方程.

例2把下列方程化成一般形式.并列表求出方程的二次项、一次项、二次项系

数、--次项系数和常数项.

(1)3x=2+x2(2)x(4x+5)-1=0.

分析本题主要考查一元二次方程的有关概念.

解：列表如下：

方程

3x=2+x2x(4x+5)-l=0

一般形式

厂—3x+2=04X2+5X-1=0

二次项

22

厂4x

一次项—3x5x

二次项系数14

一次项系数-35

常数项2-1

【解题策略】填写二次项系数、一次项系数和常数项时，不要漏写各项的符号.如果

一般形式中二次项系数是负数，最好将方程两边都乘以一1,使二次项系数变为正数，这样

对以后继续研究一元二次方程的有关问题有利，可以减少符号和计算方面的错误.

基础知识应用题

例3判断方程机2(f+m)+2x—x(x+2〃])-1是不是关于x的一元二次

方程.

分析对于含参数的整式方程，要判断它是不是一元二次方程，往往要对二次

项的系数进行讨论.

解：整理，得ZM?+机？+2x=x2+2机X—•1,

即1)x2+(2—2m)x+(w2+1)=0.

当机片1且m力—1时，有7#0,原方程是一元二次方程；

当机=1或机=—1时，二次项系数MJ?—"1=0,原方程不是一元二次方程.

例4求关于x的一元二次方程加2—2",+,"(，+1)=》的二次项系数、一次

项系数及常数项.

分析本题虽然没要求把原方程化为一般形式，但由于二次项系数、一次项系

数及常数项都是在一般形式下定义的，所以为了求出各项系数，必须先把原方程化为

一般形式.

解：将方程小2—2,n+m(x2+1)=x化为一般形式，得mx?—x+ma―"?=o.

因为已知原方程是一元二次方程，所以题中存在隐含条件mWO.

此方程的二次项系数为m,一次项系数为一1,常数项为加2—小

【解题策略】化原方程为一般形式时.，要明确哪个字母是未知数.写各项系数

时，要注意符号，如本题中的一次项系数是一1,而不是L

例5关于x的一元二次方程(〃-1)J+x+屋—■1=0的―一个根是x=0,则a

的值为()

T1

A.1B.-1C.1或一1D.-

2

分析由方程的根的意义可知,0使方程左、右两边相等，把x=0代入后可求出。的值注

意原方程为关于尤的一元二次方程，隐含了。-1#0的条件.把x=0代入方程，得/一=0,

a2=l,/.a=±I.又•.,。-IWO.'.a士l；.a=—1.故选B.

【解题策略】本题考查了一元二次方程的根的意义及定义中的条件.

综合应用题

例6已知关于x的方程（〃?+V3）xm1+2（m—1）x—1=0.

（1）机为何值时，原方程是一元二次方程？

（2）机为何值时，原方程是一元一次方程？

分析此题要根据•元二次方程及一元一次方程的定义确定力的值.（1）当用+上片

0,且,“2—1=2时，此方程为一元二次方程.（2）当m分别满足以下几个条件时，此方程

都是一元一次方程.①加+=0,且加一1W0：②机之一1=1,且加+Q+2（m—1）W

0；③机2-1=0,且2（加一1）70.

解：（I）要使（机+6）—1+2（；„—［）x-1=0是一元二次方程，

，r-

则必须满足Jm+V3*°-解得加=G

m2—1=2.

所以当〃2=6时，原方程是一元二次方程.

（2）若使原方程为一元•次方程，则应分以下儿种情况进行讨论:

/m+V3=0及力㈤rr

①<解得m=-J3

加一1w0

加2—1=1r

②「解得加=±垃

加+j3+2（小一1）。0

m2—1=0

解得加=-1.

2（机一1）。0

所以当机=一或±J5或-1时.，原方程是一元一次方程.

【解题策略】讨论关于X的方程是不是一元二次方程或一元一次方程的问题，关键要

考虑两点：（1）未知数的最高次数；（2）最高次项的系数是否为0.

例7估计方程/一〃一1=0的正数解的取值范围.（精确到0.01）

分析将方程左端列表、试值，然后逐步缩小范围.

解：列表试值如下：

X…-2-101234・・・

X2-2x—1.・・72-1-2-127・・・

从表中可见，能使/-2r-l=0的x的值有两个，其取值范围为一l<x<0或2Vx<3.

根据题意，得x的正数值的取值范围为2Vx<3.

继续列表如下：

X22.22.42.62.83

%2-2x—1-1—0.56-0.040.561.242

可见使2r—1=0的x的正数值的取值范围为2.4<x<2.6.

继续列表如下：

X2.402.452.502.552.60

%2—2x—1-0.040.10250.250.40250.56

可见/一公一1=0的X的正数值的取值范围是2.40<x<2.45.

继续列表：

X2.402.412.422.432.442.45

x2-2x-l-0.04-0.01190.01640.04490.07360.1025

所以方程的正数解精确到0.01时，取值范围为2.41cxV2.42.

【解题策略】估计方程近似解时，可以利用计算器或通过观察尝试找出未知数的大致

取值范围，然后逐步估计.

探索与创新题

例8（探究题）你家的窗户是什么形状？

先看下面的问题：

用一根8m长的木料做成一个长方形的窗框，设这个长方形的长为xm.

（1）这个长方形的面积S=；

（2）根据上式完成下表：

X0.511.51.922.12.533.5

S

（3）你发现了什么？

分析由题意准确地写出（1）中的表达式和（2）中的数据，然后由数据探究其规律.

解：（1）—X2+4X

（2）S的值从左至右依次为：1.75,3,3.75,3.99,4,3.99,3.75,3,1.75.

（3）当长与宽相等时，S的值最大，即当窗户为正方形时，面积最大.

解题策略本题是通过计算得出结果，然后观察一列数据的特点发现一般规律，这就要

求我们在日常生活中多观察.通过本题得到一个结论：周长相等的矩形和正方形中，正方形

的面积最大.

例9若、2"。+3%"4+1=0是关于犬的一元二次方程，求a,b的值.下面是两位同学

的解法.

7/7+h=2f/y=1

甲：根据题意得解得

a-b-\/?=0.

2。+/?=2,a=1,a=1

乙：根据题意得《<

a-b=1,[b=-1.

你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果都不正确，请给出正确的答案.

分析甲仅考虑了第一项的未知数的次数为2,第二项的未知数的次数为1的情况，乙

仅考虑了甲的一种情况及第一项的未知数的次数为1，第二项的未知数的次数为2的情况，

忽略了第一、二项的未知数的次数都为2,第一项未知数的次数为2,第二项未知数的次数

为0及第一项未知数的次数为0,第二项未知数的次数为2的情况.

解：均不正确，考虑不全面.

欲使+3x"4+1=0是关于x的一元二次方程,

2。+/?=2,2。+Z?=22。+/?=22a+h=0

a-b=2,a-b=Oa-b=2a-b=2

解得《

b=-\

【解题策略】用分类讨论思想解题时，思考一定要严密、全面，不能遗漏任何一种情

况.根据一元二次方程的定义可知"和的指数至少有一个为2,因此共有五种情况.

易错疑难辨析纠错释疑

易错点写一元二次方程各项的系数时，易出现符号错误

易错点解读要明确一元二次方程各项的系数，必须先将原方程化简，写成一

元二次方程的一般形式.值得注意的是符号问题，若一般形式中二次项系数是负数，

应把方程两边都乘以一1，化负为正.

例1写出方程3尤2="+5的二次项系数、•次项系数及常数项.

错解1：二次项系数是3,一次项系数是2,常数项是5.

错解2：将已知方程化为一般形式是一次一5=0,所以二次项系数是3,一次项系数

是2,常数项是5.

分析错解1产生错误的原因是求一元二次方程的各项系数时，没有将方程化为一般形

式，得到错误的答案.错解2虽然将方程化为一般形式，但写一次项系数和常数项时;漏掉

这两项的符号.

正解：将已知方程化为一般形式是3x2一入一5=0,所以二次项系数是3,一次项系数

是一2,常数项是一5.

易错点判断一元二次方程时，易忽略“二次项系数不为0”的条件

易错点解读在利用一元二次方程求字母的值时，一定要注意以2+公+°=（）中〃彳。的

条件.

例2当机为何值时，方程（机-1）x"''i+2mx+3=0是关于x的一元二次方程？

错解：要使该方程是关于x的一元二次方程，未知数的最高次数必须是2,即,/+[=2,

所以加=±1.

因此，当旭=土1时，方程（加-1）£"汩+2机犬+3=0是关于X的一元二次方程.

分析上述错解错误的原因是没有考虑二次项的系数，“-1W0这个前提条件，事实上，

当机=1时，二次项的系数机-1=0,原方程变为2x+3=0,它不是一元二次方程.

正解：因为方程（机—1）X"'"+2MX+3=0是关于x的一元二次方程，

解得“=-1,

所以当相=-1时，方程(山一1)x"'4+2加工+3=0是关于x的一元二次方程.

中考解读点击中考

中考命题总结与展望

一元二次方程的概念以及应用等有关知识一直是中考考查的热点,题型主要是填空题和

选择题，以后的中考试题将侧重对一元二次方程的概念和微形式等基础知识的考查.

中考真题解读与预测

例1(2009•武汉)已知x=2是一元二次方程犬2+狙共+2=0的一个解，则加的值是()

A.-3B.3C.OD.0或3

分析把x=2代入原方程，得到关于机的方程4+2m+2=0,解得m=-3.

故选A

例2(2009•兰州)2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重

的一场金融危机.受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价“％后售价为148

元，下面所列方程正确的是()

A.200(1+。％)2=148B.2002=148

C.200=148D.200(1一1％)=148

分析在200元基础上降价一次的价格为200(1—a%),再降价一次的价格为200(1

—a%)(l-a%).故选B.

【解题策略】一般地，若商品原价为。元，连续两次降价后价格为b元，平均降价百

分率为x,则有a(1—x)2=h.

例3(2009•鄂州)某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，

设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是()

A.50(1+x)2=182B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182

C.50(l+2r)=182D.50+50(1+x)+50(l+2r)=182

分析四月份生产50万个，五月份比四月份增长x,为50(1+x),六月份又比五月份

增长工，为50(1+x)2,.•.第二季度共生产零件50+50(1+x)+50(l+2x)=182.故

选B.

课堂小结本节归纳

1.知识结构及要点小结

’概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程

一元二次方程<一般形式：ax2+hx+c=0(a=0)

解的估算

2.解题方法及技巧小结

(1)定义法：判定一元二次方程的常用方法.

(2)一般式法：判定一元二次方程和确定二次项系数、一次项系数及常数项的方法.

习题全解课本习题

随堂练习

1.解：设直角三角形的三边长依次为x,x+1,x+2,则x?+(x+1)2=(x+2)2,

即f-2r—3=0.

2.解：一般形式为5』+36x-32=0.二次项系数为5,一次项系数为36,常数项

为一32.

习题2.1

1.解：(1)设这个正方形的边长是xm(x>0),根据题意，得(x+5)(x+2)=54,

即X2+7X-44=0.(2)设三个连续整数依次为x,x+1,x+2,根据题意，得x(x+1)+

x(x+2)+(x+1)(x+2)=242,即x2+2x-80=0.

2.解：答案不唯一，下表给出一种答案.

方程一般形式二次项系数一次项系数常数项

3f=5x-13x2-5x-13-51

(x+2)(x—1)=6X2+X-811-8

4-7X2=07X2-4=070-4

3.解：设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，根据题意，得

x2=(x-4)2+(x-2)2,即/一1缄+20=0.

陵堂练习

1.解：设这五个连续整数依次为X,x+1,x+2,x+3,x+4,根据题意，得f+(X

+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4),即/一&-20=0,可列表如下.

X-3-2-1・・・91011

X2-8X-20130-11・・・-11013

所以x=-2或x=10,因此这五个连续整数依次为:-2,—1,0,1,2或10,11,12,13,14.

习题2.2

1.解：设苗圃的宽为xm,则长为(x+2)m,根据题意，得x(x+2)=120,即f

+2x—120=0.

列表如下.

X01234567891011

x+2x~l2Q-120-117-112-105-96-85-72-57-40-21023

所以苗圃的宽为10m,长为12m.

2.解：能.设矩形的宽为xm,则长为(--x)m,根据题意，得x(-—x)=15,即

22

x?—8+15=0列表：

所以矩形的宽为3m,长为5m.

3.解：根据题意,得10+2.5t—5t2=5,即2t2-t—2=0.列表如下.

t0123

2r-t-2-2-1413

所以lVt<2.进一步列表如下.

t1.11.21.31.4

2J-2—0.68-0.230.080.52

所以1.2<t<1.3,因此，他最多有1.3s完成规定动作.

自我评价知识巩固

1.下列方程是一元二次方程的是()

A.(x-1)x=x2B.&+1=3xC.2r2+-+l=0D./=I

X

2.下列各一元二次方程是一般形式的是

A.6X2=10+5XB.5X-6X2-10=0C.6?-5x-10=0D.I0+5X+6X2=2A+1

3.下列方程不是整式方程的是

A.--#——=1B.0.2X3—0.4A--=0

22

4.方程8x?=x的二次项系数是,•次项系数是,常数项

是.

5.方程(x-3)Q+3)=0的二次项系数是,一次项系数是,常数

项是______

6.关于x的方程kx?—k(x+2)—x(x+1)+6,当k时，这个方程是一元二

次方程.

7.方程(机-1)x2+(m+1)x+3〃?+2=0,当m时，为•元一次方程；当

m时，为一元二次方程.

2009

8.已知a是方程『一2009x+1=0的一个根，试求/一20084+-.的值.

a2+l

9.当A为何值时，关于x的方程(k-3)x?-3日=去一2小+34为一元二次方程？写

出二次项系数、一次项系数和常数项.

10.改11(3«+l)f+2履=-3是关于x的一元二次方程，并且不等式

23

成立，试求k的取值范围.

11.在一张纸条上写着一个形如f+px+g=0的一元二次方程，小明和小新两位同学争

着看这道题，结果小纸条被撕成两部分，小明手里拿着的是』+px,小新手里握着的是+夕

=0.小明不告诉小新。的值，小新不告诉小明q的大小，老师分别看了两人手里的p和4

值后说，这个方程有一个根是p的相反数.这时，小明马上说老师所说的这个方程的根是3.求

出p,q的值.

12.小强家的餐桌面是长160厘米、宽100厘米的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面

积是桌面的2倍，且使四周垂下来的边等宽.小强想帮妈妈求出四周垂下来的边宽.如果设

四周垂下来的边宽为x厘米，那么所列方程应该是什么？

评价标准

1.D[提示：A经整理后无二次项，B,C均不是整式方程.]2.C[提示：一般形

式为ax2+bx+c^0(aWO).]3.D[提示：整式方程的两边是含有未知数的整式.]4.8

—10[提示：一般形式为8x?—x=0.]5.10-3[提示：可化为》2—3=0.]6.W1[提

示：二次项系数k—1W0.)]7.=1提示：一元二次方程的二次项系数不为0.]

8.解：若a是方程』一200%+1=0的一个根，贝IJ〃2-2009〃+1=0,所以/+1=2009°,

200920091

a2=2009a-1,所以a2-2008a+——=2009a-1-2008a+——=a-1+—=

6!"+1Cl~+1Cl

jl=2009〃-J2008.

9.提示：首先将关于x的一元二次方程化为一般形式，再

aa

由。片0这个必要条件求出k的值，然后写出方程的各项系数.解：将原方程化简、整理，

得（女一1）/一4履一3k=0,由二次项系数4一1#0,得所以当时，原方程为一

元二次方程，二次项系数为k—1,一次项系数为一必，常数项为一3k.

,1

3%+1H0y

：.k的取值范围是L且AW-,

10.解：依题意得«火一14A+1解得《

-153

3吟

11.解：依题意，可知x=-p和x=3都是方程x2+i«+q=0的根，由根的定义可知

p1-p2+q=0,<7=0

解得

9+3p+q=0,p=-3

12.提示：本题的等量关系是桌布的面积等于桌面面积的2倍.解：根据题意列方程,

得（160+2。）（100+2a）=160X100X2.

第2节配方法

新课导读情境引入

生活链接有这样一首诗：一群猴子分两队，高高兴兴在游戏.八分之一再平方，蹦蹦

跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮.告我总数共多少，两队猴子在一起.

大意是说：•群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的！的平方，另一队猴子数是

8

12,那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？

问题探究如果没这群猴子共有X只，那么分成的两队的猴子数分别为（3x2和12,而

8

这两队猴子数之和等于这群猴子的总数，即（3X2+]2=X,整理得方程/一64X+768=0,

8

这个一元二次方程的解就是这群猴子的总数了.

点拨由X2-64X+768=0,可得（x-32）2=256,即工一32=±16,解得x,=48,

%2=16.

教材解读精华要义

知识点1直接开平方法重点；掌握

定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法.

直接开平方法的理论依据是平方根的定义.直接开平方法适用于解形如（x+a）2=b（b

的一元二次方程.根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当时，x+a=

±4b,BPx=—a±4b；当b<0时，方程没有实数根.

知识拓展方程（x+a）2=6,当方＞0时，有两个不相等的实数根；当6=0时、有

两个相等的实数根.从而可知，若a=b时，有一根为0,另一根为一2〃，千万不要把0

这个根漏掉.在解决实际问题时，要考虑使实际问题有意义.

知识点2配方法难点；理解

J解一元二次方程时，先把方程的常数项移到方程的右边，再把它的左边配成一个含

有未知数的完全平方式的形式，即将方程化为（x+a）2=b的形式.如果右边是一个非负

常数，这样就可以应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法就星配方法.

知识拓展（1）配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，

而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.

（2）配方法的理论依据是完全平方公式（*+〃）2=/±2«6土/，把公式中的。看成耒

知数x,并用x代替，贝I」有』±29+户=（X±R2.

J配方法解一元二次方程的步骤：

（1）将方程化为一般形式.

（2）方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.

（3）移项：把常数项移到方程的一边，使方程的一边为二次项和一次项，另一边为常

数项.

（4）配方：在方程的两边各加上一次项系数一半的平方，使左边能化成完全平方的形

式.

（5）求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用直接用开平方法求解；如果右边是

负数，那么指出原方程无实根.

知识拓展（1）运用配方法的前提是把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二

次方程，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.

（2）通过配方法解一元二次方程可以发现：当方程一边配成了关于未知数的完全平方

式后，如果另一边是一个正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根，如果另一边是零，

那么这个方程就有两个相等的实数根,如果另•边是•个负数，那么这个方程就没有实数根.

典例剖析触类旁通

基本概念题

例1解方程4（x—l）2=9.

分析先把方程化为（X+a）?=b的形式，再开平方.

解：方程两边都除以4,得（x—l）2=乙

4

.,3

开平方得X-1=±—

2

解得X1=—，X2———

22

规律•方法用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即

正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

例2解方程2?=4x—1.

分析本题主要考查一元二次方程的解法.因为所给的方程不是（x+a）2=b（b20）

的形式，所以不能用直接开平方法解此方程，可考虑利用配方法解此方程.

解：将方程变形，得2?-4x=—l.

方程两边都除以2,得》2一女=一二

2

配方，得x2-2r+l=-」+l,即(x-1)2=~

22

方程两边直接开平方，得x-i=±Y2

+叵,昱

22

【解题策略】在运用配方法解一元二次方程时，一般应先将含有未知数的项移到方程

的左边，以便观察、配方.

例3用配方法解下列方程.

(1)X2+8X-9=0；(2)3?+8x-3=0.

分析当二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次

项系数一半的平方，把左边配成完全平方，变成(x+〃?)2=n(n20)的形式，再用直接开

平方法求解，当二次项系数不是1时，先将二次项系数化为1,再用配方法解方程.

解：(1)移项，得，+⑥=9,

配方，得f+8x+42=9+42(两边同时加上一次项系数一半的平方)，

即(x+4)2=25,

开平方，得x+4=±5,

即x+4=5或x+4=—5.

所以Xi=l,-9.

Q

(2)两边同除以3,得f+—欠一1=0,

3

8

移项，得¥9+2元=1,

3

配方，得x2+|x+g)2=l+(g)2(两边同时加上一次项系数一半的平方)，

即(x+§2=g)2

451

开平方，得x+—=土一，所以不=一，必=一3.

333

规律•方法用配方法解一元二次方程，化二次项系数为1是关键的一步，在进行配方

时，方程左右两边必须同时加上•次项系数泮的平方，一次项系数的符号决定了左边的完

全平方式中是两数差的平方还是两数和的平方.

基础知识应用题

例4方程f-6匹+8=0的两个根分别是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周

长为

A.8B.10C.8或10D.不能确定

分析本题考查一元二次方程的解法和等腰三角形的性质.方程x2—6x+8=0的两

根分别是2和4,若2是底，4是腰，则周长为2+4+4=10,若2是腰，4是底，而2+2

=4,不能构成三角形，不存在这种情况.故选B.

例5已知x=-2是方程。a?/一2r—6=0的一个根，求a的值.

分析本题既考查了方程的根的定义，又考查了开平方法解一元二次方程.

解：把戈=—2代入方程/r?—2x—6=0,得4/+4—6=0.

.•.4〃2=2..\a2=—

2

..a=±----

2

例6已知f—4x+y2+6y+13=0,求x~~y的值.

分析本题主要考查配方法.注意“若几个非负数相加和为0,则各非负数的值均为0”

的运用.

解：由原式，得(f-4x+4)+(y2+6y+9)=0,

即(x—2)2+(y+3)2=0.

.'.x=2且y=-3..,.x—y=2—(—3)=5.

【解题策略】当一个方程中含有两个或多个未知数时，通常用配方法，将其写成几个

非负数的和等于。的形式，再用非负数的性质解题.

综合应用题

例7(实际应用题)某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后降至每

件32.4元.

(1)若该商店两次调价降价率相同，求这个降价率；

(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件，若该商品原来每月可销售500

件，那么经两次调价后，每月可销售该商品多少件？

解：(1)设降价率为x,根据题意得40(1-x)2=32.4,解得由=1.9(不符合题意，

舍去)，x2—0.1=10%.所以降价率为10%.

(2)设两次调价后，可多销售y件，根据题意，得一0,2_=W,解得=380,则

40-32.4y

500+380=880(件).所以经两次调价后。每月可销售商品880件.

规律•方法对于平均增长率问题，一般情况下，起点是寻找百分率.假设基数是a,

平均增长率为x,增长的次数为n(一般是n=2),增长后的量为b,则有表达式

a(1+x)类似的还有平均降低率问题，同时要注意区分“增”与“减”.如人口的减

少、利率的降低、汽车的折旧等，都是在原来基数上减少，不能与增加混淆.

探索与创新题

例8"国运兴衰，系于教育"，如图2—1所示的统计图给出了我国从1998〜2002年每

年教育经费投入的情况.

6

0OO

5O00

4O00

3000

OOO

20000

1

(1)由图可见，1998〜2002年