函数的零点与方程的解高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的零点与方程的解年级：高一年级学科：数学（人教A版）我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的根就是相应二次函数的零点.像

这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢?一、新课引入一般地，对于二次函数

，我们把

的实数

叫做二次函数

的零点.复习

二次函数的零点定义问题1：你能类比二次函数的零点得出一般函数零点的定义吗？定义

对于一般函数

，我们把使

的

实数

叫做函数

的零点.函数的零点函数的零点不是几何意义上的点，而是实数.思考：函数的零点是点吗？二、新课讲解函数的零点与方程的解

函数

的零点就是方程

的实数解，

也就是函数

的图象与

轴的公共点的横坐标.方程

有实数解

函数

有零点函数

的图象与

轴有公共点（代数意义）（几何意义）研究方程

的解，有两种角度：角度一：（代数法）公式直接求方程

的解.角度二：（几何法）不能用公式求解的方程

可以利用相应函数

的图象和性质

找出零点，从而得到方程的解.数学思想：数形结合、转化与化归、函数与方程对于函数

，观察它的图象，发现它在区间

上有零点.（1）函数图象与

轴有什么关系？

零点附近，函数图象是连续不断的，并“穿过”

轴.（2）如何用具体的函数值来刻画这种关系？探究

在

内有零点

在

内有零点问题2：若函数

在区间

上有

，

则函数

在区间

内一定有零点吗？0yxbB0yxaA请你用几条连续函数曲线连接如图所示的A、B，观察所画曲线与x轴的关系：函数零点存在定理如果函数

在区间

上的图象是一条连续不断的曲线，且有

，那么，函数

在区间

内至少有一个零点，即存在

，使得

，这个

也就是方程

的解.问题3：若函数

在区间

上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间

内有零点，能得到

吗？“函数

在区间

上连续，且”是“函数

在区间

内有零点的充分不必要条件.

问题4：如果函数

在区间

上的图象是连续不断的一条曲线，并且

，则函数

在区间

内有零点.请问有几个零点？零点个数不确定xyOab0yx追问：增加什么条件可以使得函数在区间

上有唯一的零点？函数在区间

上是单调的函数零点存在定理的推论如果函数

在区间

上的图象是一条连续不断的曲线，且有

，若函数

是单调函数，则函数

在区间

内有且仅有一个零点，即存在唯一的

，使得

.例

求方程

的实数解的个数.设函数

，利用计算工具，列出函数

的对应值表，并画出函数图象.xy1-42-1.306931.098643.386355.609467.791879.9459812.0794914.1972三、例题讲解由表和图可知，

，

，则.由零点存在定理可知，函数

在区间

内至少有一个零点.容易证明，函数

是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程

只有一个实数解.例

求方程

的实数解的个数.因为

，

所以在区间

上，有

，由零点存在性定理可知，函数

在区间

内至少有一个零点.容易证明，函数

是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程

只有一个实数解.

另解：例

求方程

的实数解的个数.原方程可化为：

令

，.则原方程解的个数问题可转化为

和

图象的公共点个数问题.画出

和

的图象，可知两函数图象只有一个公共点，所以方程

只有一个实数解.另解：解题小结：方程

的解的个数

的零点的个数函数

与

轴公共点的个数

①解题小结：方程

解的个数

方程

解的个数

函数

和函数

图象的公共点个数②问题5：能否进一步缩小函数

零点所在的范围？四、课堂小结函数的零点

对于一般函数

，我们把使

的

实数

叫做函数

的零点.四、课堂小结函数的零点方程

有实数解

函数

有零点函数

的图象与

轴有公共点四、课堂小结函数的零点函数零点存在定理如果函数

在区间

上的图象是一条连续不断的曲线，且有

，那么，函数

在区间

内至少有一个零点，即存在