行列式的主要性质

行列式的主要性质行列式称为行列式的转置行列式.

表示符号:DT或求法:将原行列式的各行的元顺次变为按列排列后所得到的行列式;

或:以对角线为对称轴,对应的各元素互换位置后所得记【转置行列式】一、概念及性质第2页,共32页，2024年2月25日，星期天性质1行列式与它的转置行列式相等证明按定义又因为行列式D可表示为故证毕表述之二:

行列式的行与列顺次互换，其值不变表述之三:

行列互换,其值不变第3页,共32页，2024年2月25日，星期天说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2互换行列式的两行(列),行列式变号，即第4页,共32页，2024年2月25日，星期天证明设行列式B是由行列式变换两行得到的,在B中任取一项,并将其各元按B中的自然顺序排列成:

因此它在B中的符号是显然项(*)也是A中的项,且按A中行的自然顺序排列它的元,则该项目应为:于是第5页,共32页，2024年2月25日，星期天则有|B|=-|A|证毕例如又由于B中不同的项也是A中不同的项,于是:第6页,共32页，2024年2月25日，星期天在计算行列式时,可以使用如下记号以便检查:符号规定2、第i行(或列)提出公因子k

记作ri

k(或ci

k)

1、交换i

j两行记作ri

rj

交换i

j两列记作ci

cj

3、以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上

记作ri

krj(ci

kcj)

第7页,共32页，2024年2月25日，星期天推论如果行列式有

两行（列）完全相同，

则该行列式为零，即互换相同的两行，有证明第8页,共32页，2024年2月25日，星期天性质3如果行列式某一行(列)有公因子k时，等于用数k乘此行列式.推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.注:第i行(或列)提出公因子k

记作ri

k(或ci

k)

注:

第i行(或列)乘以公因子k

记作ri

k(或ci

k)

第9页,共32页，2024年2月25日，星期天性质4

(i)行列式的某行(列)的元全为零;(ii)行列式的两行(列)完全相同;(iii)如果行列式有两行（列）成比例，若上述条件之一成立,则该行列式为零。第10页,共32页，2024年2月25日，星期天性质5如果行列式某行(列)的所有元素都是两数之和，则该行列式为两行列式之和，即+

第11页,共32页，2024年2月25日，星期天性质６

把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变．例如第12页,共32页，2024年2月25日，星期天推论:当某一行(或列)的元素为两数之和,行列式关于该行(或列)可分解为两个行列式;

若n阶行列式的每个元素都表示成两数之和,则可分解为2n个行列式之和.例如第13页,共32页，2024年2月25日，星期天说明：行列式的6个性质(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).利用上述性质对行列式进行行变换，可以化简行列式的计算，计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用行列式关于行或列的三种运算(ri

rj、ri

k、

ri

krj

)或(ci

cj、ci

k、ci

kcj

);(3)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值;(4)降阶法.(行列式展开定理,见第6节).二、行列式计算方法及实例分析第14页,共32页，2024年2月25日，星期天课本例题p12例题1计算行列式解:第15页,共32页，2024年2月25日，星期天例2计算行列式解:

法1:(按行变换)将第一行减去第二行,第三行减去第四行得到:法2:(按列变换)

将第三列加到减去第一列,第四列减去第二列得到:（第一、三行成比例）

性质4(iii)（第一、二列成比例）性质4(iii)第16页,共32页，2024年2月25日，星期天例3计算2n行列式

其中未写出的元素为0解:将D2n中的第2n行依次与第2n-1行、…、第2行对调(做2n-2相邻对换),再把第2n列依次与第2n-1列…第2列对调,得到:第17页,共32页，2024年2月25日，星期天根据例10结果,有:以次作为递推公式,即得:第18页,共32页，2024年2月25日，星期天例3求解分析:法1

利用三角形行列式性质求解

第19页,共32页，2024年2月25日，星期天第20页,共32页，2024年2月25日，星期天第21页,共32页，2024年2月25日，星期天第22页,共32页，2024年2月25日，星期天物电学院线性代数第23页,共32页，2024年2月25日，星期天物电学院线性代数例4计算解法1:利用行列式性质4(iii)

第24页,共32页，2024年2月25日，星期天物电学院线性代数例4计算解法2:利用三角形行列式性质第25页,共32页，2024年2月25日，星期天例5计算n阶行列式解法1行列式的主对角线上的元全为a，其余全为b,现将2,3,…,n列都加到第一列上,然后提出第一列的公因子a+(n-1)b,得到:第26页,共32页，2024年2月25日，星期天解法2将D的第2,3,…,n行均减去第一行,得到:第27页,共32页，2024年2月25日，星期天解法3将D的各列表为两个子列之和,得到:将上式展开有2n项行列式之和，其中：

1）每个行列式的列仅为原行列式中该列的一个子列，这些行列式若有两列均为原行列式的第一子列则为零，去掉为零的行列式后还有n+1个行列式。

2）仅有一列为第一子列的行列式n个，

每列均为第二子列的行列式1个。第28页,共32页，2024年2月25日，星期天仅当第j列是原行列式中对应的第一子列，而其他列为原行列式的第二子列，则行列式为：且这类行列式共有n+1个.将其第j行的（-1）倍加到行列式的各行上，于是，得到上三角形行列式：第29页,共