行波法积分变换法

行波法积分变换法第三章行波法、积分变换法Fourier变换积分变换法:

通过积分变换,将偏微分方程的某些定解问题化为常微分方程定解问题来求解。

在这一章中，我们将介绍求解数学物理问题的方法，行波法与积分变换法.

行波法又称为达朗倍尔方法，它是求解无界域内波动方程定解问题的一种有效的方法。Laplace变换第2页,共43页，2024年2月25日，星期天第一节一维波动方程的达朗倍尔解法(行波法)

物理解释：

认为弦很长，考虑远离边界的某段弦在较短时间内的振动，其中给定初始位移和速度，并且没有强迫外力作用。它可用来描述弹性体的振动、声波、电磁波等波动的传播。一、一维波动方程的达朗倍尔解：考虑无界弦的自由振动问题：第3页,共43页，2024年2月25日，星期天给我们以启发，通过适当的变量代换，令将泛定方程改写成以下形式：方程化为只含二阶混合偏导数的下述标准形式：

第4页,共43页，2024年2月25日，星期天

回到原来的变数x及t，立即得到泛定方程的解的一般形式即其通解为其中F及G为任意的单变量的二阶连续可微函数。

由式可见，自由弦振动方程的解可以表示为形如F(x+at)与G(x-at)的两个函数之和。第5页,共43页，2024年2月25日，星期天其中u=F(x+at)表示一个在初始时刻t=0时为u=F(x)的波形，以速度a>0向左（即x轴反向）传播，而波形保持不变，它称为左传播波；

u=G(x-at)则表示以速度a向右传播的波，称为右传播波。方程的形如u=F(x+at)或u=G(x-at)的解称为行波。右传播波左传播波第6页,共43页，2024年2月25日，星期天弦振动方程的通解表达式说明:

弦上的任意扰动总是以行波的形式向左右两个方向传播出去。

下面我们看到，通过把方程的解表示为右传播波和左传播波的迭加，可用来求定解问题的解。这个方法称为行波法。第7页,共43页，2024年2月25日，星期天代入初始条件，可得（1）

（2）将（1）式两端关于x

求导一次，得（3）由（2）、（3）两式，解得第8页,共43页，2024年2月25日，星期天再将以上两式关于x积分一次就得到其中c1与c2是常数。由c1+c2=0.得到第9页,共43页，2024年2月25日，星期天这个公式称为达朗贝尔公式。最后我们可得第10页,共43页，2024年2月25日，星期天举例，求解弦振动方程的柯西问题由达朗贝尔公式可得其解为：第11页,共43页，2024年2月25日，星期天.Fourier变换设是定义在R上的函数，且则可以展开为Fourier级数其中第二节一维定解问题的积分变换法第12页,共43页，2024年2月25日，星期天傅里叶积分定理:设f在内满足下面两个条件：（1）积分存在；（2）f(x)在内满足狄里克莱条件：在任意有限区间至多有有限个第一类间断点,而且只有有限个极值点，则若左端的f(x)在它的间断点x处，第13页,共43页，2024年2月25日，星期天定义：如果f(x)满足傅里叶积分定理的条件，则定义f(x)的傅里叶变换为

称为的象函数，

定义的傅里叶逆变换为称为的象原函数。第14页,共43页，2024年2月25日，星期天Fourier积分定理可以写为称为反演公式以下举例说明第15页,共43页，2024年2月25日，星期天例1.求函数的Fourier变换第16页,共43页，2024年2月25日，星期天例2.求函数的Fourier变换第17页,共43页，2024年2月25日，星期天Fourier变换的性质Fourier变换及其逆变换是线性变换2.位移性质设

，则

或第18页,共43页，2024年2月25日，星期天3.相似性质4.微分性质第19页,共43页，2024年2月25日，星期天5.积分性质6.对称性质特别地,若当时,

则

第20页,共43页，2024年2月25日，星期天7.卷积性质如果对于f(x)与g(x),使得存在，则定义f(x)与g(x)的卷积为第21页,共43页，2024年2月25日，星期天卷积定理（1）或（2）第22页,共43页，2024年2月25日，星期天证明第23页,共43页，2024年2月25日，星期天第24页,共43页，2024年2月25日，星期天用积分变换法求解定解问题思路：选择适当的变换定解问题对泛定方程取变换对定解条件取变换含参变量的常微分方程方程的边界条件解常微分方程的定解问题未知函数的像函数取逆变换像原函数这就是定解问题的解第25页,共43页，2024年2月25日，星期天第26页,共43页，2024年2月25日，星期天第27页,共43页，2024年2月25日，星期天第28页,共43页，2024年2月25日，星期天第29页,共43页，2024年2月25日，星期天第30页,共43页，2024年2月25日，星期天拉普拉斯变换拉普拉斯变换是与傅立叶变换类似的，通过积分实现的变换.对于函数为函数拉普拉斯变换，该积分为拉普拉斯积分，1.定义：

第31页,共43页，2024年2月25日，星期天2.拉普拉斯变换存在定理:若函数满足下列条件：的任意有限区间上分段连续；在使得即存在常数时，的增长速度不超过某一指数函数,当成立，则的拉普拉斯变换对一切的一定存在，其中c称为函数的增长指数第32页,共43页，2024年2月25日，星期天拉普拉斯逆变换又称原函数为像函数第33页,共43页，2024年2月25日，星期天举例(1)求(2)求(3)求第34页,共43页，2024年2月25日，星期天(4)求第35页,共43页，2024年2月25日，星期天3.性质(1)线性性质若和，则例求同理第36页,共43页，2024年2月25日，星期天(2)微分性质证明一般地，第37页,共43页，2024年2月25日，星期天(3)积分性质证明设故由于故第38页,共43页，2024年2月25日，星期天(4)相似性质(5)位移性质第39页,共43页，2024年2月25日，星期天(7)卷积定理f(x)和g(x)的卷积则有第40页,共43页，2024年2月25日，星期天例二、设有一条半无限长各向同性的均匀导热杆，杆与周围介质绝热，不考虑热源，它的有界的一端(）温度的变化情况为已知，并假设在初始时刻时杆上温度为，研究杆上温度分布随时间变化的规律。

它可表为以下的定解问题：(用拉普拉斯变换求解)考虑作关于时间变量的拉普拉斯变换Laplace变换应用第41页,共43页，2024年2月25日，星期天表示函数的拉普拉斯变换：

表示函数的拉普拉斯