2022年吉林省四平市统招专升本数学自考真题(含答案)

2022年吉林省四平市统招专升本数学自考

真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.

5.已知F(..r.y)=ln(l+.r2+y2)+i.[尸(.r,y)d-rd.y*其中D为坐标平面上的有界闭

区域且义工…)在D上连续.则F(z.y)在点(1,2)处的全微分为()

1919

A.甘心+yd>'B.ydj'+y+/(1,2)

7171

C.w(lr+-r-dj>D.-ir+—d,y+/(1,2)

OOuO

2.

解常微分方程/一2》'+丁=的过程中.特解一般应设为()

A.y'=(Ar2H-)eJB.»*=Are'

C._y*=Ae*D.y'=.r2eJ(Ar+B)

3.

，设二元函数N=/+了/+y3.则=()

A.3y2B.3/2C.2yD.2JC

4.

下列方程是一阶微分方程的是()

A.2y”[Iy=0B.(7«r—6y)&rI(x\?)d>=0

C.(j)2+Jcy^)C=0D.(/)2+5(/)2y5+r7=0

5.

函数/(x)=xe?的一个原函数尸(x)=()

A.e/B.elC.—ex2D.Inx

2

6.

若(/)dr=x2+C,贝"x•f(1—x2)d=

)

A.-2(l-^2)2+CB.2(1-X2)2+C

C.-y(l-a-2)2+CD.y(l-J-2)2+C

7.

-ylny=0满足=6的特解为

#-1

Jrx

A.y=e+1B.y=e，C.y=CeD.j=e-1

8.

已知级数＞＞，“，则下列结论止确的是)

N=I

A.若limij=0.则2〃八收敛

"■*rr=I

B.若的部分和数列｛S,J有界.则£即收敛

“=I(t=L

C.若2Iu„|收敛.则£“,，绝对收敛

JI=1般=I

D.若£|/I发散，则也发散

9.

若/(工)有原函数e",则j/(«r)(lr=()

A.eJ(l—j')|-CB.—e”(1—1)IC

C.e^l+j')ICD.-eJ(lIx)jC

10.

(y=sin/*.

曲线广(/为参数)在？=■对应点处切线的方程为()

kr=2cos?4

A.1=1B.y=1C.y=攵+1D.y=%-1

11.

设上fO时.ea"-e，与工"是同阶无穷小.则”为()

A.5B.4C.yD.2

12.

设函数/(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(。))内可导，且f(a)=/0),则曲线

y=/(x)在Q,b)内平行于x轴的切线()

A.不存在B.只有一条・

C.至少有一条D.有两条以上

13.

若『⑴二/⑴物下列等式中,正麻勺一个是(

e

_=/(x)

A.」

rw

d[/(z)cLr]=/(JC)

B.~

z

F(JC)CIJT=/(JC)

①

c.

/•

d[/(JT)djr]=/(JT)+C

D.

微分方程位=e2'-＞的通解为(

)

ax

A.eJe,=C

C.-e2x-e^=CD.e2,+e?=C

14.2

15.

.设a.8为非零向量,且a_Lb.则必有()

A.\a+b\=\a\+\b\B.\a-b\=\a\—\b\

C.\a+b\=\a-b\D.a+b=a—b

16.

设函数f⑺的定义域为［0,□,则函数/(lu)的定义域为()

A.(―oo,+oo)B.口.曰D.(0.c1

已知y=y(x)由方程?Jsiny=0所确定，则字=()

ax

cosy-y

A..B.———

2金cosy-2砂

V+2初D

Lz・/

17cosycos^+2xy

18.

anana\32ali2%［-3。］2/

若行列式。=ai\aTLa23=1,则。］=2a2i2%-3a22%=()

a3l%2。332%2%—3%2a33

A.12B.—12C.6D—6

19.

./'(j)=0是曲线f(.r)的图形在X==/处有拐点的()

A.充分必要条件B.充分条件非必要条件

C必要条件非充分条件D.既非必要条件也非充分条件

20.

2一1

已知4=.则AT=()

-53

(31](21]

A.B.

5253

3-K(2-B

C.D.

|-52)一53j

21.

设fCr)=2工手一5/，则函数f(力()

A.只有一个极大值B.只有一个极小值

C.既有极大值又有极小值D.没有极值

22.

下列极限存在的是()

A.lim一寸)B.lim7—^--

…2“-1

%呼(工

C.lime7

.r-*U

23.

5Z

函数，=cos(e)的复合过程是()

A.y=cos"u,u=e0,77=eu,w=x1

B.y=cosJ〃，〃=e'=x2

C.丁=〃'，〃=cose",d=e”,3=f

2

D.3/=〃,w=cost?,u=eu»w=e，,p=工一

24.

f21-P

已知矩阵4=-1-32.则尸(/)=()

、34-3,

A.0B.1C.2D.3

25.

设/（丁）=也在，则工=0是f（H）的（）

X

A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点

26.

复吗-争

的主辐角为()

A红B.4

33

c一三D

♦3--T

27.

x=ln(l+力，则虫=()

已知参数方程，

y=arctanZ,dx

D.1

A.tB.2，C.一

t2t

28.

已知/为3阶矩阵，且行列式»|=2,则行列式卜341=（）

A.-4B.4C.-54D.16

29.

11&42>。2>0},则二重积分14"曲=

.设D={(/,?)()

A.167rB.8以

C.4jtD,3K

30.

设j/Ddr=F(H)+C,则jz4*。+6)tLr=()

A.F(az*+6)+CB.^F(ar2+Z>)

C.jF(^rJ+A)+CD.+b)+C

二、填空题(20题)

产=

311f8jr

32设函数>=1+册"dy=.

设a为常数,则级数£(答一看)的敛散性为

幕级数Z«x"T(|x|<1)的和函数是一

34.•

设/'(2)=J则极限lim八2：架；£02=

35-20ln(1+//)

若函数/(x)=泥2"贝4xfn{x^x=

微分方程Vsinx-ycosx=0满足初始条件y\x_1=2的特解是

37.2

38.

现有10张奖券,其中8张为2元,2张为5元，今某人从中随机地无放回地抽取3张.则

此人得奖金额的数学期望为

幕级数X（2"+l）r的收敛域为

39.

卜T+V+N-4=0♦(X-2y-z-1=0*

直线一、与直线」的位置关系为

[j0-j—z—2=0|x-y—2z=0

ri_______

从定积分的几何意义求积分=

41..-1

42.

设随机变量S〜N(O,1),且有①(1.645)=0.95,0(0)=0.5,则P{。<f<1.645}=

设函数/（X）=cos—d/,求攵)=

43.J0

44.

函数/（.r）=.r2-.r-2在区间［0,2］上使用拉格朗日中值定理时，结论中的

45.

设向量a=(1,1,—1}"=(1,—1,—1},则aX6=

z=.2，则一十

46.办‘川

47设旧产j：++7,则y(j-)

48.

设H是八阶矩阵,E是〃阶单位矩阵，且A?-.4—3/=0,贝！|(.4-2£尸=

设f(z)=z(jr+l)(jr+2)…(jr+〃)，则/“(0)=

49.

50函数V=1彳+1的反函数为.

三、计算题(15题)

51.

过点M(3,0)作曲线y=ln(i—3)的切线，该切线与此曲线及i轴围成一平面图形D.

试求平面图形。绕之轴旋转一周所得旋转体的体积.

判定级数£/可您萍的敛散性.

52.

求不定积分］,如，.

53」-2才一一‘

设z=(/)，其中/(«)可导，求彳,।»手？

求lim——--re'd九

、r—k0"I—p-，-0

55.

56.

过曲线y=上某点A作切线.若过点A作的切线,与曲线y=喘及.T轴围

成的图形面积为:，求该图形绕I轴旋转一周所得旋转体的体积V.

1L

]尸

—；r2—arctan/d/

求极限lim-年--------

x-»0工

sin/ck

57.Jo

58求极限的KUl—心卜

ln(1+广)山

计算lim-0

J7—*01-cos(2.r)

59.

求极限lim.以一百加二

60LOH“arcsm?

cX>

求某级数Z(〃+2M"在其收敛区间内的和函数.

61.LD

求极限lim」——U

J-H-CCarccotjr

62.

求不定积分[1％2”工

63.

64.

•OlOn-)On

设An-111,B=jl11,矩阵X满足X=AX+B.求X.

.-1ooj[11J

设方程sin(2x+3y-5z)=2x+3丁一5z确定二元隐函数z=z(x,y),

证明包+包=1.

65.小%

四、证明题(10题)

66.

证明方程lni='-「/1-cos21nh在区间(e,eD内仅有一个实根.

eJo

67已知f(1)=*——3々—1.求：

(1)函数/(J)的凹凸区间；

(2)证明方程八］)=0在(1,2)内至少有一个实根.

68.

设函数/&)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(I)=1,证明，在(0,1)内至少存在

一点&使得/(*十红'")一23=0成立.

69.

设/(力在［1,2］上连续，在(1,2)内可导，且/(1)=1，/(2)=2,证明存在

“。,2),使得，&)=丝身.

设eVaVVe?，证明In2/?—In2a>3(b—a).

70.&

证明:方程Y-4f+1=0在区间(0,1)内至少有一个根.

71.

设0<a4〃，证明不等式与且<ln-<匕2

72.ba

73.

设/Q)在［0.1］上连续,在(0,1)内可导.且2，/(_r)d_r=/(0).证明：存在SS(0.1).

使/''⑸=0.

设eVaV〃Ve?，证明In"?—In2a〉*(b—a).

74.e-

证明不等式e”>兀二

75.

五、应用题(10题)

76.

求曲线V=1。才在区间(2,6)内的一点，使该点的切线与直线x=2,0：=6以及

y=In/所围成的平面图形面积最小.

证明：对I>0,有之产>1+(.

77.0

78.

某公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每

增加100元时，就会多出一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花费200元的维修

费*试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

79.

求由直线，=1,才=e,y=0及曲线y=-所围成平面图形的面积.

X

求介于=2',、=弓•与》'=2①之间的图形面积.

80.

81.

某房地产公司有50套公寓要出租•当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去，当月

租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修

费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

82.

设八丁)在0，刈二阶可导，且f(6)=0,又设F(z)=(工-4产”工)，证明在(a/)内

至少存在一点3使F'(@=0.

证明：对.r>0,有。^>1+(.

83.“

84.

求由曲面之=M/，与平面r+y=1,及三个坐标面所围成立体的体积.

85.

一曲线通过点（e，3）且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求：

（1）该曲线的方程；

（2）该曲线与2轴及直线z=e?所围成的图形绕V轴旋转一周所成旋转体的体积.

六、综合题（2题）

86.G的面积；

87.

已知函数/（X）满足方程+/"（/）—2/0）=0且（工）+/（jr）=2e".

（D求表达式fCrh

（2）求曲线y=/Us）£/（-f）df的拐点.

参考答案

1.A

【精析】因为行,y）<Lrdy是一个常数，所以dF（x.y）=一号」+

1+-厂+yz

1上21上zdy.故dF（工，y）|=gcLr+伊dy

1+1+yI（1.2）33

2.D

【精析】微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为产-2厂+1=0.即「=1为二

重特征根，由于人工）=母乙故特解形式应设为y*=>e，（Ar+8）,故选D.

%=3M+；=W（3V+y）=2y.故应选C.

3c土「r/xdyJv

4.B

［答案］B

【精析】微分方程的阶数是方程中未知函数y的导数的最高阶数，可知A项为2阶,B

项为1阶,C项为4阶,D项为2阶.

c

【评注】本题考查用换元法求不定积分，

5c)/(X版=jxe'djcngje"d(x2)=；e'+。，所以选C.

6.C

【精析】L«f(i-x2)dx=-^-［y(i-x2)d(i-xz)=T(iTy十c

J乙J乙

7.B

【精析】方程分离变量得半=里，两边积分得Inliny|=InZ1十仁，即'=68,

yInyx

乂由y|=e得C=1•故特解为y=e“.

I±H1

［答案］C

【精析】A项中若““=工，结论不成立；

〃

B项中若〃“=(-1Y.结论不成立；

D项中若u,.=(-D"上,结论不成立；

n

8c由绝对收敛的定义知<,项正确.

9.B

【精析】因为，(Z)=(e，)'=e，,

所以xf(J)dT=1re*cLr=ze*—e*ckr=xex—eJIC,故应选B.

10.B

［答案1B

dv

dz7=

【精析】由于票=_2TX

d

/糙

切线方程为》=U

11.A

［答案1A

【精析】因为ez，1=一飞*"'"1］,当上-►0时口1~COSJT21)

〜才(一1■)•由于e，一—e"■与z"同阶无穷小，所以n=5,故选A.

12.C

13.A

1n

【精析】d]/⑴如二/⑴iz做选项B和选项网不正加；F&)ic=FCr)+C,

MV

蟆孤髓.

C

14c【评注】本题考查的是变量可分离的微分方程的通解.

15.C

【精析】因为a，b.以a.b为斜边的平行四边形是矩形，对角线相等,

即|a+b|=\a-b\，故应选C.

16.B

【精析】/(.r)的定义域为[0.1],对于/(lu)来说应满足04lmrW1，即

故应选B.

17.B

B

【评注】由隐函数的求导公式，电=-&=-----2——=--——，选B.

dxFy2孙-cosycosy-2xy

D

%%J】一招2马3pi为「%2%

=*21次「4%

【评注】4=20n%

kl物1一阳2%3

阿i%1-羽2®

18.D

19.D

【精析】曲线的拐点只能是二阶导数为零或者不存在的点,所以r(.ro)=o不是曲

线/(])的图形在①=①。处有拐点的必要条件.反之＜^0)=0•此时/(I)在①=10

处不一定有拐点，故应选D.

20.A

L答案」

21.C

［答案］C

【精析】函数/⑺的定义域为R/(i)=(2/-5/)'=当•写』•令/⑺=°，

5Jr

得函数有一个驻点工=1和一个不可导点上=0,则由下表知.1=0为极大值点g=

1为极小值点，故选C.

X(—8.0)0(0,1)1(1,+OO)

r(x)十不存在一0十

f(z)/极大值极小值/

22.A

【精析】lim=1,A正确；

J—Jf

limJ-=8,故B选项极限不存在；

u/-1

lime--=+8,lime：=0,故C选项极限不存在；

J-*u-t-*0

/'r^4-1

lim./:-------=+8,故D选项极限不存在.故应选A.

.1+—X.r

23.D

2

【精析】y=cos5(ec)的复合过程是y=J?,“=cosn,u==eJ/>=>,故应

选D.

24.C

25.B

因lim电包=lim吗在•2=2,故_r=0是/Cr)的可去间断点，故选B.

JJ-*OJCif。ZJT

26.C

_73

【精析】z=:一亨i,tan。=—p-=一阴,又a=y>=-y-V0,即点之在第

7

四象限，故Argz=一等.

O

D

dy(arctanr)_1

【评注】

改(ln(l+i2))2t

27.D

C

【评注】本题考查的是行列式的性质|-3/卜(-3)1力.

28.C

29.D

【精析】由二重积分的性质可知!|小”=41kbdy=4SD,SD为D的面积S=

30.D

［答案］D

【精析】+6)dLr—ax24-6)d(axs+6)=/F(S'+6)+C

31.

e-2

【精析】lim(二」产=lim(l+」产=lim(H--)-21=c2.

32.

dx

dx

解析：考查隐函数求微分，设F(x,y)=l+xe'-y,孚=-乌=丁史：

dxFyl-xez

33.

发散

34.

S(x)=(i^7,xs(~u)

•S(x)=^^，xe(7，l)

【评注】令S(X)=£«/T,对S(x)逐项积分，则有

”1

JS(x)dx=][之内1匕=£([nxn-1dx)=yx"+C=—+C，

I31/11=1'七1-x

11B

所以，贸力=丁=.注：本题考查级数求和公式」一=5>"及求和方法.

(1-方I台

35.

1

【精析】/(2+2A)-/(2)rf(2+2h)-/(2)2h

ln(l+A)=---------2hi^T+75

=lim2)..一义二

10LH10ln(1+/I)

=/'⑵・lim裂=2/(2)=1.

A-*0h

36.

2x2e2x+C

2x2e2x+C

【评注】Jxf"(x)dx=Jxdf'(x)=xf'(x)~jf'(x)^x.=f[x)+C,

/(x)=xe2x,/^)=62*+2xe2x=e2x(2x+l),

jxf"(x)dx=xe2x(2x+1)-XQ2X+C-Ix1^1+C.

37.

=2sinx

y=2sinx

【评注】y1sinx=ycosx»也sinx=ycosx，

攵=也”dx，两边同时积分得lny=lnsinx+lnC,由y=2得，C=2,于是

ysinxa

由少=。5人4，得到y=2sinx.

38.7

[答案17.8

【精析】得奖金额3的可能取值为6,9.12.E（»=6•P"=6)+9•P(^=9)+

12­P(£=12)=6次导+9义关3+12义%3=7.8.

V](iV](i

39.

(-1.1)

【精析】plim3|品”料兽一1.收敛半径R—工一

1.故幕级数收敛区间为

,r-»8Cln|Citi■ip

（—1.1）.又当.r——1时.幕级数为、（一1）"（2〃I1）.发散:当/—1时.每级数为

«=1

］（2〃I1）.发散•故事级数的收敛域为（一1.1）.

«=1

40.垂

［答案1垂直

ijkijk

【精析】J,=111=^0,2,—2}.s2=12-1={3.1.1}.

1-1-11-1-2

SS1-s,=0X34-2X1-2X1=。.故两直线垂直.

41.

7T

【精析】令y=，1-M〉0.由定积分的几何意义知，1—M表示由y

-i

4^3^•以及7轴所围成图形的面积.故'T77rd.r=4.兀.I?—9

-1LL

42.0

【精析】由正态分布的性质知P{0VSV1.645>=9(1.645)—9(0)=0.95—0.5=

0.45.

43.

3rcos.r

【精析】/'(.T)=(cosJd)=COS(,J,3)•3J2=3a2cos.rh.

44.

，［答案］1

【精析】由拉格朗日中值定理.知

/,(G_代b)-f(a=/⑵一/(0)

b-a2

0—(—2)_

=1.

2

1/(工)=2工一1,当-r=1时，有/'(1)=1，故4=1.

45.

-2i-2k

iJk

【精析】aXb=11-1

1-1-1

1-11-11i

=•/4-(―1)•j+•k=-2i—2A.

-1-11-11-1

46.

(2J'+x2y)^

上=e©+jye^,?三=++Mye"-v=(21+炉》)户.

3JCJdx3y~

47.

【精析】由于/（：）=*+1+

①7

于是是储=-+Ji+'.

48.

U+E）

解：＜2—4一3石=00（以一2石）（/+石）=石=（4一2石尸二（4+石）

49.

〃！

［答案］〃！

【精析】X（0）=lim）---八°）=lim（.r+l）（.r+2）…（才+〃）=〃!.

j-*uJC

50.

y=x3—1

【就】由y二5TLyER醺,y'二Ixy'T或反函敖为ylT,

iGR,

51.

【精析】设切线与曲线的切点为MoEJnCr。-3)),

由于，L，所以切线方程为

1

y—ln(i0—3)=(£—&),阳3处《：

To-3

//43+e%

区为切线珞讨占•所以焰件人卜之0

得须=e+3,

从而切线方程为y=!(工一3),第24题图

e

于是,所求旋转体的体积为

1「3+e

V=—7rXI2Xe—it(ln(jc-3))2djc

3J4

令Z=I-3Trpree_

------------Kt(\ntY—2ln?dz

3|_iJi

=/—底+2n(“皿-Id)=27(1—I).0

52.

【精析】因为(/“；；尸V焉=.，而级数£,是1=2的p-级数,由比较判

别法知，所给级数是收敛的.

53.

［精析］\.=f_",

2

Jx/5—2JT一JV6—(+1)

Lr

=arcsin"±1+C・

54.

【精析】令"=2,则孕=W(")+xyfr(.u)(一4]=yf(u)—二/'("),

JCdx\JC)JJ

=jcf(u)-\-xyf'(.u}•—=xf(u)4-yfr(.u).

所以2、学+)勺=2jy/(w)=2z.

HE办

55.

*r2

ddf“洛必达法则

【精析】•je，d/=lim工^=—limE—■■-■--lime'=-l.

,r-*0]——u0LQ—1~.r-*0X,r-*0

56.

【精析】如图.设A点坐标为殳“，正).由y'=2z,得I，

Iy=x'

切线方程为y—曷=2石)(N一q)或m=[-了+1，/

52/

由已知*=［；（全y

所以才“=1.A点的坐标为（1,1）,切线方程为2.r—y

-1=0,切线与了轴交点为传，（））.于是

V=n.r1cb—7r

第24题图

arctan/d/

1-arctana，

=lim

2Jsin.r2

sin?d?

aretan。

TP

58.

1|.Hlnx-JC+1Inx

=lim----

—1loz盟(x—Dlnx

zInjx—1

xlnjr1十Injr1

=lim!再2+laz

J-»1xInz+x-12"

59.

'lx

ln(l+%)ck

_o_______________Ind+2r)•2•2

【精析】原式=lim-=lim1lim

J⑵)2=1.

if0LO41rz-»04x

Li

60.

原式=lim匚普

L。JC

61.

【精析】因为lim4H=10然^=1,所以塞级数的收敛半径氏=1,故幕级数

R-.8dnWE（n।Z）

的收敛区间为（一l.D.

当工e（-1,1）时,

X（N+2）3=X（/十4"+4）Z”

0w-»0

，•8E

=夕九"+4—比"+4/H"

川—。号―。n-O

coco

=工2”?尸+472nl'I+4

»t=0e=0'N

e（».

=ZX（皿”）'+4^2Q"）'+z——

广。|»-01~X

=《£”+㈣斗）+总

8T

f（"次i）"（E'卜d

z2-3z+4

（1-z》♦（—1VNV1）.

62.

ln/1+-

lim-------—

工一七sarccotj;

1+/

=lim"

1十二

lim=1.

jr-T~gX（1+X）X-*+81।i

63.

【精析】卜e"d_r=-1-Jj：d(e2,r

=-齐普+%”4-C.

64.

【解析】X-AXIB=>(E-A)X=B->X=(E-A)'li

rl-1O-i

(E■■-•A)==J0-1

101

1-100On•1—10100.

10一1010=>01-1—110

101001.011-101

T-]0100

-1_]