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文档简介
2022年吉林省四平市统招专升本数学自考
真题(含答案)
学校:班级:姓名:考号:
一、单选题(30题)
1.
5.已知F(..r.y)=ln(l+.r2+y2)+i.[尸(.r,y)d-rd.y*其中D为坐标平面上的有界闭
区域且义工…)在D上连续.则F(z.y)在点(1,2)处的全微分为()
1919
A.甘心+yd>'B.ydj'+y+/(1,2)
7171
C.w(lr+-r-dj>D.-ir+—d,y+/(1,2)
OOuO
2.
解常微分方程/一2》'+丁=的过程中.特解一般应设为()
A.y'=(Ar2H-)eJB.»*=Are'
C._y*=Ae*D.y'=.r2eJ(Ar+B)
3.
,设二元函数N=/+了/+y3.则=()
A.3y2B.3/2C.2yD.2JC
4.
下列方程是一阶微分方程的是()
A.2y”[Iy=0B.(7«r—6y)&rI(x\?)d>=0
C.(j)2+Jcy^)C=0D.(/)2+5(/)2y5+r7=0
5.
函数/(x)=xe?的一个原函数尸(x)=()
A.e/B.elC.—ex2D.Inx
2
6.
若(/)dr=x2+C,贝"x•f(1—x2)d=
)
A.-2(l-^2)2+CB.2(1-X2)2+C
C.-y(l-a-2)2+CD.y(l-J-2)2+C
7.
-ylny=0满足=6的特解为
#-1
Jrx
A.y=e+1B.y=e,C.y=CeD.j=e-1
8.
已知级数>>,“,则下列结论止确的是)
N=I
A.若limij=0.则2〃八收敛
"■*rr=I
B.若的部分和数列{S,J有界.则£即收敛
“=I(t=L
C.若2Iu„|收敛.则£“,,绝对收敛
JI=1般=I
D.若£|/I发散,则也发散
9.
若/(工)有原函数e",则j/(«r)(lr=()
A.eJ(l—j')|-CB.—e”(1—1)IC
C.e^l+j')ICD.-eJ(lIx)jC
10.
(y=sin/*.
曲线广(/为参数)在?=■对应点处切线的方程为()
kr=2cos?4
A.1=1B.y=1C.y=攵+1D.y=%-1
11.
设上fO时.ea"-e,与工"是同阶无穷小.则”为()
A.5B.4C.yD.2
12.
设函数/(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(。))内可导,且f(a)=/0),则曲线
y=/(x)在Q,b)内平行于x轴的切线()
A.不存在B.只有一条・
C.至少有一条D.有两条以上
13.
若『⑴二/⑴物下列等式中,正麻勺一个是(
e
_=/(x)
A.」
rw
d[/(z)cLr]=/(JC)
B.~
z
F(JC)CIJT=/(JC)
①
c.
/•
d[/(JT)djr]=/(JT)+C
D.
微分方程位=e2'->的通解为(
)
ax
A.eJe,=C
C.-e2x-e^=CD.e2,+e?=C
14.2
15.
.设a.8为非零向量,且a_Lb.则必有()
A.\a+b\=\a\+\b\B.\a-b\=\a\—\b\
C.\a+b\=\a-b\D.a+b=a—b
16.
设函数f⑺的定义域为[0,□,则函数/(lu)的定义域为()
A.(―oo,+oo)B.口.曰D.(0.c1
已知y=y(x)由方程?Jsiny=0所确定,则字=()
ax
cosy-y
A..B.———
2金cosy-2砂
V+2初D
Lz・/
17cosycos^+2xy
18.
anana\32ali2%[-3。]2/
若行列式。=ai\aTLa23=1,则。]=2a2i2%-3a22%=()
a3l%2。332%2%—3%2a33
A.12B.—12C.6D—6
19.
./'(j)=0是曲线f(.r)的图形在X==/处有拐点的()
A.充分必要条件B.充分条件非必要条件
C必要条件非充分条件D.既非必要条件也非充分条件
20.
2一1
已知4=.则AT=()
-53
(31](21]
A.B.
5253
3-K(2-B
C.D.
|-52)一53j
21.
设fCr)=2工手一5/,则函数f(力()
A.只有一个极大值B.只有一个极小值
C.既有极大值又有极小值D.没有极值
22.
下列极限存在的是()
A.lim一寸)B.lim7—^--
…2“-1
%呼(工
C.lime7
.r-*U
23.
5Z
函数,=cos(e)的复合过程是()
A.y=cos"u,u=e0,77=eu,w=x1
B.y=cosJ〃,〃=e'=x2
C.丁=〃',〃=cose",d=e”,3=f
2
D.3/=〃,w=cost?,u=eu»w=e,,p=工一
24.
f21-P
已知矩阵4=-1-32.则尸(/)=()
、34-3,
A.0B.1C.2D.3
25.
设/(丁)=也在,则工=0是f(H)的()
X
A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点
26.
复吗-争
的主辐角为()
A红B.4
33
c一三D
♦3--T
27.
x=ln(l+力,则虫=()
已知参数方程,
y=arctanZ,dx
D.1
A.tB.2,C.一
t2t
28.
已知/为3阶矩阵,且行列式»|=2,则行列式卜341=()
A.-4B.4C.-54D.16
29.
11&42>。2>0},则二重积分14"曲=
.设D={(/,?)()
A.167rB.8以
C.4jtD,3K
30.
设j/Ddr=F(H)+C,则jz4*。+6)tLr=()
A.F(az*+6)+CB.^F(ar2+Z>)
C.jF(^rJ+A)+CD.+b)+C
二、填空题(20题)
产=
311f8jr
32设函数>=1+册"dy=.
设a为常数,则级数£(答一看)的敛散性为
幕级数Z«x"T(|x|<1)的和函数是一
34.•
设/'(2)=J则极限lim八2:架;£02=
35-20ln(1+//)
若函数/(x)=泥2"贝4xfn{x^x=
微分方程Vsinx-ycosx=0满足初始条件y\x_1=2的特解是
37.2
38.
现有10张奖券,其中8张为2元,2张为5元,今某人从中随机地无放回地抽取3张.则
此人得奖金额的数学期望为
幕级数X(2"+l)r的收敛域为
39.
卜T+V+N-4=0♦(X-2y-z-1=0*
直线一、与直线」的位置关系为
[j0-j—z—2=0|x-y—2z=0
ri_______
从定积分的几何意义求积分=
41..-1
42.
设随机变量S〜N(O,1),且有①(1.645)=0.95,0(0)=0.5,则P{。<f<1.645}=
设函数/(X)=cos—d/,求攵)=
43.J0
44.
函数/(.r)=.r2-.r-2在区间[0,2]上使用拉格朗日中值定理时,结论中的
45.
设向量a=(1,1,—1}"=(1,—1,—1},则aX6=
z=.2,则一十
46.办‘川
47设旧产j:++7,则y(j-)
48.
设H是八阶矩阵,E是〃阶单位矩阵,且A?-.4—3/=0,贝!|(.4-2£尸=
设f(z)=z(jr+l)(jr+2)…(jr+〃),则/“(0)=
49.
50函数V=1彳+1的反函数为.
三、计算题(15题)
51.
过点M(3,0)作曲线y=ln(i—3)的切线,该切线与此曲线及i轴围成一平面图形D.
试求平面图形。绕之轴旋转一周所得旋转体的体积.
判定级数£/可您萍的敛散性.
52.
求不定积分],如,.
53」-2才一一‘
设z=(/),其中/(«)可导,求彳,।»手?
求lim——--re'd九
、r—k0"I—p-,-0
55.
56.
过曲线y=上某点A作切线.若过点A作的切线,与曲线y=喘及.T轴围
成的图形面积为:,求该图形绕I轴旋转一周所得旋转体的体积V.
1L
]尸
—;r2—arctan/d/
求极限lim-年--------
x-»0工
sin/ck
57.Jo
58求极限的KUl—心卜
ln(1+广)山
计算lim-0
J7—*01-cos(2.r)
59.
求极限lim.以一百加二
60LOH“arcsm?
cX>
求某级数Z(〃+2M"在其收敛区间内的和函数.
61.LD
求极限lim」——U
J-H-CCarccotjr
62.
求不定积分[1%2”工
63.
64.
•OlOn-)On
设An-111,B=jl11,矩阵X满足X=AX+B.求X.
.-1ooj[11J
设方程sin(2x+3y-5z)=2x+3丁一5z确定二元隐函数z=z(x,y),
证明包+包=1.
65.小%
四、证明题(10题)
66.
证明方程lni='-「/1-cos21nh在区间(e,eD内仅有一个实根.
eJo
67已知f(1)=*——3々—1.求:
(1)函数/(J)的凹凸区间;
(2)证明方程八])=0在(1,2)内至少有一个实根.
68.
设函数/&)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且/(I)=1,证明,在(0,1)内至少存在
一点&使得/(*十红'")一23=0成立.
69.
设/(力在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且/(1)=1,/(2)=2,证明存在
“。,2),使得,&)=丝身.
设eVaVVe?,证明In2/?—In2a>3(b—a).
70.&
证明:方程Y-4f+1=0在区间(0,1)内至少有一个根.
71.
设0<a4〃,证明不等式与且<ln-<匕2
72.ba
73.
设/Q)在[0.1]上连续,在(0,1)内可导.且2,/(_r)d_r=/(0).证明:存在SS(0.1).
使/''⑸=0.
设eVaV〃Ve?,证明In"?—In2a〉*(b—a).
74.e-
证明不等式e”>兀二
75.
五、应用题(10题)
76.
求曲线V=1。才在区间(2,6)内的一点,使该点的切线与直线x=2,0:=6以及
y=In/所围成的平面图形面积最小.
证明:对I>0,有之产>1+(.
77.0
78.
某公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每
增加100元时,就会多出一套公寓租不出去,而租出去的公寓每套每月需花费200元的维修
费*试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?
79.
求由直线,=1,才=e,y=0及曲线y=-所围成平面图形的面积.
X
求介于=2',、=弓•与》'=2①之间的图形面积.
80.
81.
某房地产公司有50套公寓要出租•当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月
租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修
费,试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?
82.
设八丁)在0,刈二阶可导,且f(6)=0,又设F(z)=(工-4产”工),证明在(a/)内
至少存在一点3使F'(@=0.
证明:对.r>0,有。^>1+(.
83.“
84.
求由曲面之=M/,与平面r+y=1,及三个坐标面所围成立体的体积.
85.
一曲线通过点(e,3)且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求:
(1)该曲线的方程;
(2)该曲线与2轴及直线z=e?所围成的图形绕V轴旋转一周所成旋转体的体积.
六、综合题(2题)
86.G的面积;
87.
已知函数/(X)满足方程+/"(/)—2/0)=0且(工)+/(jr)=2e".
(D求表达式fCrh
(2)求曲线y=/Us)£/(-f)df的拐点.
参考答案
1.A
【精析】因为行,y)<Lrdy是一个常数,所以dF(x.y)=一号」+
1+-厂+yz
1上21上zdy.故dF(工,y)|=gcLr+伊dy
1+1+yI(1.2)33
2.D
【精析】微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为产-2厂+1=0.即「=1为二
重特征根,由于人工)=母乙故特解形式应设为y*=>e,(Ar+8),故选D.
%=3M+;=W(3V+y)=2y.故应选C.
3c土「r/xdyJv
4.B
[答案]B
【精析】微分方程的阶数是方程中未知函数y的导数的最高阶数,可知A项为2阶,B
项为1阶,C项为4阶,D项为2阶.
c
【评注】本题考查用换元法求不定积分,
5c)/(X版=jxe'djcngje"d(x2)=;e'+。,所以选C.
6.C
【精析】L«f(i-x2)dx=-^-[y(i-x2)d(i-xz)=T(iTy十c
J乙J乙
7.B
【精析】方程分离变量得半=里,两边积分得Inliny|=InZ1十仁,即'=68,
yInyx
乂由y|=e得C=1•故特解为y=e“.
I±H1
[答案]C
【精析】A项中若““=工,结论不成立;
〃
B项中若〃“=(-1Y.结论不成立;
D项中若u,.=(-D"上,结论不成立;
n
8c由绝对收敛的定义知<,项正确.
9.B
【精析】因为,(Z)=(e,)'=e,,
所以xf(J)dT=1re*cLr=ze*—e*ckr=xex—eJIC,故应选B.
10.B
[答案1B
dv
dz7=
【精析】由于票=_2TX
d
/糙
切线方程为》=U
11.A
[答案1A
【精析】因为ez,1=一飞*"'"1],当上-►0时口1~COSJT21)
〜才(一1■)•由于e,一—e"■与z"同阶无穷小,所以n=5,故选A.
12.C
13.A
1n
【精析】d]/⑴如二/⑴iz做选项B和选项网不正加;F&)ic=FCr)+C,
MV
蟆孤髓.
C
14c【评注】本题考查的是变量可分离的微分方程的通解.
15.C
【精析】因为a,b.以a.b为斜边的平行四边形是矩形,对角线相等,
即|a+b|=\a-b\,故应选C.
16.B
【精析】/(.r)的定义域为[0.1],对于/(lu)来说应满足04lmrW1,即
故应选B.
17.B
B
【评注】由隐函数的求导公式,电=-&=-----2——=--——,选B.
dxFy2孙-cosycosy-2xy
D
%%J】一招2马3pi为「%2%
=*21次「4%
【评注】4=20n%
kl物1一阳2%3
阿i%1-羽2®
18.D
19.D
【精析】曲线的拐点只能是二阶导数为零或者不存在的点,所以r(.ro)=o不是曲
线/(])的图形在①=①。处有拐点的必要条件.反之<^0)=0•此时/(I)在①=10
处不一定有拐点,故应选D.
20.A
L答案」
21.C
[答案]C
【精析】函数/⑺的定义域为R/(i)=(2/-5/)'=当•写』•令/⑺=°,
5Jr
得函数有一个驻点工=1和一个不可导点上=0,则由下表知.1=0为极大值点g=
1为极小值点,故选C.
X(—8.0)0(0,1)1(1,+OO)
r(x)十不存在一0十
f(z)/极大值极小值/
22.A
【精析】lim=1,A正确;
J—Jf
limJ-=8,故B选项极限不存在;
u/-1
lime--=+8,lime:=0,故C选项极限不存在;
J-*u-t-*0
/'r^4-1
lim./:-------=+8,故D选项极限不存在.故应选A.
.1+—X.r
23.D
2
【精析】y=cos5(ec)的复合过程是y=J?,“=cosn,u==eJ/>=>,故应
选D.
24.C
25.B
因lim电包=lim吗在•2=2,故_r=0是/Cr)的可去间断点,故选B.
JJ-*OJCif。ZJT
26.C
_73
【精析】z=:一亨i,tan。=—p-=一阴,又a=y>=-y-V0,即点之在第
7
四象限,故Argz=一等.
O
D
dy(arctanr)_1
【评注】
改(ln(l+i2))2t
27.D
C
【评注】本题考查的是行列式的性质|-3/卜(-3)1力.
28.C
29.D
【精析】由二重积分的性质可知!|小”=41kbdy=4SD,SD为D的面积S=
30.D
[答案]D
【精析】+6)dLr—ax24-6)d(axs+6)=/F(S'+6)+C
31.
e-2
【精析】lim(二」产=lim(l+」产=lim(H--)-21=c2.
32.
dx
dx
解析:考查隐函数求微分,设F(x,y)=l+xe'-y,孚=-乌=丁史:
dxFyl-xez
33.
发散
34.
S(x)=(i^7,xs(~u)
•S(x)=^^,xe(7,l)
【评注】令S(X)=£«/T,对S(x)逐项积分,则有
”1
JS(x)dx=][之内1匕=£([nxn-1dx)=yx"+C=—+C,
I31/11=1'七1-x
11B
所以,贸力=丁=.注:本题考查级数求和公式」一=5>"及求和方法.
(1-方I台
35.
1
【精析】/(2+2A)-/(2)rf(2+2h)-/(2)2h
ln(l+A)=---------2hi^T+75
=lim2)..一义二
10LH10ln(1+/I)
=/'⑵・lim裂=2/(2)=1.
A-*0h
36.
2x2e2x+C
2x2e2x+C
【评注】Jxf"(x)dx=Jxdf'(x)=xf'(x)~jf'(x)^x.=f[x)+C,
/(x)=xe2x,/^)=62*+2xe2x=e2x(2x+l),
jxf"(x)dx=xe2x(2x+1)-XQ2X+C-Ix1^1+C.
37.
=2sinx
y=2sinx
【评注】y1sinx=ycosx»也sinx=ycosx,
攵=也”dx,两边同时积分得lny=lnsinx+lnC,由y=2得,C=2,于是
ysinxa
由少=。5人4,得到y=2sinx.
38.7
[答案17.8
【精析】得奖金额3的可能取值为6,9.12.E(»=6•P"=6)+9•P(^=9)+
12P(£=12)=6次导+9义关3+12义%3=7.8.
V](iV](i
39.
(-1.1)
【精析】plim3|品”料兽一1.收敛半径R—工一
1.故幕级数收敛区间为
,r-»8Cln|Citi■ip
(—1.1).又当.r——1时.幕级数为、(一1)"(2〃I1).发散:当/—1时.每级数为
«=1
](2〃I1).发散•故事级数的收敛域为(一1.1).
«=1
40.垂
[答案1垂直
ijkijk
【精析】J,=111=^0,2,—2}.s2=12-1={3.1.1}.
1-1-11-1-2
SS1-s,=0X34-2X1-2X1=。.故两直线垂直.
41.
7T
【精析】令y=,1-M〉0.由定积分的几何意义知,1—M表示由y
-i
4^3^•以及7轴所围成图形的面积.故'T77rd.r=4.兀.I?—9
-1LL
42.0
【精析】由正态分布的性质知P{0VSV1.645>=9(1.645)—9(0)=0.95—0.5=
0.45.
43.
3rcos.r
【精析】/'(.T)=(cosJd)=COS(,J,3)•3J2=3a2cos.rh.
44.
,[答案]1
【精析】由拉格朗日中值定理.知
/,(G_代b)-f(a=/⑵一/(0)
b-a2
0—(—2)_
=1.
2
1/(工)=2工一1,当-r=1时,有/'(1)=1,故4=1.
45.
-2i-2k
iJk
【精析】aXb=11-1
1-1-1
1-11-11i
=•/4-(―1)•j+•k=-2i—2A.
-1-11-11-1
46.
(2J'+x2y)^
上=e©+jye^,?三=++Mye"-v=(21+炉》)户.
3JCJdx3y~
47.
【精析】由于/(:)=*+1+
①7
于是是储=-+Ji+'.
48.
U+E)
解:<2—4一3石=00(以一2石)(/+石)=石=(4一2石尸二(4+石)
49.
〃!
[答案]〃!
【精析】X(0)=lim)---八°)=lim(.r+l)(.r+2)…(才+〃)=〃!.
j-*uJC
50.
y=x3—1
【就】由y二5TLyER醺,y'二Ixy'T或反函敖为ylT,
iGR,
51.
【精析】设切线与曲线的切点为MoEJnCr。-3)),
由于,L,所以切线方程为
1
y—ln(i0—3)=(£—&),阳3处《:
To-3
//43+e%
区为切线珞讨占•所以焰件人卜之0
得须=e+3,
从而切线方程为y=!(工一3),第24题图
e
于是,所求旋转体的体积为
1「3+e
V=—7rXI2Xe—it(ln(jc-3))2djc
3J4
令Z=I-3Trpree_
------------Kt(\ntY—2ln?dz
3|_iJi
=/—底+2n(“皿-Id)=27(1—I).0
52.
【精析】因为(/“;;尸V焉=.,而级数£,是1=2的p-级数,由比较判
别法知,所给级数是收敛的.
53.
[精析]\.=f_",
2
Jx/5—2JT一JV6—(+1)
Lr
=arcsin"±1+C・
54.
【精析】令"=2,则孕=W(")+xyfr(.u)(一4]=yf(u)—二/'("),
JCdx\JC)JJ
=jcf(u)-\-xyf'(.u}•—=xf(u)4-yfr(.u).
所以2、学+)勺=2jy/(w)=2z.
HE办
55.
*r2
ddf“洛必达法则
【精析】•je,d/=lim工^=—limE—■■-■--lime'=-l.
,r-*0]——u0LQ—1~.r-*0X,r-*0
56.
【精析】如图.设A点坐标为殳“,正).由y'=2z,得I,
Iy=x'
切线方程为y—曷=2石)(N一q)或m=[-了+1,/
52/
由已知*=[;(全y
所以才“=1.A点的坐标为(1,1),切线方程为2.r—y
-1=0,切线与了轴交点为传,()).于是
V=n.r1cb—7r
第24题图
arctan/d/
1-arctana,
=lim
2Jsin.r2
sin?d?
aretan。
TP
58.
1|.Hlnx-JC+1Inx
=lim----
—1loz盟(x—Dlnx
zInjx—1
xlnjr1十Injr1
=lim!再2+laz
J-»1xInz+x-12"
59.
'lx
ln(l+%)ck
_o_______________Ind+2r)•2•2
【精析】原式=lim-=lim1lim
J⑵)2=1.
if0LO41rz-»04x
Li
60.
原式=lim匚普
L。JC
61.
【精析】因为lim4H=10然^=1,所以塞级数的收敛半径氏=1,故幕级数
R-.8dnWE(n।Z)
的收敛区间为(一l.D.
当工e(-1,1)时,
X(N+2)3=X(/十4"+4)Z”
0w-»0
,•8E
=夕九"+4—比"+4/H"
川—。号―。n-O
coco
=工2”?尸+472nl'I+4
»t=0e=0'N
e(».
=ZX(皿”)'+4^2Q")'+z——
广。|»-01~X
=《£”+㈣斗)+总
8T
f("次i)"(E'卜d
z2-3z+4
(1-z》♦(—1VNV1).
62.
ln/1+-
lim-------—
工一七sarccotj;
1+/
=lim"
1十二
lim=1.
jr-T~gX(1+X)X-*+81।i
63.
【精析】卜e"d_r=-1-Jj:d(e2,r
=-齐普+%”4-C.
64.
【解析】X-AXIB=>(E-A)X=B->X=(E-A)'li
rl-1O-i
(E■■-•A)==J0-1
101
1-100On•1—10100.
10一1010=>01-1—110
101001.011-101
T-]0100
-1_]
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