2023届高考数学一轮复习用卷分类思想4份

分类讨论思想专练

一、选择题

1.已知二次函数/）=加+2以+1在区间［-3,2］上的最大值为4,则a

等于（）

3

A.—3B.—石

O

C.3D.裴一3

答案D

解析当。>0时，7（x）在［-3,-1］上单调递减，在［-1,2］上单调递增，

3

可知当x=2时，於）取得最大值，即8。+1=4,解得〃=和当。<0时，易知/U）

在尤=-1处取得最大值，即-。+1=4,所以。=-3.综上可知，或-3.故

选D.

x3-x2+1,x<0,

2.（2022.石家庄市高中毕业班综合训练）已知函数7U）=

［2-,x20,

贝lJA?+2）次3光）的解集为（）

A.（2,+8）B.（-00,1）U（2,+8）

C.（-8,-1）D.（1,2）

答案B

解析当x<0时，/'。）=3%2一2心>0恒成立，所以凡r）在（一8,0）上单调递

增，且/U）<1；又当尤20时次x）=2',所以/U）在［0,+8）上单调递增，且加）宓0）

=1.所以函数段）在口上单调递增，因为凡^+2）43x）,所以炉+2>3x,解得x<l

或x>2,故选B.

3.若关于x的方程I优-l|=2a（a>0且aWl）有两个不等实根，则。的取值范

围是（）

A.(O,1)U(1,+8)B.(0,1)

C.(1,+8)

答案D

解析方程旧-1|=2〃伍＞0且“W1）有两个不同实数根转化为函数y=|a-

1|与y=2a的图象有两个交点.

①当0＜&＜1时，如图1,.•.0＜2a＜l,即0＜。＜；.②当。＞1时，如图2,而＞=

2a＞1不符合要求.综上，0＜。＜；.故选D.

4.设△ABC的内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,且。=3,c=l,△

ABC的面积为也，则。的值为（）

A.2啦B.2s

C.2啦或2小D.小

答案C

解析由三角形面积公式，得Bx3XlXsiM=啦，故sinA=^.因为sin2A

_______Ig]j

+cos2A=1,所以cosA=±^Jl^-sin2A=1-^=±§.①当cosA=§时，由余弦定

理，得tz2=+c2-2bccosA=32+I2-2X3X1X-=8,所以〃=2吸.②当cosA

=—g时，由余弦定理，得。2=62+c2—2bccosA=32+12—2X3X1x（—，=12,

所以a=2小.综上所述，a=2也或2小.故选C.

5.（多选X2021.河北省石家庄高三检测）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的

双曲线C与椭圆5+^=1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x-2），=0,则双

曲线C的方程可能为（）

/2

A.^-y2=1B.W-上v1

答案AD

解析在椭圆方+£=1中，0=正7=小.因为双曲线C与椭圆5+5=1

有相同的焦距，且一条渐近线方程为X-2》=0,所以可设双曲线方程为尸=

MW0）,化为标准方程为泰-5=1.当丸>0时，c=W+42=小,解得2=1,所

以双曲线。的方程为，-丁=1；当％<0时，」=""羽=小,解得4=-1,

所以双曲线。的方程为V一，=1.综上，双曲线。的方程为，一丁=1或炉一，=

1,故选AD.

6.（多选）（2021.江苏省徐州市高三阶段考试）设等比数列｛z｝的公比为q,其

42020-1

前〃项和为S,前〃项积为7”,并满足条件内>1,侬203>1,嬴h°•下列

结论正确的是（）

A.S2020<S2021

B.42020^2022-1<0

C.不。21是数列｛〃｝中的最大值

D.数列｛4｝无最大值

答案AB

解析当q<0时，〃202042021=O^020（J<0,不成立；当—21时，。2020>1,02021>1,

42020-1„.八~_八

r<0不成乂；故0<q<1,且。2020>1,0<«2（）21<1,故S202I>52020,A正确；0202042（）22

42021-1

-1”如「1<0,故B正确；乃020是数列｛，｝中的最大值，C,D错误.故选AB.

二、填空题

7.已知曲线y=上一点P（2,1）,则过点P的切线方程为

答案⑵一3>-16=0或版一3），+2=0

解析①当P为切点时，由y

得y'X=2=4,即过点P的切线方程的斜率为4.

Q

则所求的切线方程是y-W=4(x-2),

BP12x-3y-16=0.

②当P点不是切点时，设切点为d*。，58),

则切线方程为y-最=x8(x-xo),

因为切线过点«2,9,把P点的坐标代入以上切线方程，求得刈=-1或

无0=2(即点P,舍去)，所以切点为。［一1，即所求切线方程为3尤-3y+2

=0.

综上所述，过点P的切线方程为12x-3y-16=0或3尤-3)，+2=0.

X2-QX+4,X<\,

8.(2022.重庆高三上学期第二次质量检测)若函数次光)=vi、।

有两个不同的零点，则实数。的取值范围为.

答案(-8,白

解析当X<1时，由/=。。-1),y=a(x—l)恒过定点(1,0),作出y=f与y

的图象，如图，

)=«(.v-I)

由图象知«<0时，7U)有两个零点；。=0时，/U)有一个零点；。>0时，fix)

了一1x—12—x

无零点.当时，由a=令g(x)=-^r,贝Ijg'W=贝"=2时,

g(x)取得最大值g(2)=2,贝Ia=o或。=点时，/)有一个零点；0＜4＜白时，段)

有两个零点；"0或。＞点时，/)无零点.综上所述，当44-8,时，於)

有两个零点.

9.(2021.山东济宁嘉祥县第一中学高三四模)将函数段)=2皿(2%+目的图象

7T

向右平移五个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g(x)的图象，若g(Xl)g(X2)

=9,且xi,%2€[-2TI,2兀],则sin(xi+X2)的值为.

答案1或-1

解析由题意，得g(x)=2sin2x+1,g(x)的最大值为3,最小值为-1,因为

兀

g(xi)g(X2)=9,贝g(xi)=g(X2)=3,由g(x)=2sin2x+1=3,得2x=2kn+1,kWZ,

CI,兀，LL、，17兀3兀兀5兀]

贝lJx=E+z，kez,又XI,X2E[-2n,2K],所以尤I,垃气一彳，一彳，4Tj-

兀兀7C

设Xl=Z17t+1,X2=k27t+^,k\,6Z,则XI+X2=(Z1+女2)兀+5,则当Zl+%2为

偶数(例如依=一1,XI=-竽，k2=l,X2=,1时，Sin(xi+X2)=1,当心+依为奇

数(例如依=0,%1=第依=1,%2=引时，sin(xi+X2)=-1.综上可得，sin(xi+X2)

的值为1或-L

三、解答题

10.设各项不为0的数列｛“〃｝中，前〃项和为的，且s=-29,2S,,=anan+

(1)求数列｛&”｝的通项公式；

⑵求S的最小值.

解(1)...3二一29,2S/=〃〃〃〃+1,①

••2S〃+1=Cln+\Qn+2,(2)

②-①得2al+I=Cln+\｛Cln+2—Cln),

■「Q〃+1WO,「・+2—=2,

数列｛Z｝的奇数项成等差数列，

又ai=-29,

n-1

二当〃为奇数时，。〃=0+”一义2=〃-30；

在①中，令〃=1,得2s1=2ai=

.*.672=2,

又数列｛“”｝的偶数项成等差数列，

n-2

.・.当〃为偶数时，a«=4Z2+_y-X2=/2；

〃-30,〃为奇数，

'''a，，=[n,〃为偶数.

(2)由(1)可知,当〃为偶数时，a„=n>0,

要使S最小，〃必然是奇数.

.•・当〃为奇数时，

n+1n-1

-29+n-30)-^-(2+n-1)

Sn=2+2

/-29〃-30

=2，

且y=/-29x-30的图象的对称轴为直线x=多=14.5,

■•1n€N\且〃是奇数，

152-29X15-30

・二当〃二15时，(S〃)min=S15==一120.

11.如图，A,B,C,。为空间四点.在△ABC中，AB=2,AC=BC=®

等边三角形以AB所在直线为轴转动.

(1)当平面平面ABC时，求CD；

(2)当△ADB转动时，是否总有ABIC。？证明你的结论.

解(1)如图，取的中点已连接。E,CE,

•.•△4。3是等边三角形，」.。£145.

当平面4581平面ABC时，

平面ADBn平面ABC=AB,

平面ABC,可得OE1EC.

由已知可得。E=小，EC=\,

在RtADEC中，

CD=ylDE2+EC2=2.

(2)当aADB以AB所在直线为轴转动时，总有AB1CD.

证明：①当。在平面ABC内时，

：AC=BC,AD=BD,

.■.C,。都在线段A3的垂直平分线上，则AB1CD

②当。不在平面A3C内时，由(1)知ABIDE.

XAC=BC,：.ABLEC.

又DE,EC为相交直线，

DE,ECu平面DEC,

.■.AB_L平面DEC,

由CDu平面DEC,得A81CD

综上所述，当△ADB以A8所在直线为轴转动时，总有ABICD

12.(2022.福建晋江磁灶中学高三上阶段测试(一))如图，已知点尸为抛物线

C：的焦点，过点尸的动直线/与抛物线C交于M,N两点，且当

直线/的倾斜角为45。时，|MM=16.

(1)求抛物线。的方程；

(2)试确定在x轴上是否存在点尸，使得直线PM,PN关于x轴对称？若存

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解(1)当直线/的倾斜角为45。时，直线/的斜率为1,

•.・庵，0),•・」的方程为y=x—§

P

y=x-。，n2

由，,得f-3px+j=0.

y=2px,

设M(x\,yi),Ng,yi),贝llxi+X2=3p,

\MN\=xi+X2+p=4p=16,p=4,

••・抛物线。的方程为丁=8工

(2)假设满足条件的点P存在，设P(a,o),由⑴知网2,0),

①当直线/不与x轴垂直时，设/的方程为y=k(x-2)(AW0),

iy=k(x-2),

由J,得Mx2-(4公+8)x+4A2=0,

Lr=8x,

/=(4乒+8)2-4贬43=64k2+64>0,

4/+8

XI+X2=_R,X\X2=4.

・・・直线尸M,PN关于x轴对称，

k(xi-2),k(x2-2)

*PM+kpN=0,而kpM=,kpN=.

x\-aX2-a

k{x\一2)(x2-a)+k(X2-2)(xi-a)=k[2x\X2-(a+2)(xi+尤2)+4。]=-

8(Q+2)

——二0,「.〃=—2,此时P(—2,0).

②当直线/与X轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM,PN关于x轴对称,

此时只需P与焦点/不重合即可.

综上，存在唯一的点P(-2,0),使直线PM,PN关于x轴对称.

13.(2022.江苏盐城伍佑中学高三上第一次阶段考试)设/x)=xsinr+cosx,

g(x)=/+4.

⑴讨论於)在［-兀，兀］上的单调性；

⑵令〃(x)=g(x)-与㈤，试证明："(幻在R上有且仅有三个零点.

解(1»(x)=sinr+xcosx-sinjv=xcosx,

令/(x)=0,又［-兀，兀］,

兀

则x=0或x=±].

故当-兀，-&时，/(尤)>0,於)单调递增；

当x€(苦，0)时，>(力<0,/)单调递减;

当x€(0,当时，/'(x)〉0,7U)单调递增；

当xwg,兀)时，/(x)<0,用:)单调递减.

所以於)在(-兀,-守，(0,，上单调递增,在(4,0),住兀)上单调递减.

(2)证明：h(x)=x2+4-4xsinx-4cosx,

因为/z(0)=0,所以x=0是以幻的一个零点.

〃(一x)=(-+4-4(一x)sin(-x)-4cos(-x)=x2+4-4xsinx-4cosx=h(x),

所以以幻是偶函数，

即要确定g)在R上的零点个数，只需确定Q0时，2)的零点个数即可.

当x>0时，hf(x)=2x-4xcosx=2x(1-2cosx),

1ji、5兀

令T(x)=0,BPcosx=2,x=］+2A兀或九二丁+2%兀(％€N).

当x€(0,"时，h'(x)<0,〃(x)单调递减，

口，gn2c2小兀

且/6=5+2-谪一(0，

当停,苧)时，〃'(x)〉0,3)单调递增，

口25兀2兀,八

且/zlT)=~~9~+―3-+2>。，

所以〃(x)在(0,用上有唯一零点.

当时，由于sinxWl,cos元<1,

所以A(x)=x2+4-4xsiav-dcos%。％2+4-4x-4=x2-4x=t(x),

而心)在修，+8)上单调递增，心)2詹］〉0,

所以〃(x)>0恒成立，故3)在胃，+8)上无零点，

所以〃(X)在(0,+8)上有一个零点，

由于〃(幻是偶函数，所以力⑴在(-8,0)上有一个零点，而〃(0)=0,

综上，/?(x)在R上有且仅有三个零点.

★***

之第三部分数学思想专练

函数与方程思想专练

一、选择题

1.椭圆3+尸=1的两个焦点为回，放，过B作垂直于x轴的直线与椭圆

相交，其一交点为P,则|P@|=()

B.小

C.|D.4

答案C

解析如图，令|PB|=ri,m=n,那么

n+rz==4,[r\+r2=4,7

=<=及=].故选C.

d-rr=(2c)2=12[r2-n=3

2.（2022•青海省西宁市高三复习检测（一））关于x的方程cos2x-siiu+«=0,

7T

若OaW]时方程有解，则。的取值范围是（）

A.[-1,1]B.（-1,1]

C.[-1,0]D.1―8,一己

答案B

解析cos2x-sinx+a=0,a=situ-cos2x=siar-（1-sin2x）=^sinx+

5八J八.1.—1（.—,（.n

一不•OaW/，..0<smxWl,..5<sinx+产菱,..^<1sinx+^l-1<]吟+予

即一IvaWL.X的取值范围为（―1,1].故选B.

3.若2，+5）£2-，+5、则有（）

A.犬+y20B.x+yWO

C.x-yWOD.x-y^O

答案B

解析原不等式可变形为2，-5弋2-，-5）：即■-针，.故设函

数/）=2、即，/）为增函数，所以启-》即x+yWO.故选B.

4.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求NAC8=60°,BC的

长度大于1米，且AC比A8长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则

AC最短为（）

A.（l+坐）米B.2米

C.（1+小）米D.（2+小）米

答案D

解析由题意，设BC=x（x>l）米，AC=Q>0）米，贝ljAB=AC—0.5=。一0.5）

米，在△ABC中，由余弦定理得A4=40+802—2ACBCCOS60。，即（-0.5）2=

C、x2-0.25075

P+x1-tx,化简并整理得r=-----（%>1）,即/=x-1+「+2,因为x>l,故

X—LX—I

，=%一1+晋+2,2+小（当且仅当x=1+坐时取等号］此时t取最小值2+小.

故选D.

5.（多选）（2021•河北邢台高三质检）对于数列（叫，若存在数列｛加｝满足加=

a〃-5（〃€N*）,则称数列｛%｝是｛z｝的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”叙

述正确的是（）

A.若数列｛0〃｝是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列

B.若a”=3〃-1,则其“倒差数列”有最大值

C.若z=3〃-1,则其“倒差数列”有最小值

D.若如=1-则其“倒差数列”有最大值

答案ACD

解析若数列｛&，｝是单增数列，则%-5」=m---。”」+」一=伍"-。"一

an_1

1）（1+」—），虽然有斯>的」，但当1+」一<0时，bn<bn.\,因此｛d｝不一定

ClnUn_1ClnCln_1

是单增数列，A正确；若小=3〃-1,则儿=3〃-1-易知｛仇｝是递增数

-1

列，无最大值，有最小值，最小值为B错误，C正确；若““=1-1-，"，则

€(0,1),.,./?»=-^<0;

当〃为偶数时，an=\

当〃为奇数时，。"=1+映〉1,显然㈤是递减的，因此仇=。”-2也是递减的,

3255

即从泌3泌5>…，，｛儿｝的奇数项中有最大值为6=2-3=石>0,.•・历=%是数列

｛瓦｝（〃€N*）中的最大值,D正确.故选ACD.

二、填空题

6.已知向量a=（LO）,b=（X,2）,\2a-b\=\a+b\,则实数2=________,

答案2

解析由。=（1,0）,b=a,2）,得21=（2,0）_（九2）=（2-2,-2）,«+

6=（1+2,2）,所以12a—目2=（2—»2+（-2）2=8—4/l+/,|a+b|2=5+2/l+N,

X|2a-b\=\a+b\,所以8—42+/=5+22+乃，解得力=；.

7.（2021.河北衡水中学全国高三第一次联考）已知实数凡bWg,+8）,

且满足点一拉In则a,b,板的大小关系是________.

答案a>y[ab>b

解析由点一拉In得点+lna>*+lnb.设於）=5+lnx,则/（处=一

21X2-2LJ-

段+[=-^.当（也，+8）时，/（幻>0恒成立，故外）在区间（也，+8）上

人■人人

单调递增，又人。）次与，所以"所以a〉旅〉b.

8.（2022.江苏盐城、淮安、宿迁、如东等地高三第一次大联考）现有一块正

四面体形状的实心木块，其棱长为9cm.车工师傅欲从木块的某一个面向内部挖

掉一个体积最大的圆柱，则当圆柱底面半径r=cm时，圆柱的体积最

大，且最大值为cm3.

答案小3班兀

解析设圆柱上底面圆心为。1,下底面圆心为。2,。2为正四面体底面中心,

圆柱的上底面与正四面体侧面ACD的交点N在侧面中线4M上，

C

•.•正四面体棱长为9,.,.8加=9*半=竽.二。2朋=乎，B02=373,A02

r—f—hr-

=3加，设圆柱底面半径为r,高为〃，由。N//02M得法=§水，」》=3册

2

一2也r,...V圆柱=兀,(3#—26r)=3&兀，一2/兀/，令/(「)=3加无,一2啦兀r3,

/'⑺=6加无「一&7^兀巴令/'(r)=0得r=小，.」=小时，/(r)max=7rX3><(3加

-2巾X胸=3强.

三、解答题

9.在△A3C中，。是BC边的中点，AB=3,AC=\fV3,AD=巾.

(1)求BC边的长；

⑵求aABC的面积.

解⑴设=贝"C=2JC,

AB^BE^-AD2

在△A3。中，有cos/A8D=-2AB而一

9+/一7

-2X3x'

AB2+BC2-AC29+41-13

在△ABC中’有cos/ABC=2ABBC—=2X3X2x'

且/ABO=AABC,

9+/一79+4--13

即2X3x=2X3X2x'

解得x=2,所以BC=4.

11

(2)由⑴可知，cos8=],B€(0,7i),得sin8=、、所以SaABc=]・AB8Csin8

=^X3X4X-^=3^3.

10.(2021.贵州省凯里一中月考)在等差数列｛〃〃｝中，已知。3+。4=84-。5,

。8=36.

(1)求数列｛〃〃｝的通项公式；

Sn+20

(2)记Sn为数列｛斯｝的前n项和，求七一的最小值.

解⑴由曲+。4=84-45得。4=28,

+3d=28,ai=22,

由“乂得/C

a\+id=36,[a=2,

/.数列｛〃〃｝的通项公式为。〃=22+(〃-1)义2=2〃+20.

n(n-1).

(2)由(1)得，S,.=22«+—2—X2=/+21N,

Sn+2020。

—+21,〃€N*,

20

令於)=%+7+21,x>0,

2()

f(x)=l-^T,当x€(0,2小)时，/(x)<0；

当x€(24，+8)时，/。)>0,

则«r)在(0,2小)上单调递减，在(2小，+8)上单调递增，

又“WN*,.*4)=m)=30,

S),+20

当〃=4或5时，丁厂取最小值，为30.

11.(2022.湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)某企业创新形式推进党史

学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛,

两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格.该企业某部门派出甲、乙两个小组，

42

若第一轮比赛时两组通过的概率分别是彳31第二轮比赛时两组通过的概率分别

33

是不5-两轮比赛过程相互独立.

(1)若将该部门获得决赛资格的小组数记为X,求X的分布列及数学期望；

(2)比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次(与

答题顺序无关)，若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对

就被评为“优秀小组”.该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得

每个成员答对每题的概率均为P(O<P<1)且相互独立,设该参赛小组被评为“优秀

小组”的概率为加)，当。=。。时，加)最大,试求P。的值.

433

解(1)设甲、乙通过两轮制的初赛分别为事件4,A2,贝IJP(Ai)=5X1=W，

232

P(A2)=3><5=5-

由题意知X的取值可能为0,1,2,则

P(X=O)=。苧x(i-翡今

p(x=i)=[i-1)x|+|x(i-D=i|,

P(X=2)=1X|=£

那么X的分布列为

X012

6136

P

252525

A1QA

E(X)=0X—+1X^+2X—=1.

(2)由题意，知小组中2人答对的概率为C〃1-p)2P工3人答对的概率C^(l-

P)P)

贝IJ加)=6(1-p)y+4(1-p)p3=2p4-8P3+6P2.

f'(p)=8P3-24P2+120=4P(2p2-6p+3),

3-小3+S

令/'S)=0得=0(舍去)，P2=-2—，P3=-2—(舍去)，

在(0,三回)上，加)单调递增，在(三迫，1]上，加)单调递减.

3-^33-小

故。=—2一时，加)最大.所以Po=-2一•

12.在平面直角坐标系中，动点M到定点F(-1,0)的距离与它到直线x=-

2的距离之比是常数坐，记点M的轨迹为T.

⑴求轨迹T的方程；

(2)过点b且不与x轴重合的直线机与轨迹T交于A,8两点，线段的垂

直平分线与X轴交于点P,在轨迹T上是否存在点Q,使得四边形AP8Q为菱形?

若存在，请求出直线机的方程；若不存在，请说明理由.

解(1)设M(x,y),根据动点M到定点F(-l,0)的距离与它到直线x=-2

的距离之比是常数牙y[2，

+>2也21

得k+2|=2，整理得彳+丁=1，

2

，轨迹T的方程为，+丁=1.

(2)假设存在直线m,设直线m的方程为x=⑪-1,

x-ky-1,

由f2消去工，得倍+2)户26-1=0.

B+"1

]2k—4

设A(xi,yi),8(X2,p),贝Ijyi+y2=p^,如+*2=左。1+y2)-2=p^,

(_2卜、

线段AB的中点”的坐标为后二，再区.

••・四边形APBQ为菱形，

「•直线R2为线段AB的中垂线.

二直线PQ的方程为丫一号=-41+号)，

令y=0,解得x=-即[-/,o).

设。(xo,yo),.P,。关于点"对称，

•.•不=亦。-后+2,不=力。+°)，

—32k

解得x°=­，*=百3，

，一32k、

即4-+2,F+2/

•••点。在椭圆上,

・1F+2+2［标+2

解得F=坐，

于是点=也,即合土版，

二直线m的方程为y=版％+版或y=-y/2x-如.

数形结合思想专练

一、选择题

1.（2021・湖北襄阳模拟）已知a,方是平面内两个互相垂直的单位向量，若向

量c满足（a-c>S-c）=0,则|c|的最大值是（）

C.y/2

答案C

解析如图，设/=*OB=b,OC=c,则公=a—c,@=》—c.由题意

知画1宓，.\。，A,C,8四点共圆.••・当。。为圆的直径时，|c|最大，此时,

\OC\=y[2.

2.已知函数段）=77,则下列结论正确的是（）

A-1

A.函数/U）的图象关于点（1,2）对称

B.函数/U）在（-8,1）上是增函数

C.函数ZU）的图象上至少存在两点A,B,使得直线AB//x轴

D.函数/U）的图象关于直线x=l对称

答案A

2x22

解析由7u）=「r=2+'T知.A©的图象是由的图象平移得到的，作

出其简图如图所示.从图象可以看出凡T）的图象关于点（1,2）成中心对称；其在区

间（-8,1）和（1,+8）上均是减函数；没有能使AB//X轴的点存在.故选A.

3.（2021.广东省七校联考）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A（8,0）,

以OA为直径的圆与直线y=2x在第一象限的交点为8,则直线A8的方程为（）

A.i+2y-8=0B.x-2y-8=0

C.2x+y-16=0D.2x-y-16=0

答案A

解析如图，由题意知。8_LAB,因为直线。8的方程为y=2x,所以直线

A8的斜率为-；，因为A（8,0）,所以直线A8的方程为＞-0=-9-8）,即无+

2y-8=0故选A.

4.已知△A8C是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则成.（而

+陌的最小值是（)

3

A.-2B.2

D.-1

答案B

解析如图，以等边三角形ABC的底边所在直线为x轴，以8C的垂直

平分线为轴，建立平面直角坐标系，则40,5)，5(-1,0),C(l,0).

设尸(x,y),则或=(-，小-y),丽=(-1-X,-y),PC=(1-x,-y).所

以成•(而+踣=(一无，仍―y〉(—2x,-2月=2?+2卜_坐｝_|.当％=0,y=^

3

时，可.(而+南取得最小值-亍

5.(2022.广东广州花都区高三上调研考试)已知函数於)=

e”,x2—1,

,....g(x)=/x)-x+a,若g(x)存在3个零点，则4的取值范围是

[In(-x),x<-1,

()

B.

-1]D-[-I-1'-1)

答案D

解析令g(x)=7U)-x+a=。，即於)=x-a,则函数g(x)的零点个数即为

函数7(x)与函数y=x-a图象的交点个数，作出函数/U)与函数y=x-a的图象,

如图所示，当-1时，y=ev,则y'=e\令寸=1,则x=0,即直线y

=x-a与曲线y=e'相切的切点为(0,1),此时。=-1,因为g(x)存在3个零点，

a<-1,

即函数次为与函数y=x-a的图象有3个交点，所以jU，解得-1-

一1一二，

所以a的取值范围是.故选D.

6.(多选)(2021.广东佛山顺德容山中学高三月考)若函数加)=e'l与g(x)

=如的图象恰有一个公共点，则实数。的可能取值为()

A.2B.0

C.lD.-1

答案BCD

解析=与g(x)=ax恒过(0,0),如图，当aWO时，两函数图象恰

有一个公共点；当。>0时，函数/U)=-1与g(x)=ar的图象恰有一个公共点，

则g(x)=ar为於)=e'-l的切线，且切点为(0,0),因为(x)=巴所以a(0)

=e0=1.故选BCD.

7.(多选)(2022.湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)已知函数段)=

IsinAlcosx,则以下叙述正确的是()

A.若/(Xi)=«X2),贝1Jxi=X2+kn(k6Z)

B./U)的最小正周期为2兀

C.於)在I，y上单调递减

D./U)的图象关于直线x=E伏WZ)对称

答案BCD

解析Ax)=|sinx|cosx

sinrcosx,sirix^O,

_V

一siaxcosx,siax<0,

f^sin2x,2EWxW兀+2E(攵€Z),

兀+2kn<x<lTt+2kn(kGZ),

作出火x）的图象如图,

TT

对于A,由图知，若共足）=於2）,不一定有XI=X2+E（A€Z）,如取X1=-不

TT

%2=4,此时满足.穴如）=穴动，但不满足XI=X2+E伙WZ）,故A不正确；对于B,

由图知/U）的最小正周期为2兀，故B正确；对于C,由图知犬X）在［a，Z［上单调

递减，故C正确；对于D,由图知7U）的图象关于直线x=E伙6Z）对称，故D

正确.故选BCD.

8.（多选）（2021•山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟）设抛物线产=

2Pxs>0）的焦点为尸，「为抛物线上一动点，当P运动到（2,r）时，|尸门=4,直线

/与抛物线相交于A,8两点，点M（4,l）.下列结论正确的是（）

A.抛物线的方程为丁=4九

B.IPM+IPR的最小值为6

C.存在直线/,使得A,8两点关于直线x+y-6=0对称

D.当直线/过焦点尸时，以A尸为直径的圆与），轴相切

答案BD

解析因为点P为抛物线9=2px（p〉0）上的动点，当P运动至以2,/）时，|Pf］

=4,所以|P/l=2+g=4,p=4,故V=8x,A错误;

过点P作PE垂直准线于点E,贝+|PQ=\PM\+\PE\^6,当P,E,M

三点共线时等号成立，B正确；假设存在直线/,使得A,B两点关于直线尤+y

-6=0对称，则直线/的斜率为1.设A(xi,y),B(X2,y2),AB的中点”(xo,yo),

则京=8xi,货=8尤2,两式相减得到+J2)(yi-y2)=8(xi-X2),眈

Hy\!\2

VI-V28一,

因为;~~=lyi+y2=2yo,所以元=1，故yo=4,xo=2,而点(2,4)在抛物线

xI-X2f々yu

上，故不存在直线/,使得A,8两点关于直线x+y-6=0对称，C错误；过点

A作AC垂直准线于点C,交y轴于点。，取AE的中点为G,过点G作G。垂

直y轴于点。，则同+H。1)=夕4。=夕4网，故以AE为直径的圆与y

轴相切，D正确.故选BD.

二、填空题

9.已知函数,*》)=1。82(%+1),且a»>c>0,则等，华，平的大小关系为

答案呼**

解析作出函数/W=10g2(X+l)的大致图象，如图所示，可知当第>0时，曲

线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>A>c>0,所以等**.

10.不等式（国-纵xO,x€[-7T,2兀]的解集为.

答案（一兀,-1）u[o,纵（兀,2兀）

解析在同一坐标系中分别作出y=IR-^5y=sinx的图象如图，根据图象

可得不等式的解集为1-兀，-舒u（o,舒US,2兀）.

11.（2021•山东省实验中学高三模拟）已知点尸1（-3,0）,尸2（3,0）分别是双曲

线c：^-p=l（a>0,">0）的左、右焦点，”是C右支上的一点，MB与），轴

交于点P,△MPE的内切圆在边上的切点为Q,若|PQ|=2,则。的离心率

为•

3

答案2

解析设△MPB的内切圆在边MB上的切点为K,在MP上的切点为N,

如图所示.

则|PB|=|PE2|,|PQ|=|PN|=2,\QF2\=\KFI\,\MN]=m,则|P¥i|=|Pg|=

\PQ\+|。。|=2+\QF2\,由双曲线的定义可得|MR|-|MB|=\MP\+\PFx\-\MK\-

\KF?\=\MP\+2+|<2F2|-\MK\-\KFi\=2+\MP\-=4=2n,解得a=2,又c

c3

=3,所以离心率e=£=]

12.（2022.上海控江中学高三上开学考试）已知函数人幻=x+-+a,若对任

意实数凡关于x的不等式式x）2机在区间七，31上总有解，则实数机的取值范

围为.

答案（-8,|

解析）=x+；在区间位，31上的图象如下图所示，

根据题意，对任意实数。，关于尤的不等式在区间七，3］上总有解,

则只要找到其中一个实数。，使得函数./U）=尤+；+。的最大值最小即可，如图,

函数），=》+：的图象向下平移到一定程度时，函数<x）=x+；+a的最大值最

小.此时只有当人1）=人3）时，才能保证函数«r）的最大值最小.设函数y=x+:的

1（）Q

图象向下平移了《。0）个单位，所以彳—=-（2-0,解得r所以此时函数/U）

1QQ2（2~

的最大值为于-1=则实数〃2的取值范围为1-8,-.

三、解答题

13.已知圆C:a-3（+。-4）2=1和两点A（一四,0）,B（m,0）（m>0）.若圆

。上存在点P,使得NAPB=90。，求机的最大值.

解根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为（3,4）,半径/•=

1,且依5|=2加.

因为NAPB=90。，连接。P,易知|OP|=：|A阴=机.

要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点。的最大距离.

因为|。。|=0+42=5,

所以10Plmax=|OC|+r=6,

即m的最大值为6.

14.记实数xi,X2,―,初中的最小数为min（xi,xi,—,x”},求定义在区

间［0,+8）上的函数/（x）=min{f+1,x+3,13-x}的最大值.

解在同一坐标系中作出三个函数y=f+l,y=x+3,y=13-x的图象如

图.

由图可知，在实数集R上，min{『+l,x+3,13-x}为直线y=x+3上A点

下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段与直线y=13-无上C点下方的部

分的组合图.

显然，在区间［0,+8）上，在C点时，y=min{*+l,x+3,13-灯取得最

大值.

y=x+3,

解方程组得点。（5,8）.

［y=13-x,

所以/（X）max=8.

15.设A,B在圆f+产=1上运动，且|4用=小，点P在直线/：3x+4y-

12=0上运动，求原+两的最小值.

解设的中点为。，则成+而=2用,

,当且仅当。，D,P三点共线且OP1/时，|成+而I取得最小值.

1212

•••