2021年湖北省武汉一中高考数学模拟试卷（二）附答案解析

2021年湖北省武汉一中高考数学模拟试卷（二）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.集合4={久|一7<久<3},集合B={久|l<x<7},则力UB=()

A.[x\—7<x<7]B.{x|l<%<7}

C.{x|-7<x<3}D.{%|1<%<3]

2.已知复数z于，则|z|=（）

A.竽B1C.V10D.2^5

22

3.在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：京+a=l（a>b>0）的右焦点尸作久轴的垂线，交C于点

P,若U?•而=2，COSNOPF=争则椭圆C的方程为（）

v.2,,2,,2-,2-,2尸

A*+看=1B*+.C*+y2=lA>y2=l

21029

4.已知g(x)=a0+djX+a2x+…+a10x,h(x)=b0+brx+b2x+—Fb9x,若(1+x)(l—

2x)19=(1-x)iOg(x)+h(x),则(29=()

A.0B.10x219C.-10x218D.-3x218

5.如图，在正方体ZBCD-A/iCiDi中,过点力作平面&BD的垂线，垂足为

点H,则以下命题中，错误的命题是（)

A.点H是A/llBD的垂心

B.的延长线经过点心

C.4"垂直平面CB]Di

D.直线2H和BBi所成角为45。

6.已知x=a+b,y=a+b2+1,贝！|x与y的大小关系是（）

A.x>yB.x>yC.x<yD.x<y

7.要得到函数y=sin（2x+g）的图象，只需将函数y=cos（2久一9的图象上所有点（）

A.向左平移孩个单位长度B.向右平移?个单位长度

OO

C.向左平移工个单位长度D.向右平移看个单位长度

8.已知椭圆C；5+《=l(a>b>0)的焦距为2近，A,8分别为C的右顶点、上顶点.若C的对称

中心到4B的距离为?，则椭圆C的长轴长为()

A.2V3B.4C.2V5D.4遍

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9,设等差数列{an}的前n项和为%.若S3=9,a4=7,贝支)

22

A.Sn=nB.Sn=2n—3nC.an=2n—1D.an—3n—5

10.若欣？?{a,b}=j,/(x)=sinx+cosx,g(x)—sinx—cosx,h(x)=min(f(x'),gQx')),

则关于八(久)的命题，以下正确的有()

A.周期为兀B.对称轴方程为x=春兀,keZ

C.值域为［一a,1］D.在区间《兀［兀)上单调递减

11.如图，在棱长为6的正方体ABC。—amiGA中，E为棱上一点,

且DE=2,F为棱C/i的中点，点G是线段BQ上的动点，贝女)

A.无论点G在线段BCi上如何移动，都有异面直线&G,当。的夹角

用

B.三棱锥A-G4E的体积为108

C.直线4E与BF所成角的余弦值警

D.直线&G与平面BDQ所成最大角的余弦值为:

12.设区3是两个非零向量，则下列描述正确的有()

A.^\a+b\=\a\-\b\,则存在实数4使得弓=Ab

B.若五1］，则|>+可=|五一』|

C.若|方+石尸团+|方则反=3

D.若日与石的方向相反,则|五+石|=国-|方|

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知随机变量(服从正态分布N(0«2),若p((>2)=0.06,则P(-2<<<2)=

14.四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色.共

有种不同的涂色方法。

15.已知4是双曲线C：/—3=l(a>0,b>0)的右顶点，过左焦点尸与y轴平行的直线交双曲线C于

P、Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围______.

16.已知函数y=/一久2一久+5,该函数在区间［0,3］上的最大值是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.(本题满分13分)如图,某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距布+0海里的B处有一艘走私船,

正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2&海里/小时的速

度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达Z?处，此时走私船发现了

巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以30海里/小时的速度沿

着直线追击.

(I)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？

(U)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?

18.已知数列｛%i｝的前n项和为%,且%=等即(71eN*),ar=

①求证：数列｛就f为常数列，并求出数列｛册｝的通项公式；

②设〃=—।---1----1---1—，若对任意的九eN*,%e(0,+8),不等式”<%—2lnx+m恒成立,

a3an

求实数m的取值范围.

19.如图，在四棱锥。-43。。中，底面48。。是4。48=/且边长为2的

菱形，

侧面P4D是等边三角形，且平面P2D垂直于底面48CD,G为4。边中点.

(1)求证：BG1平面PAD

(2)求证：AD1PB

(3)求二面角力-BC-P的大小.

20.18.(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机

构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20〜80岁(含20岁和80岁)

之间的600人进行调查，并按年龄层次［20,30),［30,40),［40,50),［50,60),［60,70),［70,80］绘

制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在［20,40)岁的人为“青年人”，［40,60)为“中年

人”，［60,80］为“老年人”.

(I)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄;

(兀)将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率.从该城市20-80年

龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为丫，求随机变量丫的分布列和数学期望.

21.已知点MQy)在抛物线C：*=2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2,直线八y=

—|x+b与抛物线交于4B两点.

(I)求抛物线C的方程；

(II)若以力B为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；

(HI)若直线1与y轴负半轴相交，求44。8面积的最大值.

22.已知函数/'(x)=(a/+。久+c)eT(aK0)的图象过点(0,-2),且在该点的切线方程为4比一y-

2=0.

(I)若/(尤)在［2,+8)上为单调增函数，求实数a的取值范围；

(□)若函数尸(久)=f(x)-6恰好有一个零点，求实数小的取值范围.

参考答案及解析

L答案：A

解析：解：A=(x\-7<x<3},集合8={x[l<x<7},

则/U={x|—7<x<3}U{x|l<x<7}={x\—7<x<7].

故选：A.

直接利用并集运算得答案.

本题考查了并集及其运算，是基础的计算题.

2.答案：A

解析:

本题主要考查复数模长的计算，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键.

根据复数的运算法则，进行化简，结合复数的模长公式进行计算即可.

4+3i(4+3i)(l—i)7-i71.

解:Z~~—■~~~Z~----1，

1+i(l+i)(l-i)222

则|Z|=JG)2+(—}2505V2

42

故选：4.

3.答案：B

解析:

本题考查了椭圆的简单性质和解三角形的问题，考查了运算能力和转化能力，属于基础题.

根据椭圆的简单性质可解三角形可得c2=2,再求出点P的坐标，代入椭圆方程中，可得小=4,b2

2,问题得以解决.

\0F\=c,PFlx轴，coszOPF=y

.­.sinzOPF=f

cV6

・•.cos乙POF若,\0P\=|0F|

sinz.OPF=逅=”,

3

■.■OP-OF=2,

•••|。尸|•c•cos乙POF=\OP\-c--=-c-C'—=29

解得c2=2,

即c=V2

•••|OP|=V3,

•••|PF|=V5xR=1，

P(VXi)，

-+b2-L

•••a2—b2—c2=2,

a2=4,b2=2,

x2y2

---k—=1

42

故选：B.

4.答案:D

解析：

本题考查了二项式定理的运用；关键是通过系数的关系找到与所求有关的等式，属于中档题.

根据等式(1+*)(1—2x)19=(1—尤)1。90)+拉(尤)的两边展开式中的炉9的系数相等、*20的系数相

等求得的值.

解:由(1+x)(l—2x)19=(1—x)i°g(x)+h(x)

1021029

=(1—%)-(a0+atx+a2x+­­­+a10x)+b0+b1x+b2x+—FbgX,

由炉9的系数相等可得c£.(—2)19+C岩.(—2)18=cw.ag_C90.%。①，

再根据久2。的系数相等可得c得•(-2)19=c^aw②.

由①②求得=一3x218,

故选：D.

5.答案：D

解析：解：对于4因为三棱锥4-2/。是正三棱锥，故顶点4在底面的射影是底面正三角形的中心，

所以点H是也是△A1BD的垂心，故A正确；

对于8,因为三棱锥&-4/。是正三棱锥，而H是底面的中心，故CiH是正三棱锥G-&BO的高

线，因为经过点“与平面&BD垂直的直线有且只有一条，故A、H、的三点共线，即4”的延长线经

过点G，故8正确；

对于C,因为平面&BD〃平面CB1D1，而2H垂直平面&BD,所以根据面面平行的性质，可得4F7垂

直平面C81。],故C正确；

对于0,可在正三棱锥A—2/D中，算出cosN&4H=f,结合力4〃BBi，可得直线AH和8%所成

角为arccos在，故。不正确.

3

故选。

因为三棱锥4—A/D是正三棱锥，所以H是正三角形—2/。的中心，故A正确；根据正三棱锥4—

aBD和正三棱锥6-&BD的高线都经过H点，结合垂线的唯一性可得8正确；根据平面力/£)〃平

面CBiA，结合面面平行的性质，得到C正确；通过计算可得直线4”和BB1所成角为arccosg，故。

不正确.

本题给出正方体模型，要我们判断几个命题的真假，着重考查了空间的平行与垂直的位置关系和正

三棱锥的性质等知识点，属于基础题.

6.答案：C

解析：解：已知久=a+6,y=a+b2+1,

则y—x=b2+l—b=(b—|)2+|>0,

所以y>x,即久<y.

故选：C.

利用作差法即可比较大小关系.

本题主要考查不等式比较大小，属于基础题.

7.答案：C

解析：解：函数y=sin(2x+$

27r7T

=sin[(2x+y)--]

nnn

=sin[(2x+-)+---]

=cos[2(x+^)-^],

•••要得到函数y=sin(2x+斜的图象，

只需将函数y=cos(2久话)的图象上所有点向左平移行个单位长度.

故选：C.

化函数y=sin(2rv+；)为y=cos[2(久+勺一§,

根据图象平移法则即可得出结论.

本题考查了三角函数的图象平移与转化问题，是基础题.

8.答案：A

解析：解：依题意可得2c=2a,贝Uc=&,所以。2-02=2,

又点气=宜，解得a=W，从而椭圆C的长轴长为2a=2百.

y/a2+b22

故选：A.

利用椭圆的焦距求解c,利用C的对称中心到4B的距离为丑，求解a即可.

2

本题考查椭圆的简单性质的应用，长轴长的求法，是基础题.

9.答案：AC

解析：

本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于

基础题.

利用等差数列｛an｝的前几项和公式、通项公式列出方程组，求出的=1,d=2,由此能求出an.

解：设等差数列的公差为d,

♦.•等差数列｛即｝的前n项和为Sn,S3=9,a4=7,

.p3=3的+等d=9

—a1+3d=7

解得Qi=1，d=2,

an=1+(n—1)x2=2n—1,

n(l+2n—1)7

e=n

Sn=-2—-

故选：AC.

10.答案：BCD

解析：解：分别画出函数图象/(%)=sinx+cosx=

V2sin(x+孑)，

g(%)=sinx—cosx=V2sin(x--),

、4

可得函数h(%)=机勿｛/(%)，9。)｝的图象，

由/(%)=9(%)，可得：sinx+cosx=sinx—cosx,

・•.cosx=0,解得久=/CTT+pfceZ.

可得函数f(%)与g(%)的图象交点

坐标(2九兀+泉1),

(2/171+—,—1),kGZ.

由sin(%+9=-1,解得％=2攵兀一"，kEZ；

由sin(%一乡=-1,解得％=2忆兀一£,kEZ.

44

由图象可得：

A.周期7=?—(—£)=2兀；

44

8对称轴方程为久=等兀，kEZ.

C值域为［-夜,1］；

力与计算能力，属于中档题.

11.答案：ACD

解析:解:在正方体4BCD-4B1GD1中，易证0/1面&BG，又&Gu平面4/G，所以&G1BrD,

所以异面直线&G,当。的夹角为》则A正确;

金棱锥&-G4E=心棱锥G-2E=!X等X6=36,则2错误;

在棱CC］上取点N,使CN=2,连结BN,NE,FN（如图）,

4

CZ)

则易知4F8N为直线4E与BF所成角或其补角，可得BN=2g,FN=5,FB=9,

则COSNFBN=(2—/=8=Wio；则直线4E与BF所成角的余弦值为史更，则C正确；

2X9X2国3V101515

由题意知三棱锥&-BDQ为棱长为6或的正四面体，作&。，平面BDCi，。为垂足，贝。。为正ABDCi

的中心，且&G。为直线&G与平面8DQ所成角，

所以NCOS&G。=言=J1—笠,当点G移动到BG的中点时，&G最短，如图，

此时cosN&G。最小，乙41Go最大，此时COSNAIG。="=里=工，则。正确.

故选：ACD.

推出&G1BD得到异面直线&G,当。的夹角为会判断4；求解棱锥的体积判断8；连结BN,NE,

FN(如图)，说明NFBN为直线2E与BF所成角或其补角，推出直线2E与BF所成角的余弦值，判断C；

当点G移动到8Ci的中点时，&G最短，求出COSN&GO,判断D.

本题考查命题的真假的判断，空间几何体的体积，直线与平面所成角的求法，空间直线与平面的位

置关系的判断，是中档题.

12.答案：AB

解析：

四个选项都出现了向量模之间的加减运算，所以考虑平方处理，整理后即可得出答案.

本题考查了向量的模，向量的混合运算，解题关键是根据向量模之间的加减运算联想到对式子进行

平方处理，属于中档题.

解：对于4：|五+3|=|初-旧|,两边平方可得

a2+2a-b+b2=a2-2\a\\b\+\b\^

所以五.方=-\a\\b\^

而五•b=\a\\b|cos<a，b>，

所以一|五||b|=|a||h|cos<a，b>，

所以cos<3,b>=-1，所以<落b>=180°，

所以五与另共线且反向，

所以存在实数2<0,a=Ab,故A正确，

对于8：因为有1b，

所以五•至=0，

对|E+力|=|N—b|两边平方可得五之+2五.另+片=于—2万.3十片，成立,故B正确,

对于C：对I五+另I=㈤+向两边平方可得f+28/=片+2|初|||+|||2,

所以小3=\a\\b\，

所以|初|b|cos<方，b>=|a||b|>

所以cos〈落b>=1>即<落b>=0°>

所以反与石同向，但五不一定等于B，故C错误，

对于。：由力选项可知，只有当a<o且|初21片时，才有।五+3|=।五।-13|,故。不正确.

故选：AB.

13.答案：0.88

解析：解：•••随机变量f服从正态分布N(0R2),

・••正态曲线关于x=0对称，

•••P(f>2)=0.06,

<-2)=0.06

P(-2<f<2)=1-0.06X2=0.88,

故答案为：0.88,.

根据随机变量f服从正态分布N(0,M),得到正态曲线关于％=0对称，根据P(f>2)=0.06,得到对

称区间上的概率，从而可求P(-2<f<2).

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性，考查对称区间的概率

相等，本题是一个基础题.

14.答案：120

依题意只能选用4种颜色，要分四类：

②与⑤同色、④与⑥同色，则有号

③与⑤同色、④与⑥同色，则行A：

②与⑤同色、③与⑥同色，则有A：

解析：

③与⑤同色、②与④同色，则行斗；

②与④同色、③与⑥同色，则有A：

所以根据加法原理得涂色方法总数为5-<=120

15.答案：(1,2)

解析：解：•••△APQ是锐角三角形，

・•・NPAF为锐角，

・••双曲线关于工轴对称，且直线4B垂直式轴，

•••/.PAF=/.QAF<45°

PF<AF

・•・F为座焦点，设其坐标为(-c,0)

所以4(a,0)

所以PF=叱，AF=a+c

a

1.2

<a+cBPc2—ac—2a2<0

a

解得-1<(<2

双曲线的离心率的范围是(1,2)

故答案为：(1,2)

利用双曲线的对称性及锐角三角形NP4F<45。得到AF>PF,求出4的坐标；求出AF,PF得到关于

a,b,c的不等式，求出离心率的范围.

本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：。2=42+62、考查双曲线的离心率问题就是

研究三参数a,b,c的关系.

16.答案:20

解析：解：求导数可得y'=3--2x-1=(%-1)(3%+1)

・•・函数在［0,1)上，/<0,函数单调递减，在(1,3］上，/>0,函数单调递增，

二函数在x=1处取得最小值4,

・；久=0时，y=5；x=3时，y=20

.•.在x=3处取得最大值20,

故答案为：20.

求导数，确定函数在区间［0,3］上的单调性，从而可得结论.

本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，确定函数的单调性是关键.

17.答案：解：如图，由题意知，

在三角形BCD中，

所以当走私船发现巡逻艇时，两船相距海里;

因为

所以设追击时间为3则

所以

即巡逻艇被骗东15。方向才能最快追上走私船.

(II：a=30°NFCE=45°-30°=15°nasin1350001

■1'----=----=—sina=——x——=—,

i，|5C|=2^至342t口中根据余弦定理

5L[2)先求

sinZABCsin60°.,-&,11M9

♦―2^/2=~2^3~''Sm=-'^ABC=45U用正弦定理求出，即可求

齐ZCBD=180°-(60°+45°+45°)=30°,

Z.CDE=360°-(90°+135°)=135°Z.DCE

18.答案：①证明：由Sn=等an,得%_1=等与_1，n>2,

._rc_九+2n+1

•••an=~^n-1=~an-an-l»

._?i+lan_

a

n=q九一1'n(n+l)一九(九一1)'

由的=%得岛=£=a

•・•数列｛就=｝为常数列，

an=0,nEN*・

②Tn=—+—+—+•••+—

。2。3

m1,11,,11,11、

=o(1-------1-----------F•••~\---------------1-------------)

'223n-1nn九+1/

1

=6(1-何)<6,

・•.x-2lnx+m>6,即zn>6—x+2仇%对任意的(0,+8)恒成立,

.22-X

令f(%)=6—%+21nx,则/'(%)=-1+一=--

XX

当尸(%)=0时,%=2；当/'(%)>0时,xe(0,2)；

当［(%)<0时，xE(2,+oo),

・•・/(%)的最大值为/(2)=4+2伍2,

故771>4+"4.

解析：①由5=等即，得S“_i=萼anT，nN2,由此证明数列｛七｝为常数列，且“中

neN*.

@Tn=/+、+/+…+止=6(1+…+六W)=6(1-W)<6，从而X-

Ct]U2U/iZZD71_1TLTlTIT1

2lnx+m>6,即m26—x+2)久对任意的(0,+8)恒成立，由此结合已知条件求出niN4+伍4.

本题考查常数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真

审题，注意裂项求和法的合理运用.

19.答案：(1)证明：由己知可得，△48。为等边三角形,

••,G为2D的中点，•••BG1AD,

又平面PAD_L平面A8CD,平面C平面ABC。=AD,

：.BG_L平面PAD；

(2)证明：・・•△PAD是等边三角形且G为4。的中点，

•••AD1PG,

***ADJ_BG,PGDBG=G,

•••AD_L平面PBG,又PBu平面PBG,

AD1PB-,

⑶解：vAD1PB,AD//BC,：.BCX.PB,

•••BG1AD,AD//BC,

BGYBC>

・•.NPBG是二面角A-BC-P的平面角，

在直角APBG中，PG=BG,；.乙PBG=45°,

二面4一BC-P的平面角是45。.

解析：(1)由已知可得，△4BD为等边三角形，由G为4。的中点，得BG14。，再由面面垂直的性质

可得BG1平面PAD；

(2)由AP力。是等边三角形且G为4。的中点，可得4。1PG,结合(1)利用线面垂直的判定可得力。1平

面P8G,从而得至必。1PB；

(3)首先证明NPBG是二面角4-BC-P的平面角，然后结合PG=BG即可求得二面力-BC-P的平

面角.

本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了二面角平面角的求法，是中档题.

20.答案:

⑴48(岁)；，

(2)随机变量X的分布到如下表：〃

——

X0123

6448121

1p

125125125125

随机变量X的数学期望E(X)=0x早+lx弋+2x=+3x±=±.

解析:

(1)由题意估算，所调查的600人的平均年龄为：25x0.1+35x0.2+45x0.3+f

(2)由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为L.

5

.•.从该城市20―80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率夕

依题意，X的可能取值为0,1,2,3.,

„1043,64,1,142,48

P(^=0)=C°(-)°(-)=—；P(AT=l)=Cj(-)(-)=--;P

。。XJJJXJ

P(X=2)=氓)20]=三：P(X=3)=c的300=点.。

JJJkJJJ»J

21.答案：解：(1)抛物线必=2「％3>0)的准线为乂=*,

由抛物线定义和已知条件可知|MF|=1-(-^)=1+^=2,

解得p=2,故所求抛物线方程为y2=4%.

(切联立代=一/十乙消x并化简整理得必+8y—86=0.

ly2=4x

依题意应有△=64+32b>0,解得b>-2.

设2(%i，%),B(x2,y2),则％+-2=-8,y1y2--8b,

设圆心QQo，yo),则应有沏=且产,以)="产=-4.

因为以力B为直径的圆与式轴相切，得到圆半径为r=|yol=4,

22

又依用=Vfe-x2)+(yi-y2)=J(1+4)(为一当产

=J5[(yi+%)2—4月为]=[5(64+326)

所以|4B|=2r=/5(64+326)=8,

解得b=

所以％1+乂2=2。—2yl+2b—2y2=4b+16=£,所以圆心为(g,—4).

故所求圆的方程为。-y)2+(y+4)2=16.

(HI)因为直线/与y轴负半轴相交，所以6<0,

又/与抛物线交于两点，由(II)知6>-2,所以一2Vb<0,

直线Ay=—紧+6整理得久+2y—2b=0,

点。到直线/的距离d=臂=,，

所以SFOB=|\AB\d=-4bV2V2+b=4V2V/?3+2b2.

令g(6)=庐+2块，—2<b<0,g'(6)=3炉+46=3%(b+1),

444

b(-2,-3)(一于0)

3

g3+0—

g(b)单调增极大单调减

由上表可得g(b)最大值为=||.

所以当b=-J时，△2。8的面积取得最大值必旦

39

解析：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注

意导数的合理运用.

(I)抛物线f=2px(p>0)的准线为久=心,由抛物线定义和已知条件可知|MF|=1—(—柒=1+

2,由此能求出抛物线方程.

(⑥联立?=~2x+b,消X并化简整理得y2+8y_8b=。.依题意应有。64+32b>0,解得6>

ly2=4%

-2.设4(汽1，%),8(%2，、2)，则71+为=一8，y1y2=-8b,设圆心Q(&,yo),则应有％。二也产,=

中=-4.因为以力B为直径的圆与无轴相切，得到圆半径为r=|y0|=4,由此能够推导出圆的方程.

(HI)因为直线gy轴负半轴相交，所以6<0,又I与抛物线交于两点，由(H)知b>-2,所以一2<b<

0,直线八y=—科久+6整理得x+2y-2b=0,点。到直线/的距离d=詈=潦，所以S“0B=

\\AB\d=-4bV2V2TT=4岳庐短庐由此能够求出AOB的面积的最大值.

22.答案:解:(1)由/(0)=—2,可得c=—2…(1分)

求导函数可得/'(%)=(—ax2+2ax-bx+b—c)e~x,/'(0)=(b—c)e0